Где косинус отрицательный на окружности

Косинус

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи : \(\frac<π><2>\) , \(\frac<3π><4>\) , \(-2π\).

Например, для числа \(\frac<π><6>\) — косинус будет равен \(\frac<\sqrt<3>><2>\) . А для числа \(-\) \(\frac<3π><4>\) он будет равен \(-\) \(\frac<\sqrt<2>><2>\) (приблизительно \(-0,71\)).

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

— там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).

Пример. Определите знак \(\cos 1\).
Решение: Найдем \(1\) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что \(π=3,14\). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что \(\cos⁡1\) – положителен.
Ответ: плюс.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
— тангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+tg^2⁡x=\) \(\frac<1><\cos^2⁡x>\)
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\) \(\frac<\cos><\sin⁡x>\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция \(y=\cos\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: \(D(\cos <⁡x>)=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos )=[-1;1]\)
— четная: \(\cos⁡(-x)=\cos\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((\) \(\frac<π><2>\) \(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn;\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\) \(\frac<π><2>\) \(+2πn;\) \(\frac<3π><2>\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Тригонометрическая окружность

В этой статье мы поговорим об основах тригонометрии — о тригонометрической окружности. С нее начинается изучение тригонометрии в 10-м классе.

Именно тригонометрические уравнения, как правило, попадаются в самом легком задании второй части ЕГЭ по профильной математике. А умение преобразовывать тригонометрические выражения часто бывают и в первой части. Без этой важной темы на ЕГЭ никак не обойтись.

Тригонометрия очень непривычная тема для школьников. А единичная окружность — это основа, если вы разберетесь с ней, то все остальное не будет казаться таким сложным.

Единичная окружность

Чтобы начать пользоваться тригонометрической окружностью, ее нужно построить.

Для начала нарисуем обычную прямоугольную декартову систему координат — ту, в которой вы должны были в младших классах строить различные графики прямых, парабол и т.д. Горизонтальную ось (ось абсцисс), как обычно, обозначим за \(x\), а вертикальную (ось ординат) за \(y\). И нарисуем в этой системе координат обыкновенную окружность единичного радиуса с центром в точке с координатами \((0;0)\) — начало координат.

Пусть наша единичная окружность пересекает оси абсцисс и ординат в точках \(A,B,C,D\), как показано на рисунке. Центр окружности обозначим за точку \(O\).

Сразу обратите внимание, что оси \(x\) и \(y\) делят наш круг на четыре части, их называют четвертями. А еще каждой четверти присвоили свой номер так же, как пронумеровано римскими цифрами на рисунке. В школе часто мучают этими четвертями.

Как считать углы на единичной окружности

А теперь мы подобрались к самому главному: будем рисовать углы на окружности. Все углы отсчитываются, начиная с отрезка \(OA\) ПРОТИВ часовой стрелки. Например, давайте повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на угол \(30^o\) (как стрелку часов) и получим некоторую точку \(M\), лежащую на окружности. На рисунке хорошо видно, как мы получили угол \(\angle\).

Таким образом, можно получать любые углы, просто поворачивая отрезок \(OA\). На рисунке 3 кроме угла \(\angle=30^o\) я нарисовал углы: \(\angle=45^o\), \(\angle=60^o\), \(\angle=90^o\), \(\angle=120^o\), \(\angle=135^o\), \(\angle=150^o\), \(\angle=180^o\).

Обратите внимание на углы \(\angle=90^o\) и \(\angle=180^o\): прямой и развернутый углы соответственно. Они нам понадобятся чуть позже.

Но и это еще не все! Оказывается, бывают углы больше чем \(180^o\). Например, на нашей окружности такими углами будут \(\angle=210^o\), \(\angle=315^o\).

Есть даже угол, который соответствует полному обороту \(\angle=360^o\) (см. Рис. 4)

Обратите внимание, что абсолютно все углы отсчитываются от отрезка \(OA\). И каждому углу соответствует своя точка на окружности. В тригонометрии принято все углы на единичной окружности обозначать просто точками. Например, точка \(K\) на рисунке 3 соответствует углу в \(60^o\), точка \(W\) соответствует углу \(210^o\).

Любознательный читатель может спросить: а существуют ли углы большие \(360^o\)? И ответом будет – конечно, да. Нам ничто не мешает повернуть отрезок \(OA\) на \(360^o\), а потом продолжить поворачивать его, например, еще градусов на \(30^o\). И тогда мы получим прекрасный угол, соответствующий точке \(V=390^o\).

Кстати, точка \(V\) совпадет с точкой \(M\), соответствующей углу в \(30^o\). Получается, одна и та же точка может соответствовать сразу нескольким углам!

Действительно, если к любому углу прибавить \(360^o\), то вы попадете опять в ту же самую точку. Аналогично можно обратить внимание, что точка \(A\) одновременно соответствует как минимум двум углам: \(0^o\) и \(360^o\).

Угол в \(720^o\) будет соответствовать двум полным оборотам.

А ведь можно к любому углу прибавить не \(360^o\), а \(720^o\), что соответствует сразу 2-м полным оборотам. И так добавлять обороты можно до бесконечности. Значит, любой точке на единичной окружности соответствует бесконечное количество углов с шагом в \(360^o\). Например, углы \(60^o, \, 420^o, \, 780^o, \, 1140^o\) и т.д. все лежат в одной и той же точке на окружности, так как они все отличаются на один полный оборот – на \(360^o\). Это важная мысль, в дальнейшем она нам пригодится.

В общем, можно отсчитывать углы от отрезка \(OA\) сколько угодно большие и можно накручивать круги до бесконечности. Причем каждой точке соответствует бесконечное количество углов.

А еще существуют отрицательные углы! Оказывается, если повернуть отрезок \(OA\) ПО ЧАСОВОЙ стрелке, то мы получим отрицательный угол. Например, на рисунке показан угол в \(-30^o\).

Любой угол, получившийся поворотом по часовой стрелке, будет отрицательным.

Кстати, точка \(M\) на окружности, соответствующая углу в \(-30^o\), отсчитанному по часовой стрелке, совпадает с точкой, соответствующей углу в \(330^o\), отсчитанным против часовой.

Как переводить радианы в градусы?

Все знают, чтобы измерить некоторое расстояние, можно воспользоваться несколькими единицами измерения: сантиметрами, метрами, километрами или даже световыми годами. Точно так же углы можно измерять по-разному. Мы всю свою жизнь углы измеряли градусами и интуитивно уже понимаем, сколько градусов соответствует визуально какому углу. Довольно легко представить угол в \(30^o\) или \(90^o\).

Но, к большому сожалению, в математике углы часто измеряют не в градусах, а в радианах. Так просто удобно в некоторых случаях. А нам с вами ничего не остается, как привыкнуть к новой единице измерения углов.

Ничего страшного в этом нет. Первое, с чем нам нужно познакомиться — это иррациональное число Пи: $$\pi=3,14…;$$ Это известная константа, которая обладает интересными свойствами и используется во множестве научных областей. Но об этом в другой раз. Сейчас нам нужно запомнить, что угол в \(\pi\) радиан это тоже самое, что и угол равный \(180^o\). $$\pi \, рад=180^o;$$ Из этого факта легко переводить радианы в градусы и наоборот: $$ \frac<\pi><2>=\frac<180><2>^o=90^o;$$ $$ \frac<\pi><3>=\frac<180><3>^o=60^o;$$ $$ \frac<\pi><4>=\frac<180><4>^o=45^o;$$ $$ \frac<\pi><6>=\frac<180><6>^o=30^o;$$

Для того, чтобы перевести абсолютно любой угол в градусы, удобно воспользоваться пропорцией. Для примера переведем \(\frac<5\pi><6>\) радиан: $$\pi \, рад=180^o;$$ $$\frac<5\pi> <6>\, рад=x^o;$$ Пропорции решаются перемножением крест на крест: $$\pi*x=\frac<5\pi><6>*180;$$ $$x=\frac<\frac<5\pi><6>*180><\pi>=\frac<5><6>*180=150^o.$$

Теперь отметим на тригонометрической окружности углы в радианах так же, как мы отмечали углы в градусах:

Чтобы интуитивно воспринимать радианы, важно помнить, что \(\pi \, рад=180^o;\) – это равно половине окружности. Тогда \(2\pi=360^o\) – это полный круг. Представьте, что перед вами пирог или пицца, которую вы режете на части. Тогда, помня, что \(\pi\) это ровно половина пирога, легко представить, что, например, \(\frac<\pi><6>\) – это мы половину пирога поделили на 6 одинаковых частей и взяли одну. А \(\frac<5*\pi><6>\) – это опять делим половину пирога на 6 частей, только в этот раз берем 5 частей из 6-ти, считая от 0.

Можно пользоваться такой аналогией, а можно решать пропорции, как вам удобнее.

Мы научились отмечать на единичной окружности углы и познакомились с радианами.

