Как найти образ оператора заданного матрицей

§ 7.2. Связь между координатами вектора — образа и вектора — прообраза. Ядро и образ линейного оператора

Линейный оператор , действующий из пространства в пространство , ставит в соответствие каждому вектору определенный вектор из . При этом вектор называется образом вектора , а вектор — прообразом вектора при отображении .

Пусть и — некоторые базисы линейных пространств и соответственно. Тогда , и координаты вектора — образа связаны с координатами вектора — прообраза соотношением

, (7.2.1)

в котором — матрица линейного оператора в паре базисов и .

В случае, когда пространства и совпадают, базисы и также совпадают, и формула (7.2.1) принимает вид

. (7.2.2)

Образом (областью значений) линейного оператора называется множество всех элементов вида . Образ линейного оператора является подпространством пространства и обозначается . Размерность образа называется рангом оператора и обозначается .

Ядром линейного оператора называется множество всех векторов пространства , которые переводятся оператором в нулевой вектор пространства . Ядро линейного оператора является подпространством пространства и обозначается . Размерность ядра называется дефектом оператора и обозначается .

Сумма ранга и дефекта оператора равна размерности пространства .

Ранг линейного оператора равен рангу матрицы этого оператора.

Базис системы векторов — столбцов матрицы линейного оператора образует систему координатных столбцов базиса образа . Базис подпространства решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей оператора образует базис ядра .

Пример 1. Из пространства с базисом в пространство с базисом действует линейный оператор , имеющий в данной паре базисов матрицу . Найдите столбец координат в базисе образа вектора и столбец координат в базисе прообраза вектора .

Решение. Столбец координат образа вектора в базисе находим непосредственно по формуле (7.2.1):

Для определения прообраза вектора по той же формуле (7.2.1) имеем

или, что то же самое,

Отсюда находим все прообразы вектора , где — свободная переменная, принимающая произвольные значения.

Пример 2. В пространстве с базисом линейный оператор переводит векторы , в векторы , соответственно. Найдите матрицу оператора в базисе .

Решение. Пусть — матрица оператора в базисе . Тогда из условий , по формуле (7.2.2) имеем ,

или, в подробной записи,

Отсюда получаем Следовательно, .

Пример 3. Найдите базис ядра и базис образа линейного оператора пространства , если этот оператор задан матрицей .

Решение. При помощи элементарных преобразований над строками матрицы приведём её к ступенчатому виду:

Отсюда следует, что . Базис составляют, например, векторы и .

Дефект оператора найдём по формуле

т.е. фундаментальная система решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с матрицей будет состоять из одного вектора. Общее решение однородной системы можно записать в виде . Полагая получаем базисный вектор .

7.2.1. Линейный оператор переводит вектор в вектор. Найдите образ вектора и прообраз вектора , если

, ;

, .

7.2.2. Линейный оператор в паре базисов и имеет матрицу . Найдите прообраз вектора , если

, ;

б) , ;

в) , .

7.2.3. Выясните, существует ли линейный оператор двумерного пространства, переводящий векторы , соответственно в векторы , , и найдите матрицу этого оператора в базисе , :

а)

б)

в)

7.2.4. Выясните, существует ли линейный оператор трехмерного пространства, переводящий векторы , , соответственно в векторы , , , и найдите матрицу этого оператора в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов:

а)

б)

7.2.5. Для указанных линейных операторов пространства найдите дефект и ранг, а также постройте базисы ядра и образа. Каждый оператор описывается своим действием на произвольный вектор :

а)

б)

в)

7.2.6. Найдите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .

7.2.7. В пространстве рассмотрите разностный оператор

где — фиксированное число, отличное от нуля. Найдите его образ и ядро.

7.2.8. Найдите образ и ядро оператора проектирования (см. задачу 7.1.2) на параллельно и оператора отражения (см. задачу 7.1.3) в параллельно .

7.2.9. Найдите базис ядра и базис образа линейного оператора из , заданного в некотором базисе матрицей :

а) ; б) ; в) .

7.2.10. Найдите размерность линейного пространства всех линейных операторов, действующих в — мерном линейном пространстве и постройте базис пространства .

6.4.1. Как записать оператор в матричной форме?

На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо).

Наш школьный случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец:
– матрица линейного преобразования в базисе .

Само же преобразование можно записать в виде функции .

! Не путаем обозначения: прямая буква – оператор, косая буква – матрица, не сильно это удачно, но практически общепринято в литературе.

Протестируем функцию на векторе – выполним матричное умножение:
– в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить.

Помимо векторов, оператор можно применить к любой точке плоскости. Для этого только нужно задать начало координат, получив тем самым декартову систему .

Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором , то функция , по сути, применИма и для координат точек. Далее для простоты будем говорить и писАть, что, например, точка
– перешла в точку .

И, наверное, Вы уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название:

Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём:

– если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз;

– если – то о сжатии (уменьшении) в раз;

– если , то преобразование тождественно (ничего не меняет)

– и если , то имеет место вырожденное преобразование.

