Чем отличается ln от lg

$\log_ab^n = n \cdot \log_ab$ показать пример

$\log_bc = \frac<\log_ac><\log_ab>$ показать пример

$\log_b = \frac<1>\log_ab, \ \ n\ne0$

log_a(b ± c) — формула не существует

Антилогаритмуване

log_ab = log_ac ⇔ b = c
log_ab = c ⇔ a c = b, который b > 0, a > 0 и a ≠ 1

График логарифма

Отсюда видно, что когда x = 1 , log = 0 ; где x -> 0 => log -> -∞ ; когда x -> ∞ log -> ∞

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Что такое логарифм

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c» . Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182. мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета. Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов:

Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

Основное логарифмическое тождество:

В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает:

А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

Дальше с этим ничего сделать не сможем.

Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

А в основании тоже можно? Нужно!

Минус два — это степень у основания:

А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода:

А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

Формула перехода к новому основанию:

Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:

Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

Начинаем с внутреннего:

И постепенно раскрываем каждый последующий:

После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

Первый появляется из определения логарифма:

Только не забываем про ОДЗ:

Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием:

Не забываем про ОДЗ, тогда получится:

Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:

Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

Понимание разницы между ln и log10: подробное объяснение

Математические функции, такие как натуральный логарифм ln и десятичный логарифм log10, являются неотъемлемой частью множества научных и инженерных расчетов. Однако, многие люди не понимают различия между натуральным логарифмом и десятичным логарифмом, а следовательно, не могут правильно применять эти функции в своей работе.

В этой статье мы рассмотрим, какие основные различия между ln и log10, и как их применять для решения задач в различных областях, включая математику, физику, химию и технические науки.

Важно отметить, что натуральный логарифм, обозначаемый как ln, является логарифмом по основанию e, также известному как число Эйлера. Десятичный логарифм, обозначаемый как log10, является логарифмом по основанию 10. Хотя эти две функции похожи, у них есть несколько отличий, которые важны для понимания.

Понимание разницы между ln и log10: что такое ln и log10?

Одной из базовых концепций в математике является логарифм. Логарифм – это математическая функция, которая определяет степень, в которую нужно возвести определенное число, чтобы получить другое число. Так, если речь идет о логарифме с основанием 10, то, например, логарифм числа 100 равен 2, потому что 10 в степени 2 равно 100. Однако существуют и другие основания, включая основание e. Таким образом, мы получаем два типа логарифма: ln и log10.

ln – это натуральный логарифм. Он использует основание e. Ученый Эйлер, который ввел константу e, определил ее как предел (1+1/n)^n при n стремящемся к бесконечности. Одна из наиболее распространенных причин использования натурального логарифма – это то, что он является базовой функцией экспоненты. С помощью ln мы можем вычислить, например, процентный прирост или уменьшение экспоненциальной функции.

log10 – это логарифм с основанием 10. Он несколько проще в использовании, потому что большинство из нас мы привыкли работать с десятичными числами в повседневной жизни. Log10 используется для выполнения различных задач, например, для расчета октав или декад.

Отличие между ln и log10 и применение каждого из них

Что такое ln и log10?

ln и log10 — это две различные математические функции, использующиеся для логарифмирования чисел. Функция ln возвращает натуральный логарифм числа, а функция log10 возвращает десятичный логарифм числа.

Натуральный логарифм числа — это логарифм, вычисленный с помощью числа e (приблизительно 2,71828), возводимого в степень, чтобы получить данное число. Десятичный логарифм числа — это логарифм, вычисленный с помощью числа 10, возводимого в степень, чтобы получить данное число.

Как отличить ln от log10?

Важно понимать различие между этими функциями, чтобы правильно использовать их в различных задачах. Если вам нужно вычислить натуральный логарифм числа, используйте функцию ln. Если вам нужно вычислить десятичный логарифм числа, используйте функцию log10.

Пример: логарифм числа 1000 составляет 3 при использовании функции log10 и приблизительно 6,9078 при использовании функции ln.

Когда их использование оправдано?

Функции ln и log10 используются в различных научных и инженерных областях. Натуральный логарифм используется чаще всего в статистике и математической физике. Десятичный логарифм используется в науке о звуке и спектроскопии.

Также эти функции могут быть использованы при решении задач, связанных с процентами, временем и денежными суммами. Например, для вычисления процентов роста на продолжительность периода можно использовать функцию ln, а для вычисления процентного выражения различий в эффективности двух методов можно использовать функцию log10.

Использование ln и log10 зависит от конкретной задачи и необходимости работать с определенными типами логарифмов.

Примеры использования ln и log10 в математике и научных областях

Ln в математике:

Ln – это обратная функция экспоненты, полученная из логарифма с основанием e (e = 2,71828…). Она играет важную роль в математике, закономерностях роста и убывания, а также функциях бесконечно малых. Например, при решении уравнений с переменными в степени, ln используется для установления логарифмической связи между переменными. Также, ln широко применяется в анализе данных и моделировании.

Log10 в научных областях:

Log10 является логарифмом с основанием 10. Он широко используется для измерения градации величин на логарифмической шкале, таких как pH (кислотность) или звуковое давление. В физике, log10 используется для измерения энергетических уровней излучения, где каждое увеличение на единицу соответствует увеличению энергии в 10 раз. В биологии, log10 используется для измерения концентрации ионов.

Сравнение ln и log10:

Важно понимать разницу между ln и log10 в работе с данными. Ln используется как естественный логарифм, в то время как log10 используется как десятичный логарифм. Ln является более точным и удобным при работе с большими числами, так как имеет более высокую разрядность, чем log10. Однако, использование log10 обеспечивает более простое чтение и интерпретацию результатов, особенно при работе с логарифмической шкалой.