Как найти сторону треугольника зная радиус
Вычисление стороны треугольника по радиусу — одна из базовых задач, с которой сталкивается любой ученик в школе. Но взрослые тоже могут столкнуться с этой задачей, например, если нужно построить геометрический объект на дачном участке или в производственных целях.
Существует несколько способов вычисления стороны треугольника по радиусу, каждый со своими формулами и особенностями. Наиболее распространенными являются геометрический и тригонометрический методы. Также существуют ряд задач, которые могут быть решены с помощью компьютерных программ или онлайн калькуляторов. В данной статье мы рассмотрим основные способы вычисления стороны треугольника по радиусу и попытаемся разобраться в некоторых сложных моментах, с которыми может столкнуться начинающий ученик.
Как вычислить сторону треугольника по радиусу: основные способы и формулы
Радиус описанной вокруг треугольника окружности — это расстояние от центра описанной окружности до любой из трех сторон треугольника. Вычислить сторону треугольника по радиусу описанной окружности можно, зная длину двух других сторон треугольника и зная, что:
- Радиус описанной вокруг треугольника окружности равен произведению длин трех сторон треугольника, деленному на удвоенную меру его площади.
- Чем больше радиус описанной окружности, тем больше периметр треугольника.
Если известна длина одной стороны треугольника, то можно вычислить радиус описанной вокруг него окружности по формуле:
Радиус описанной окружности: r = a/(2*sinα)
где а – длина стороны треугольника, α – угол между этой стороной и противоположным радиусом окружности.
Если сторона треугольника неизвестна, но известны его углы, то можно воспользоваться формулой:
Радиус описанной окружности: r = (a*b*c)/(4*S)
где a, b и c – длины сторон треугольника, S – его площадь.
Также можно вычислить радиус вписанной в треугольник окружности по формуле:
Радиус вписанной окружности: r = S/p
где S – площадь треугольника, p – его полупериметр.
На практике для вычисления стороны треугольника по радиусу чаще всего используют формулу вычисления радиуса описанной окружности по трем сторонам треугольника.
| Формула рассчета радиуса описанной окружности | Применение в вычислении стороны треугольника по радиусу |
|---|---|
| Радиус описанной окружности: r = (a*b*c)/(4*S) | Вычисляем площадь треугольника и длины его сторон. Получаем радиус описанной окружности. Из радиуса и угла между двумя известными сторонами треугольника вычисляем третью сторону. |
Используя эти формулы, можно легко вычислить сторону треугольника по радиусу. При этом следует иметь в виду, что полученное значение может быть приближенным, так как величина радиуса окружности, описанной вокруг треугольника, зависит от углов между его сторонами.
Радиус описанной окружности треугольника: формула и вычисление стороны
Радиус описанной окружности треугольника — это расстояние от центра описанной окружности до любой из вершин треугольника. Если известен радиус описанной окружности, можно вычислить сторону треугольника.
Формула для вычисления радиуса описанной окружности треугольника:
r = a*b*c / (4*S)
- r — радиус описанной окружности
- a, b, c — стороны треугольника
- S — площадь треугольника
Чтобы вычислить сторону треугольника, используя радиус описанной окружности, нужно воспользоваться формулой:
a = 2*r*sin(α), b = 2*r*sin(β), c = 2*r*sin(γ)
- α, β, γ — углы треугольника, противолежащие соответственно сторонам a, b, c
- r — радиус описанной окружности
С помощью этих формул можно вычислять неизвестные стороны треугольника, если известен радиус описанной окружности.
Радиус вписанной окружности треугольника: формула и вычисление стороны
Радиус вписанной окружности треугольника — это расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника. Вписанная окружность касается каждой стороны треугольника в точке, называемой точкой касания.
Существует несколько способов вычисления радиуса вписанной окружности, но один из наиболее простых заключается в использовании формулы:
r = S / p
где r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника (сумма всех сторон, деленная на 2).
Применение этой формулы позволяет рассчитать радиус вписанной окружности, если известны площадь треугольника и его стороны.