В том случае, если меньше нуля, то дополнительно к растяжению /сжатию / неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат.

Рассмотрим ещё несколько популярных примеров в системе , и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости собачку. Можно и не мысленно! …Представили? Нарисовали? Отлично!

Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего Тузик радует нас своей широкой-широкой улыбкой! …Хотя, у многих, наверное, не Тузик…, да и не факт, что с улыбкой. Как сказал поэт, у каждого в голове своя морда =)

И в самом деле, преобразуем точку :
– «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась.

Преобразование сожмёт собаку по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений приготовить мясорубку тестировать различные точки, выполняя матричное умножение, тут оно устное.

Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Получится очень удивлённый пёс.
Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат). И здесь я хочу остановиться на одном очень важном случае: преобразование сохранит размеры, но отобразит все объекты плоскости симметрично относительно оси , частности, вектор перейдёт в вектор и базис отобразится в другой, тоже ортонормированный базис :

Это преобразование называют осевой или зеркальной симметрией. Такая симметрия характерна тем, что меняет ориентацию плоскости. Это проявляется в том, что как ни двигай по плоскости собачек – совместить их не удастся.

Ориентация бывает левой и правой. Вытяните перед собой обе руки ладонями вверх, так, чтобы большие пальцы смотрели в стороны под углом 90 градусов. При этом ваша правая рука моделирует правосторонний базис , где вектор смотрит в направлении большого пальца, а – в направлении указательного. Соответственно, левая рука аналогично моделирует левый базис и левостороннюю ориентацию плоскости

Впрочем, оставим хлеб для геометрии, и вернёмся теме. Нетрудно догадаться, что преобразование отобразит все объекты вниз – симметрично относительно оси («отражение в реке»).

Смотрим дальше:
– образно говоря, «челюсть налево, уши направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае).

И очевидна матрица вертикального сдвига – в направлении вектора .

Повороты:
– данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол .

И, наконец, все эти метаморфозы венчает общий случай . Это преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами . И, разумеется, весь «рисунок» плоскости (вместе с квадратом) вытягивается в пропорциях этого параллелограмма.

! На всякий пожарный напомню, что координаты новых точек получаем по формуле , где – координаты исходных.

Так, преобразование переводит единичный квадрат с синими вершинами (см. ниже) в зелёный параллелограмм с вершинами :

При этом координатный вектор , отображается в вектор , а вектор – в вектор . ПосмотрИте на координаты полученных векторов и на числа матрицы преобразования 😉

Нетрудно понять, что масштабируется и площадь – была площадь квадрата , равная единице, а стала – площадь параллелограмма . Причём, площадь этого параллелограмма по модулю в точности равна определителю матрицы преобразования. В нашем случае:

Если же определитель отрицателен, то такое преобразование не только искажает объекты плоскости (в общем случае), но и выполняет их отражение (меняет ориентацию). Так, для преобразования получаем вроде бы тот же параллелограмм…, да не тот! Самостоятельно проанализируйте, куда отображаются точки , и вы поймёте, что помимо искажения (в таких же пропорциях, что и первое преобразование), выполняется ещё и отражение Тузика «наоборот». О чём говорит знак определителя: .

И теперь самое время прояснить геометрический смысл определителя. Определитель «два на два» по модулю: – есть площадь параллелограмма, построенного на векторах (см. рис. выше). Определитель «3 на 3» по модулю – есть объём параллелепипеда, построенного на векторах , (см. смешанное произведение векторов). И для бОльших размеров (4 на 4 и выше) можно говорить об объеме абстрактного n-мерного параллелепипеда.

Если определитель матрицы преобразования равен нулю , то оно является вырожденным. Так, вырождено тривиальное нулевое преобразование, которое отображает все векторы в нулевой вектор. Это преобразование имеет нулевую матрицу, для двумерного случая: . Или, например, оператор , переводящий векторы в коллинеарные друг другу векторы .

Эффект вырожденного преобразования состоит в потере информации, и, как следствие, невозможности осуществления обратного преобразования. Так, если нам предъявить готовый результат из последнего примера, то невозможно выяснить, какой именно вектор подвергся преобразованию.

Типичное вырожденное преобразование – это проецирование. Говоря проще, если вы видите тень в форме круга, то далеко не факт, что её отбрасывает шар. Это может быть эллипсоид, цилиндр, зонтик – много какие объекты. Но то уже пример из пространства.

И следующее утверждение давно читалось «между строк»: любое линейное преобразование n-мерного векторного пространства можно записать в виде квадратной матрицы размером – в некотором фиксированном базисе этого пространства.

Верно и обратное: любой квадратной матрице соответствует определённое линейное преобразование этого пространства, записанное в базисе .

В частности, любое преобразование плоскости можно записать в виде матрицы в базисе , и обратно – любой матрице «два на два» соответствует определённое преобразование плоскости, записанное в этом базисе.

