Правила нахождения коэффициентов квадратичной функции
В данной работе рассматриваются правила нахождения коэффициентов (a, b, c) квадратичной функции и их применение на на конкретных примерах.
Просмотр содержимого документа
«Правила нахождения коэффициентов квадратичной функции»
Нахождение коэффициентов квадратичной функции y=ax 2 + bx +c
I Нахождение коэффициента а :
по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)
подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
решаем полученное уравнение.
II. нахождение коэффициента b: b= — (х1 + х2) это для приведённого уравнения
Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)
В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а
Вычисляем значение коэффициента b.
III. нахождение коэффициента с: с = х1 ∙ х2 это для приведённого уравнения
Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II <находим коэффициенты а,Ь)
Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах 2 +bх+с и находим с.
I Нахождение коэффициента а :
по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)
по графику параболы определяем координаты любой точки A (x;y)
подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
решаем полученное уравнение.
II. нахождение коэффициента b:
Сначала находим значение коэффициента a (шаг I, смотри выше)
В формулу для абсциссы параболы m = подставляем значения m и а
Вычисляем значение коэффициента b.
III. нахождение коэффициента с:
Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;C)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I, II <находим коэффициенты а,b)
Подставляем найденные значения а, b ,А(х ; у) в уравнение у=ах 2 +bх+с и находим с.
Рассмотрим задачу: где невозможно по графику найти точно m и n необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:
Найти все коэффициенты по графику функции
Подставляем в уравнение: 
координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:
Последние два уравнения вычтем:
Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:
Вычтем два получившихся уравнения:
Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:
Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:
Найти все коэффициенты по графику функции
Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):
Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:
Найти все коэффициенты по графику функции
Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:
Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.
Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b,c квадратичной функции (9 класс)
3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:
4) решаем полученное уравнение.
II . нахождение коэффициента b :
1) Сначала находим значение коэффициента a (шаг I , смотри выше)
2) В формулу для абсциссы параболы m = — b /2 a подставляем значения m и a
3) Вычисляем значение коэффициента b .
III . нахождение коэффициента с:
1) Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.
2) Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a , b )
3) Подставляем найденные значения a , b ,А(х1 ;у1) в уравнение у= ax 2 + bx + c и находим с.
Как определить a, b и c по графику параболы
Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:
— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a<0\), то ветви параболы направлены вниз.
— Если \(a>1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.
— Аналогично с \(a<-1\), только график вытянут вниз.
— Если \(a∈(0;1)\), то график сжат в \(a\) раз (по сравнению с «базовым» графиком с \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте.
— Аналогично \(a∈(-1;0)\), только ветви направлены вниз.
Парабола пересекает ось y в точке \(c\).
\(b\) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью \(x_в\) — абсциссы (икса) вершины параболы:
\(x_в=-\frac<2a>\)
\(b=-x_в\cdot 2a\)
Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут \(f(x)\), а где \(g(x)\). По коэффициенту \(c\) видно, что \(f(x)\) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке \(4\).
Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент \(c\) у неё равен \(1\).
Ветви параболы направлены вниз – значит \(a<0\). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит \(a=-1\).
Получается \(g(x)=-x^2-4x+1\). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:
2 способ – находим формулу по точкам
Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений . Алгоритм прост:
Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.
Решаем систему.
Пример:
Вычтем из второго уравнения первое:
Подставим \(9a\) вместо \(b\):
Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:
Подставим в первое уравнение \(a\):
Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
Сложим 2 уравнения:
Подставим во второе уравнение:
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.
Сам способ базируется на следующих идеях:
График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).
– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.
График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.
У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).
То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:
Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
1)Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке 2) Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке?
1)Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке 2) Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке.
1)Вершина в точке ( — 1 ; — 1), y(0) = 2 — точка пересечения с ОУ, тогда
$x_0= \frac<-b><2a>=-1; \Rightarrow b=2a;$
$y_0=y(-1)=a-b+c=-1 \Rightarrow c=a-1;$
2) Вершина в точке (3 ; 4), y(0) = — 6 — точка пересечения с ОУ, тогда
$x_0= \frac<-b><2a>=3; \Rightarrow b=-6a;$
$y_0=y(3)=9a+3b+c=4 \Rightarrow c=9a+4;$
Найдите значение k по графику функции y = kx + b, изображенному на рисунке?
Найдите значение k по графику функции y = kx + b, изображенному на рисунке.
Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке?
Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке.
По графику функций, изображенному на рисунке, найдиье значения функций при х = — 3, х = 2?
По графику функций, изображенному на рисунке, найдиье значения функций при х = — 3, х = 2.
Найдите значение k по графику функции y = k / x изображенному на рисунке?
Найдите значение k по графику функции y = k / x изображенному на рисунке.
Найдите значение k по графику функции у = k / x, изображенному на рисунке?
Найдите значение k по графику функции у = k / x, изображенному на рисунке.
Найдите значение К по графику функции y = k / x, изображенному на рисунке?
Найдите значение К по графику функции y = k / x, изображенному на рисунке.
Найдите значение с по графику функции y = ax2 + bx + c, изображенному на рисунке?
Найдите значение с по графику функции y = ax2 + bx + c, изображенному на рисунке.
Найдите значение к по графику функции у = кх + b, и изображенного на рисунке?
Найдите значение к по графику функции у = кх + b, и изображенного на рисунке.
СрочноНайдите значение K по графику функции изображенному на рисунке?
Найдите значение K по графику функции изображенному на рисунке.
Срочно ?
Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.
На этой странице находится вопрос 1)Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке 2) Найдите значение а по графику функции у = ах ^ 2 + bx + c, изображенному на рисунке?, относящийся к категории Алгебра. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Алгебра. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.
— 9 (8 — 9x) = 4x + 5 — 72 + 81x = 4x + 5 81x — 4x = 5 + 72 77x = 77 x = 1.
( — 10)²( — 0, 7 — 5 * ( — 10)) — 32 = 100 * ( — 0. 7 + 50) — 32 = 100 * 49. 3 — 32 = 4930 — 32 = 4898.
Photomath скачай , он решит.
АВ ( 3 ; 1 ) BC ( (1 — 3) ; (7 — 1)) BС( — 2 ; 6) Скалярное произведение векторов AB * BC = 3 * ( — 2) + 1 * 6 = 0 Вектора перпендикулярны. Угол B прямой.
— 48. Если хочешь скачай калькулятор дробей.
Минус 47. Одна треть. Вот так вот.
— (4 а в 5 степени * в в 3 степени ) 2 степень / 8a в 7 степени в в 4 степени . — 16 а в 10 степени в 6 степени / 8а в 7 степени в в 4 степени . — 2а в 3 степени в 2 степени .