Вычисление стороны треугольника по радиусу вписанной окружности также возможно при помощи формулы:
a = 2r * tg(A/2)
где a — сторона треугольника, r — радиус вписанной окружности, A — угол при вершине треугольника, противолежащий этой стороне.
Эта формула позволяет рассчитать сторону треугольника, если известен радиус вписанной окружности и угол при вершине треугольника.
Зная радиус вписанной окружности, можно не только вычислить стороны треугольника, но и рассчитать другие параметры треугольника, такие как высоты, углы и периметр.
Способы вычисления стороны треугольника по заданным радиусам: примеры и приложения
Вычисление стороны треугольника является одним из важнейших задач геометрии. Одним из подходов к решению данной задачи является определение стороны по заданным радиусам.
Существует несколько способов вычисления стороны треугольника по радиусу, среди которых наиболее популярны следующие:
- Формула герона
- Теорема синусов
- Теорема косинусов
Формула герона используется для вычисления площади треугольника. Для нахождения стороны треугольника, мы можем использовать полученную площадь и другие известные параметры треугольника.
Теорема синусов позволяет определить соотношение между сторонами и углами треугольника. Используя данную теорему, мы можем найти неизвестные стороны треугольника по известным радиусам.
Теорема косинусов также связывает стороны треугольника с углами, однако находит необходимую сторону через две другие стороны и угол между ними. Эта теорема также может быть применима для вычисления стороны треугольника по заданным радиусам.
Все вышеупомянутые методы являются важными инструментами для геометрических вычислений. Их применение может быть особенно полезным при решении задач, связанных с треугольниками, в которых имеются известные радиусы.
№706 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Сторона треугольника 14 формул расчет онлайн
После проведения расчета нажмите на кнопочку «Расчет не верен» если Вы обнаружили ошибку. Или нажмите «расчет верный» если ошибок нет.
Как найти длину стороны треугольника?
Для прямоугольного треугольника:
1) Найти катет через гипотенузу и другой катет
где a и b — катеты, с — гипотенуза.
2) Найти гипотенузу по двум катетам
где a и b — катеты, с — гипотенуза.
3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу
где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β° — углы напротив катетов.
4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол
где a и b — катеты, с — гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.
Для равнобедренного треугольника:
1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними
где a — искомое основание, b — известная боковая сторона,α° — угол между боковыми сторонами.
2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании
где a — искомое основание,b — известная боковая сторона,β° — угол при осноавнии.
3) Найти боковые стороны по углу между ними
где b — искомая боковая сторона, a — основание,α° — угол между боковыми сторонами.
4) Найти боковые стороны по углу при основании
где b — искомая боковая сторона, a — основание,β° — угол при осноавнии.
Для равностороннего треугольника:
1) Найти сторону через площадь
где a — искомая сторона, S — площадь треугольника.
2) Найти сторону через высоту
где a — искомая сторона,h — высота треугольника.
3) Найти сторону через радиус вписанной окружности
где a — искомая сторона,r — радиус вписанной окружности.
4) Найти сторону через радиус описанной окружности
где a — искомая сторона,R — радиус описанной окружности.
Для произвольного треугольника:
1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)
где a — искомая сторона, b и с — известные стороны, α° — угол напротив неизвестной стороны.
2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)
где a — искомая сторона, b — известная сторона, α° и β° известные углы.
Как найти сторону треугольника с помощью онлайн калькулятора
Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек (вершины), которые не лежат на одной прямой и трех попарно соединяющих эти точки отрезков (стороны). Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, равнобедренными, равносторонними, разносторонними. С данной фигурой связано много формул, теорем, правил. Ниже приведены формулы и примеры по нахождению стороны треугольника.
- Сторона треугольника равностороннего через радиус описанной окружности
- Сторона треугольника равностороннего через радиус вписанной окружности
- Сторона треугольника равностороннего через площадь треугольника
- Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними
- Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол при основании
- Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами
- Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол при основании
- Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
- Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и другой известный катет
- Гипотенуза прямоугольного треугольника через катет и острый угол
- Сторона треугольника через две известные стороны и угол между ними
Сторона равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через радиус описанной окружности необходимо ее радиус умножить на корень квадратный из трех. Таким образом, формула будет выглядеть следующим образом:
где а — сторона треугольника, R — радиус описанной окружности.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом описанной окружности 10см. Подставим в формулу и получится: a = 10*√3 = 10 * 1,732 ≈ 17,3 см.
Сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Для нахождения стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности следует использовать формулу радиуса r= a (√3 / 6) . Отсюда можно вывести формулу следующим образом: a = r (6 / √3) = r *(6√3 / √3√3) = r * (6√3 / 3) . Формула будет следующая (удвоенный радиус умножить на квадратный корень из трех):
где а — сторона треугольника, R — радиус вписанной окружности.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с радиусом вписанной окружности 23см. Подставим в формулу и получится: a = 2 * 23 * √3 = 2 * 23 * 1,732 ≈ 79,7см .
Сторона равностороннего треугольника через высоту
Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через высоту следует применить теорему Пифагора. Сторона равностороннего треугольника a² будет равна сумме квадратов высоты и половины основания, которое также является стороной a: a² = h² + (a/2)² ⇒ a² = h² + a²/4 ⇒ a² — a²/4 =h² ⇒ (4a² — a²) / 4 = h² ⇒ 3a²/4 = h² ⇒ a² = 4*h²/3 ⇒a = √(4h²/3) . Отсюда можно вывести формулу для нахождения стороны через высоту:
где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с высотой 45см. Подставим в формулу и получится: a = 2 * 45 / √3 = 2 * 45 / 1,732 ≈ 51,963 см .
Сторона равностороннего треугольника через площадь
Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника через площадь нужно применить следующую формулу
где а — сторона, S — площадь равностороннего треугольника.
Пример. Пусть дан равносторонний треугольник с площадью 64м². Подставим в формулу и получится: a = √(4*64 / √3)= √(4 * 64 / 1,732) ≈ 12,157 см .
Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними
Равнобедренным называется треугольник, у которого есть две равные стороны, называемые ребрами, а третья сторона основанием. Для того чтобы найти основание нужно знать или один из углов, или высоту треугольника, приводящаяся к основанию. Его можно вычислить по данной формуле:
где a — длина основания треугольника, b — длина стороны треугольника; α — это угол, который противоположен основанию.
Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 12°, то: a = 2⋅10⋅sin 12/2 = 2⋅10⋅0,1045 =2,09 см .
Основание равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол при основании
Угол при основании равнобедренного треугольника равен разности 90º и половины угла при его вершине и чем больше угол при вершине равнобедренного треугольника, тем он меньше. Может быть только острым, то есть прямым или тупым он быть не может. Если известен угол при основании и боковые стороны, то можно найти основание равнобедренного треугольника по следующей формуле:
где b — боковая сторона, β — угол при основании.
Пример. Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то: a = 2⋅10⋅cos 40 = 2⋅10⋅0,766 =15.32 см .
Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами
В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны, из чего можно сделать вывод что если углы при основании треугольника одинаковы по значению, значит он является равнобедренным. Это значит, что α = β.
Формула, выражающая боковую сторону равнобедренного треугольника через основание и угол боковыми сторонами:
где d — основание равнобедренного треугольника, α — угол между боковыми сторонами.
Пример. Если сторона a = 17 см, а ∠α = 50°, то: a = 17 / 2 * sin (50/2) = 17 / 2 * sin 25 = 20.11 см .
Боковая сторона равнобедренного треугольника через основание и угол при основании
Если известно основание и угол при нем, то формула боковой стороны равнобедренного треугольника будет выглядеть следующим образом:
где a — это основание, β — угол при основании равнобедренного треугольника.
Здесь длина боковых сторон будет равно b: AB=BC=b, длина основания a: AC=a. Для доказательства формулы боковой стороны применяется теорема косинусов, вернее, ее следствие.
Пример. Пусть основание (a) равно 35мм, а угол β — 60º, тогда подставив в формулу получим b = 35 / 2 * 0,5=35 мм .
Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
Катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол выражается данным образом: катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α, то есть формула будет выглядеть следующим образом:
где c — гипотенуза, α — острый угол прямоугольного треугольника.