Эти факты хоть и очевидны, но строго доказаны в теории.

Переходим к практическим задачам:

Пример 131

Линейный оператор задан матрицей . Найти образ вектора . Используя обратное преобразование, выполнить проверку.

Но прежде, инструктаж перед полётом.

Во-первых, не вкладываем в векторы и в само преобразование никакой смысл: ни геометрический, ни химический, ни алхимический – никакой. Коль скоро об этом не сказано в условии. Никаких базисов. «Не болтаем» и оформляем решение абстрактно.

Во-вторых, вспоминаем терминологию: образ – это то, что получается в результате преобразования, а прообраз – это исходный объект, вектор в нашем случае.

Решение: найдём вектор , полученный в результате преобразования вектора . Это мы уже неоднократно делали выше:

Таким образом, это линейное преобразование перевело вектор (прообраз) в вектор (образ).

Теперь найдём обратное преобразование, которое превращает образы векторов – обратно в их прообразы. Оно существует лишь в том случае, если прямое преобразование не вырождено. Проверяем этот факт: , значит, преобразование не вырождено и обратное преобразование осуществимо.

Запишем матричную функцию в виде , где – координатный столбец прообразов, а – образов. Этой функцией мы только что воспользовались для нахождения вектора . Но теперь нам нужно выразить прообраз. Чтобы выразить , умножим обе части на обратную матрицу слева:

, откуда следует, что

Таким образом, обратному линейному преобразованию соответствует обратная матрица . Осталось её найти. Это можно сделать «традиционным» способом либо с помощью элементарных преобразований. Здесь я рекомендую первый путь, поскольку он позволяет сразу выяснить, а существует ли матрица вообще. Тем более, это мы уже сделали: , значит, обратное линейное преобразование существует и задаётся матрицей .

Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, ограничиваясь готовым результатом. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что обратится найденный вектор :
– получены координаты исходного вектора (прообраза), что и требовалось проверить.

Ответ:

Небольшая задачка для разминки:

Пример 132

В результате применения оператора, заданного матрицей , получены образы . Найти прообразы данных векторов.

Сверяемся и повышаем размерность:

Пример 133

Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

…Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся…

Решение: и первое, что здесь опять можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Понятно только, что они заданы в некотором базисе трёхмерного векторого пространства, ибо матрица линейного преобразования (замаскированная в виде системы) порождается базисом. Он нам тоже не известен, но для решения задачи эта информация и не нужна.

Тем не менее, для пущего понимания вновь обратимся к геометрии и предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =)

Запишем матрицу первого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомой матричной функции:
или, если короче: .

Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял).

Теперь ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости.

Аналогично – запишем преобразование в матричной форме:
или:

По условию, нужно найти преобразование, выражающее через , то есть результирующее преобразование (композицию), которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Для этого подставим в уравнение :

И всё оказывается до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования:

распишем итоговую функцию :

и осуществим матричное умножение в правой части:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов, запишется в виде следующей системы:

Проверка: подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения правой системы:

что и требовалось проверить.

«Проверочный» способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основой, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления.

Да, и не забываем записать
ответ:

Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём, например, вектор и тупо подставляем его координаты в систему:
– таким образом, он перешёл в вектор .

Более академичный способ – использование матричного уравнения :

Если преобразования, заданные матрицами , , не вырождены (не проверял), то «кота можно ввернуть к первоначальному виду». Для этого нужно найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться функцией .

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 134

Даны линейные преобразования:

Найти образ вектора двумя способами:

1) путём последовательного применения преобразований и ;

2) с помощью композиционного оператора, выражающего через .

Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее:

– системы запросто могут быть переставлены местами;

– условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования.

В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз, можно даже порисовать.

Да, и стиль напомню: прямые буквы – операторы, косые – матрицы.

Ядро и образ линейного отображения

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства . Образ преобразования , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства , которое каждому вектору его проекции на направление, задаваемое единичным вектором — множество векторов, ортогональных , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество

Следовательно, множество 2. Образ любого линейного отображения . Тогда , то есть Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы .

4. Линейное отображение , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве и дополним его векторами до базиса всего пространства образуют базис подпространства , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. Следствие. Линейное отображение

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

База решенных примеров по высшей математике

Дана матрица линейного оператора. Найдены его образ и ядро, собственные числа и собственные векторы.

Печать
E-mail

Звезда активна Звезда не активна

1. Дана матрица линейного оператора. Найти его образ и ядро, собственные числа и собственные векторы.

Решение.

Множество всех векторов называется образом оператора A.

То есть в том и только том случае, когда найдется вектор $x\in R^3$ такой, что $y=Ax$ или, в координатной записи,

Найдем ядро оператора.

Определение. Ядром (или нуль-пространством) линейного оператора называется множество всех элементов из V , которые отображаются линейным оператором A в нулевой вектор. Ядро оператора A обозначается ker A.