Как найти проекцию вектора на плоскость

Проекция вектора на ось и на плоскость. Аналитическое задание вектора

Проекцией вектора на ось (рис. 1) называется взятая с соответствующим знаком длина отрезка , заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось. Проекция берется со знаком "плюс", если перемещение от к совпадает с положительным направлением оси , и, если нет, то со знаком "минус», или .

Рисунок

Согласно определению, проекция вектора на ось есть величина скалярная: положительная или отрицательная, в зависимости от того, острый иди тупой угол образует проектируемый вектор с осью проекций.

Из самого определения проекции вектора на ось следует, что проекция не изменится, если мы будем переносить вектор параллельно самому себе или если будем проектировать на различные, но параллельные и одинаково направленные оси.

Проекцией вектора на плоскость называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца вектора на эту плоскость (рис. 2). По определению есть вектор, который характеризуется не только своим численным значением, но и направлением в плоскости . Модуль вектора определяется равенством , где – угол между векторами и .

Рисунок

Суммой двух свободных векторов называется вектор, совпадающий по величине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Сумма нескольких векторов есть вектор, который изображается замыкающей стороной ломаной линии, составленной из слагаемых векторов. При этом начало каждого последующего вектора откладывается от конца предыдущего, а замыкающий вектор направлен от начала первого слагаемого вектора к концу последнего. Составленный таким способом многоугольник носит название векторного многоугольника, а сам метод – правила векторного многоугольника. Если ломаная линия, составленная из слагаемых векторов, самозамыкается, т. е. если конец последнего из слагаемых векторов совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулю.

В векторном исчислении различают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

1. Скалярным произведением двух векторов и называется скалярная величина, равная произведению модулей и этих векторов, умноженному на косинус угла между ними (рис. 3). По определению .

Рисунок 3

Скалярное произведение двух векторов можно рассматривать как произведение модуля одного вектора на проекцию на него другого, т. е.

Из этого равенства следует, что:

а) скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю;

б) скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, т. е. . Здесь .

2. Векторное произведение есть вектор (рис. 4), модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними.

Направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через векторы и , причем в ту сторону, чтобы, смотря с конца полученного вектора , видеть кратчайший поворот первого вектора до совмещения со вторым против хода часовой стрелки (рис. 4). По определению вектор векторного произведения определяется по формуле

Рисунок 4

Из последнего равенства следует, что:

1) модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 4);

2) векторное умножение двух векторов свойством коммутативности (переместительности) не обладает, так как .

4. Проекция вектора на ось и на плоскость.

Определение. Проекцией точки на осьназывается точка— точка пересечения этой оси с плоскостью, проходящей через точку, перпендикулярно оси(рис. 2.17).

Определение. Геометрической проекцией вектора на осьназывается вектор, гдеисоответственно проекции Рис. 2.17 точек ина ось.

Пусть орт направления оси, тогда существует такое число, что вектор. Числоназываюталгебраической проекцией вектора на осьи обозначают прили пр.

Очевидно, пр=, где— угол между вектороми положительным направлением оси.

Имеют место следующие свойства: а) ; б). Рассматривая отдельноилегко установить свойство а). Второе свойство очевидно.

Определение. Проекцией точки на плоскостьназывается точка— точка пересечения этой плоскости и перпендикуляра, опущенного из точкина плоскость (рис. 2.18).

Определение. Проекцией вектора на плоскость

называют вектор , гдеипроекции точекина эту плоскость и обозначают её

Рис. 2.18 .

Свойства проекции вектора на плоскость:

а) (постоянный множитель можно выносить за знак проекции);

б) (проекция суммы равна сумме проекций).

Справедливость свойства усматривается из рисунка 2.18.

5. Различные виды произведений векторов.

5.1. Скалярное произведение двух векторов.

Определение скалярного произведения векторов

и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначается(или, или).

Если — угол между векторамии, то по определению.

Так как , то справедлива формула. Справедлива и формула.

Итак,

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из этих векторов и проекции другого на направление первого.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.

1). (коммутативный закон). Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2). (ассоциативный закон). ►Действительно, .◄

3). (дистрибутивный закон.) ►◄

4). .

Скалярное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

►Необходимость. Пусть , тогда, откуда либо один из векторов нулевой, либо. Если один из векторов нулевой, то ему можно приписать любое направление, и векторыиперпендикулярны. Если же, то уголпрямой и векторыиперпендикулярны.

Доказано, что из следует.

Достаточность. Пусть, тогда, а, следовательно,. Следовательно, изследует.◄

5). .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора. ►Действительно, ◄

Скалярное произведение в координатной форме.

Пусть и.

Так как взаимно перпендикулярные орты, то,и, учитывая свойства скалярного произведения, имеем.

Скалярное произведение векторов ив координатной форме равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, т.е. .

Применение скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов применяется для нахождения длины вектора, косинуса угла между векторами, проекции одного вектора на направление другого и установления перпендикулярности векторов.

1) или.

2) .

3) .

4) .

● Пример 9. Дано: ,,,,.

Найти: а) длину вектора ;

б) значение параметра , при котором векторыиперпендикулярны.

Решение. а) ;

б) .=

, откуда .

При векторыиперпендикулярны.

● Пример 10. Даны два вектора ,, приложенные к одной точке. Найти вектор, перпендикулярный вектору, равный ему по длине, компланарный с векторами,и образующий с векторомострый угол.

Решение. Так как векторы ,,компланарны, а векторыинеколлинеарны, то векторможет быть разложен по векторами. Найдутся такие числаи, что. Тогда. Вектор, поэтому скалярное произведение.и.

Вектор образует с векторомострый угол, поэтому косинус угла между этими векторами положителен и., откуда.

Так как , то и , откуда. Учитывая, что , имееми.●

Аналитическая геометрия для «чайников»

Настоящая книга позволит вам в сжатые сроки (2-3 недели) освоить основы аналитической геометрии и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят быстро освоить минимум теории и максимум практики

Сначала немного о предмете…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает «аналитическая»? На ум сразу приходят два «штампованных» математических оборота: графический метод решения и аналитический метод решения.

Графический метод связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решения многих задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

04.09. Векторная и скалярная проекции вектора

Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость позволяет построить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный между перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.

Рис. 3.22. Векторная проекция вектора на плоскость.

Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.

В векторной алгебре часто приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование выполняется легко, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Однако задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.

Докажите, что при параллельном переносе векторов их векторная проекция не изменится.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 – вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задача нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что возможно осуществить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.

Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и равна величине, ей противоположной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:

Векторная и скалярная проекции не всегда терминологически разделяются строго на практике. Обычно пользуются термином «проекция вектора», подразумевая под этим скалярную проекцию вектора. При решении же задач необходимо четко эти понятия различать. Следуя установившейся традиции, будем использовать термины «проекция вектора», подразумевая скалярную проекцию, и «векторная проекция» – в соответствии с установленным смыслом.

Докажем теорему, позволяющую вычислять скалярную проекцию заданного вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекция вектора на ось L равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью, то есть

(3.5)

Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L одинаково ориентированы).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним предварительно построения, позволяющие найти угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О – начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет искомым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:

Так как ось L и прямая MN параллельны.

Выделим два случая взаимного расположения вектора и оси L.

1. Пусть векторная проекция и ось L одинаково ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .

2. Пусть и L ориентированы в разные стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в противоположные стороны).

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некоторой точке оси L, и эта ось расположена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L – угол , кроме того сами векторные проекции образуют между собой угол , то