Теперь приступаем к самому важному: какое отношение имеет этот круг единичного радиуса к тригонометрическим функциям?

Синус и косинус на тригонометрической окружности

Кратко напомню: Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе; Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

И из этих формул и теоремы Пифагора следует одна из самых важных тригонометрических формул: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1.$$

Раз эти определения вводились для прямоугольного треугольника, то у них есть большой недостаток. Они работают только в прямоугольном треугольнике, а значит только для острых углов. (В прямоугольном треугольнике, один угол прямой, а два другие обязательно острые).

Но синус и косинус можно посчитать на калькуляторе от абсолютно любого угла. Тогда определение из 9-го класса нам не годится.

И вот здесь на помощь приходит тригонометрическая окружность. При помощи нее мы сейчас постараемся определить синус и косинус.

Нарисуем единичную окружность (единичного радиуса) и отметим на ней какой-нибудь острый угол \(\angle=\alpha\). Точка \(M\) лежит на дуге этой окружности и соответствует углу в \(30^o\). Посмотрите внимательно на рисунок: у точки \(M\) мы можем определить координаты. Пусть по оси \(x\) координата точки \(M\) будет \(M_\), а по оси \(y\) — \(M_\). Точка \(M\): $$(M_;M_);$$

Опустим из точки \(M\) перпендикуляры на оси координат. Перпендикуляр к оси \(x\) попадет в точку \(M_\), а перпендикуляр к оси \(y\) попадет в \(M_\). Строго говоря, в математике \(M_\) и \(M_\) называются проекциями точки \(M\) на оси координат.

Мы получили прямоугольный треугольник \(\triangle_\). По определению из 9-го класса синус \(\angle<\alpha>\) – это отношение противолежащего катета \(MM_\) к гипотенузе \(MO\) в \(\triangle>\): $$\sin(\alpha)=\frac>;$$ Обратите внимание, что \(MO\) это радиус нашей единичной окружности, значит он равен единице: $$\sin(\alpha)=\frac>=MM_;$$ Из рисунка видно, что \(MM_=OM_\) или, другими словами, длина отрезка \(MM_\) – это координата точки \(M\) по оси \(y\).

Это важный момент! Получается, что \(\sin(\alpha)\) равен координате точки \(M\) по оси \(y\).

Аналогичные рассуждения можно провести и для косинуса. Косинус по определению в прямоугольном треугольнике \(\triangle>\) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$\cos(\alpha)=\frac>=OM_=M_;$$ Косинус \(\angle<\alpha>\), оказывается, будет равен координате точки \(M\) по оси \(x\).

Точно такие же рассуждения можно сделать для любого другого угла \(\beta\). Из рисунка ниже видно, что синус \(\angle<\beta>\) – это координата точки \(N\) по оси \(y\). А косинус угла \(\angle<\beta>\) – это координата точки \(N\) по оси \(x\). (Показано фиолетовым цветом).

Данная логика будет справедлива и для тупых углов. Посмотрите на угол \(\gamma\). Значение синуса \(\angle<\gamma>\) будет соответствовать координате точки \(K\) по оси \(y\), а косинуса – по оси \(x\).

Можно сделать вывод, что значения синуса любого угла на окружности лежат на оси \(y\), а значения косинуса на \(x\).

А раз такие дела, то давайте обзовем наши оси координат не \(x\) и \(y\), а осями \(cos\) и \(sin\) соответственно. На этих осях будут лежать значения косинуса и синуса всех углов на окружности. И в дальнейшем на всех рисунках оси мы будем обозначать \(cos\) и \(sin\) соотвественно.

Обратите внимание еще на один факт: координаты любой точки на окружности обязательно будут больше минус единицы и меньше единицы. Это значит, что значения синуса и косинуса лежат в этом же промежутке. Синус и косинус – это ограниченные функции.

Пример 1 Изобразить на тригонометрической окружности синус и косинус \(\frac<\pi><3>=60^o\).

Повернем отрезок \(OA\) против часовой стрелки на \(\frac<\pi><3>\), получим точку \(W\) на окружности, которая соответствует этому углу. Если выполнять все это на миллиметровке и строить очень точно, то вы увидите, что координата точки \(W\) по \(y\) будет \(W_=\frac<\sqrt<3>><2>\approx0,87\), а по оси \(x\) координата будет \(W_=\frac<1><2>\).

Исходя из сказанного выше, мы делаем вывод: $$\sin(\frac<\pi><3>)=\frac<\sqrt<3>><2>;$$ $$\cos(\frac<\pi><3>)=\frac<1><2>;$$ Посмотрев в таблицу стандартных углов тригонометрических функций, понимаем, что мы сделали все правильно.

Вам, конечно, не придется сидеть с миллиметровкой и высчитывать значения тригонометрических функций, вы будете пользоваться таблицей стандартных углов. А тригонометрическая окружность нужна как большой помощник. При дальнейшем изучении тригонометрии вы в этом не раз убедитесь.

Кстати, интересно и очень важно отметить, что значение, например, синуса \(\frac<\pi><2>=(90^o)\) будет равно 1, а косинус \(\frac<\pi><2>\) будет равен 0. Чтобы это понять, необязательно смотреть в таблицу стандартных углов, такой вывод можно сделать при помощи тригонометрической окружности.

Действительно, обратите внимание: угол в \(\frac<\pi><2>=(90^o\) соответствует на окружности точке \(B\). Координата точки \(B\) по оси \(x\) будет \(0\), а по оси \(y\) \(1\). А так как координаты точек на окружности, согласно сказанному выше, и есть значения косинуса и синуса угла, то: $$\sin(\frac<\pi><2>)=1;$$ $$\cos(\frac<\pi><2>)=0;$$

Знаки синуса и косинуса в зависимости от угла

В самом начале мы не просто так разбивали нашу окружность на четверти. Дело в том, что в каждой из этих четвертей тригонометрические функции имеют разные знаки. В школе обычно заставляют учить в какой четверти какой знак. Но мы, как всегда, постараемся вникнуть в суть и понять, как это работает. Тем более, что ничего сложного здесь нет, если разобраться в материале выше.

Мы с вами выяснили, что координаты любой точки на окружности – это и есть значения синуса и косинуса. Рассмотрим первую четверть: возьмем произвольную точку \(M\), лежащую на дуге в этой четверти, координата точки \(M\) по \(x\) будет \(M_\) и она будет обязательно положительной, так как лежит между нулем и единицей! А это значит, что косинус угла, соответствующего точке \(M\) тоже будет положительным. Аналогично координата точки \(M\) по оси \(y\) тоже лежит от 0 до 1, а значит синус \(\angle\) тоже положительный.

И какой бы угол мы не нарисовали в первой четверти, у него будут положительные координаты, а значит, и положительные значения косинуса и синуса!

Рассмотрим теперь вторую четверть. Руководствуясь той же логикой: координаты произвольной точки \(K\), лежащей на дуге из второй четверти по \(x\) будут отрицательны, а по \(y\) положительны. Делаем вывод, что косинус любого угла из второй четверти будет отрицательным, а синус положительным.

Точно так же в третьей четверти и косинус, и синус будут отрицательными.

В четвертой четверти косинус положительный, а синус отрицательный.

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Теперь разберемся, как пользоваться тригонометрической окружностью в случае тангенса и котангенса.

Тангенс на окружности и его знаки

Чтобы на окружности можно было пользоваться тангенсом, нам понадобится дополнительная ось. Проведем ее перпендикулярно оси \(x\) (теперь это у нас ось косинусов) через точку \(A\):

Эта ось параллельна оси \(y\) и полностью ее дублирует. В точке \(A\) будет координата \(0\). Отметим на окружности в первой четверти произвольную точку \(L\). Соединим точку \(L\) с центром окружности и продлим прямую до пересечения с новой осью в точке \(F\).

Мы получили прямоугольный треугольник \(FOA\). В этом прямоугольном треугольнике можем расписать тангенс по определению:

$$tg(\angle)=\frac;$$ А так как \(OA\) это ни что иное, как радиус единичной окружности: $$tg(\angle)=FA;$$ А \(FA\) – это координата точки \(F\) по нашей новой оси. Значит \(tg(\angle)=tg(\angle)\) будет равен координате точки \(F\) по новой оси.

Аналогичным образом я могу выбрать другую произвольную точку \(P\) на окружности в первой четверти, продлить до пересечения с новой осью, получить некоторую точку \(T\). И опять, тангенс получившегося угла \(\angle=\angle\) будет равен координате точки \(T\) на новой оси.

Тут все ясно, но возникает справедливый вопрос: а что, если угол лежит не в первой четверти?

Логика рассуждений сохраняется: произвольному углу \(\angle\) соответствует своя точка на окружности \(Q\), соединим точку \(Q\) с центром окружности и продлим до пересечения с новой осью в точке \(H\). Оказывается, тангенс \(\angle\) будет равен координате точки \(H\) по новой оси.

Общая логика простая – берем точку на окружности, соответствующую некоторому углу \(\alpha\), соединяем ее с центром окружности и продляем до пересечения с осью тангенса. Координата точки пересечения с осью тангенса и будет значением тангенса угла \(\alpha\).

Эта ось называется осью тангенсов, так как на ней лежат значения тангенсов всех углов на окружности.

Стоит обратить внимание на знаки тангенса. Если соединять точки на окружности, лежащие в первой и третьей четвертях с центром окружности, то пересекать ось тангенсов эти прямые будут всегда выше \(0\). Значение тангенса любых углов из первой и третьей четвертей будет положительно.

А если углы лежат во второй и четвёртой четвертях, то их тангенс будет отрицательным.

Котангенс на окружности и его знаки

С котангенсом ситуация очень похожа на тангенс. Только в этот раз мы проводим горизонтальную ось перпендикулярно оси синусов через произвольную точку \(B\). Эта ось будет параллельна оси \(x\) и полностью ее дублировать. Сразу назовем эту ось осью котангенса. Ноль на оси котангенса будет совпадать с точкой \(B\).

Теперь выберем произвольную точку \(N\) на окружности, этой точке будет соответствовать угол \(\angle\). Соединим точку \(N\) с центром окружности и продлим получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса в точке \(Q\).

Обратите внимание, что \(\angle=\angle\), как накрест лежащие при параллельных прямых (оси синуса и котангенса). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BOQ\) и распишем в нем котангенс \(\angle\), как отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике: $$ctg(\angle)=ctg(\angle)=\frac=QB;$$ Мы получили, что котангенс \(\angle\) равен координате точки \(Q\) на оси котангенса.

Аналогичным образом можно выбрать произвольную точку на единичной окружности, соединить ее с центром окружности, продлить получившуюся прямую до пересечения с осью котангенса, координата получившейся точки будет значением котангенса угла, соответствующего точке на окружности.

И у внимательного читателя должен возникнуть вопрос! Ведь не любую точку на окружности возможно соединить с центром окружности и продлить до пересечения с осью тангенса или котангенса.

Действительно, если точки \(B\) и \(D\) соединить с центром окружности, то получится прямая параллельная оси тангенса, а значит, она никогда не пересчёт ее. Как же тогда найти значения тангенса углов, соответствующих точкам \(B\) и \(D\)? А никак, тангенс этих углов не существует. Точкам \(B\) и \(D\) соответствуют углы: \(\frac<\pi><2>=90^o, \, \frac<3\pi><2>=270^o, \, -\frac<\pi><2>=-90^o\) и т.д. Каждой точке на окружности, как мы помним, соответствует бесконечное количество углов с периодом \(2\pi=360^o\).

Аналогичные рассуждения с котангенсом. Котангенс не будет существовать от углов: \(0, \, \pi=180^o, \, -\pi=-180^o, \, 2\pi\) и т.д.

Несколько важных свойств тангенса и котангенса.

• Из построения можно заметить, что для любых углов из первой и третьей четвертей котангенс и тангенс будут положительные, а для второй и четвертой – отрицательные;
• Тангенс и котангенс – неограниченные функции. Это значит, что они могут принимать абсолютно любые значения: \(tg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\) и \(ctg(\alpha)\in(-\infty;+\infty);\)
• Тангенс не существует от углов на окружности в точках \(B\) и \(D\);
• Котангенс не существует от углов на окружности в точках \(A\) и \(C\);

Пример 2 Изобразить на тригонометрической окружности \(ctg(\frac<\pi><6>)\).

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

График функции (синусоида)

Свойства функции

1. Область определения: R (x — любое действительное число) т.е.
2. Область значений:

Функция нечетная:

(график симметричен относительно начала координат).

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков

Если (рис.3,б), то при увеличении аргумента ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции (косинусоида).

Свойства функции

1. Область определения: R (x — любое действительное число).
2. Область значений:

Функция четная:

(график симметричен относительно оси ).

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому при

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков .

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции (тангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная:

4. Функция периодическая с периодом

5. Точки пересечения с осями координат:

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

СВОЙСТВО ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная:

4. Функция переодическая с периодом
5. Точки пересечения с осями координат:

Знаки тригонометрических функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

1. sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
2. cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
3. tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

1. sin (3π/4);
2. cos (7π/6);
3. tg (5π/3);
4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
5. cos (2π/3) · tg (π/4);
6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!