Боковое ребро призмы как найти

Ребро призмы

Так как призма – это геометрическое тело, в основаниях которого лежат одинаковые многоугольники, следовательно, все ее боковые ребра равны между собой, а если призма является правильной, то есть в основании находится правильный многоугольник, тогда и ребра при основании тоже равны друг другу. Если известна площадь боковой или полной поверхности призмы (в том случае если она прямая), то вычислить боковое ребро достаточно просто, так как оно совпадает с высотой по значению.

Через площадь боковой поверхности все значительно упрощается, если многоугольник в основании правильный ( n – количество сторон правильного многоугольника, b – длина стороны).

Для того чтобы найти боковое ребро призмы через площадь полной поверхности, необходимо будет знать площадь основания призмы. Рассчитать ее можно в разделе «Площади», где приведены формулы для различных геометрических фигур.

Для правильных многоугольников в основании предлагается сразу смоделированная формула нахождения ребра призмы.

Найти боковое ребро призмы через объем можно, разделив его на площадь основания:

Найти боковое ребро правильной призмы можно по той же формуле, но уже минуя площадь основания через его сторону:

Призма. Площади поверхностей. Объём

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Призма. Площади поверхностей. Объём»

Напомним, что призмой называется многогранник, у которого две грани – равные />-угольники, лежащие в параллельных плоскостях (эти грани называются основаниями призмы), а остальные />граней – параллелограммы.

Эти параллелограммы называются боковыми гранями, а их стороны, не лежащие на основаниях призмы, называются боковыми рёбрами призмы.

Боковые рёбра призмы параллельны и равны.

Высотой призмы называется расстояние между основаниями.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней.

Площадью полной поверхности призмы – сумма площадей её боковых граней и двух площадей оснований.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Призма, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё название.

Рассмотрим наклонную призму. Здесь основания – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые грани – параллелограммы. Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Диагональ призмы соединяет две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональное сечение проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, и является параллелограммом. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней. Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований.

Рассмотрим прямую призму. Здесь боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Боковые грани – прямоугольники. Высота равна боковому ребру. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту (на боковое ребро).

И рассмотрим ещё правильную призму. Здесь в основании лежит правильный многоугольник. Боковые рёбра перпендикулярны основанию. Боковые грани – равные прямоугольники.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. В основании прямой четырёхугольной призмы лежит четырёхугольник со сторонами см, см, см и см. Высота призмы равна см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задача вторая. Дана шестиугольная наклонная призма с боковым ребром см. Периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, равен см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задача третья. Дана прямая пятиугольная призма, в основание которой вписана окружность с радиусом см. Площадь основания призмы равна см 2 , боковое ребро призмы равно см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Задача четвёртая. Дана прямая четырёхугольная призма В основании призмы лежит прямоугольная трапеция с основаниями см, см и , в которую можно вписать окружность. Диагональное сечение призмы является квадратом. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Задача пятая. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна , диагональ боковой грани равна . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Задача шестая. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна см 2 . Диагональ боковой грани равна см. Найдите наибольший возможный объём призмы, задаваемой этими условиями.

Правильная четырехугольная призма

При решении задач на тему «правильная четырехугольная призма» подразумевается, что:

Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)

Задача.

В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.

Решение.
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см

Ответ: 22 см

Задача

Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.

Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:

a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:

h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Понятие призмы в геометрии и ее характеристики

Призма — геометрическая фигура, многогранник, с двумя равными сторонами (или гранями) в виде многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях. Остальные его стороны (грани) являются параллелограммами и имеют единые грани с данными многоугольниками. Такие параллелограммы носят название боковых граней призмы, а два параллельных многоугольника в призме носят названия оснований призмы.

Многоугольник, который лежит в основании призмы, напрямую обуславливает наименование призмы. Так, если основанием является треугольник, то перед нами треугольная призма, если четырехугольник, то перед нами четырехугольная призма, а если пятиугольник, то перед нами пентапризма и так далее.

Призма состоит из следующих элементов:

1. Оснований.
2. Боковых граней.
3. Боковой поверхности.
4. Полной поверхности.
5. Боковых ребер.
6. Высоты.
7. Диагонали.
8. Диагональной плоскости.
9. Диагонального сечения.
10. Перпендикулярного сечения.

Рассмотрим каждый элемент подробно. Перед вами чертеж призмы:

Основание — такие две грани, которые являются по своему виду равными многоугольниками, лежат в параллельных плоскостях друг к другу. На чертеже основаниями являются ABCDE и KLMNP.

Боковыми гранями называются все грани призмы, кроме оснований. Важно запомнить, что каждая из боковых граней обязательно является по виду параллелограммом. На чертеже боковыми гранями являются ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP.

Боковой поверхностью называют совокупность всех боковых граней призмы. А полной поверхностью, в свою очередь, может называться совокупность оснований и боковых сторон.

Боковые ребра — совместные стороны боковых граней. На чертеже боковыми ребрами являются AK, BL, CM, DN, EP.

Высотой называют отрезок, соединяющий плоскости, в которых расположены основания данной фигуры. Является перпендикулярной данным плоскостям. На чертеже высотой является отрезок KR.

Диагональ — отрезок, соединяющий две точки, являющиеся вершинами, и при этом не лежащие на одной плоскости. На чертеже диагональю является BP.

Диагональной плоскостью называют такую плоскость, которая проходит через одно из боковых ребер и диагональ. На чертеже диагональной плоскостью является EBP.

Диагональным сечением называют пересечение диагональной плоскости и самой призмы. В таком сечение образуется фигура — параллелограмм, иногда частные случаи данной фигуры (ромб, квадрат и прямоугольник). На чертеже диагональным сечением является EBLP.

Перпендикулярное сечение — пересечение плоскости, которая перпендикулярна боковому ребру, и призмы.

Значение, характеристики, свойства

Основные свойства данной фигуры:

1. Основаниями призмы всегда являются только многоугольники.
2. Боковые грани данной фигуры — параллелограммы.
3. Боковые ребра данной фигуры равны и параллельны.
4. Объем призмы вычисляется по следующей формуле: V = S*h. То есть объем — это произведение высоты фигуры на площадь ее основания.
5. Объем призмы, основанием которого является правильный n-угольник, вычисляется по следующей формуле: .
6. Перпендикулярное сечение является перпендикулярным по отношению ко всем ребрам боковым данной фигуры.
7. Углами перпендикулярного сечения являются линейные углы двугранных углов при надлежащих боковых ребрах.
8. Перпендикулярное сечение является перпендикулярным по отношению ко всем боковым гранями призмы.
9. Бипирамида является двойственным многогранником прямой призмы.

Посмотрите на бипирамиду (перед вами ромбическая):

Виды, как выглядит правильная

Призма, основанием для которой служит параллелограмм, называют в геометрии параллелепипедом. Посмотрите на параллелепипед (перед вами прямоугольный):

Кратко рассмотрим виды призмы:

В целом существует четыре вида призм:

1. Прямая.
2. Правильная.
3. Наклоненная.
4. Усеченная.

Прямая призма — такая фигура, боковые ребра которой являются перпендикулярными к плоскости основания. Из этого следует, что все боковые грани данной фигуры — прямоугольники.

Прямая прямоугольная призма также носит название прямоугольного параллелепипеда.

Правильная призма — прямая призма, у которой основанием будет считаться правильный многоугольник. Боковые грани для данной фигуры — равные прямоугольники.

Правильная призма, у которой боковые грани — квадраты, будет называться полуправильным многогранником.

Посмотрите на правильную призму:

Прямые призмы при условии правильных оснований и единой длины ребер должны образовывать одну из двух беспрерывных последовательностей полуправильных многогранников. Другую такую же последовательность могут образовывать антипризмы.

Наклонные призмы — такие призмы, ребра которых не являются перпендикулярными к плоскости основания.

Посмотрите на наклонную призму:

Усеченная призма — такой многогранник, который отделяется от фигуры непараллельной к основанию плоскостью. По определению усеченная призма не является сама призмой.

Посмотрите на усеченную призму:

Построение графика, формулы, примеры задач

Как построить призму?

Нужно взять во внимание то, какой многоугольник является основанием для призмы. Чертим сначала его. Далее проводим из вершин многоугольника параллельные линии, откладываем на них одинаковые отрезки и соединяем их концы — у нас получается второе основание. Боковые стороны (грани призмы) — параллелограммы.

На плоскости получается, что n-угольная призма — фигура, состоящая из двух абсолютно равных n-угольников (полученных путем параллельного переноса), которые являются основаниями, а также n-параллелограммов.

Для призмы будут верны следующие формулы:

Объем фигуры вычисляется по формуле: V = S*h.

Площадь вычисляется по формуле: Задача 1

Нам дана правильная призма, основанием которой является четырехугольник (квадрат). Диагональ призмы равна 15, а диагональ основания будет равна

Представим, что ABCDA1B1C1D1 является призмой. Мы знаем, что она правильная, а это значит, что в основании лежит квадрат, а сама призма — прямая. В таком случае получается, что треугольник BB1D является прямоугольным. Значит, по теореме Пифагора мы можем вычислить сторону BB1:

Значит, что Задача 2

Боковое ребро наклоненной призмы, основанием который является квадрат, равно 14 см. Перпендикулярное сечение данной фигуры — ромб со стороной в 7 см. Нужно найти площадь боковой поверхности.

ABCDA1B1C1D1 — призма. Сторона AA1 будет равна 14 см. Перпендикулярное сечение — 7 см.

Согласно условию, перпендикулярное сечение — ромб, сторона которого равна 7 см. Все стороны у ромба равны. Периметр перпендикулярного сечения вычислим по следующей формуле: