Перпендикулярность плоскостей
Перпендикулярность плоскостей..10 класс Презентация составлена для изучения темы. Будет полезна учителям и учащимся.
Просмотр содержимого документа
«Перпендикулярность плоскостей»
Две плоскости называются перпендикулярными , если угол между ними прямой.
Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей.) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , перпендикулярную плоскости β , c – линия пересечения плоскостей α и β. Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости β через точку пересечения прямой a с плоскостью β проведем прямую b , перпендикулярную прямой c . Через прямые a и b проведем плоскость γ . Прямая c будет перпендикулярна плоскости γ , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в этой плоскости. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости β , то угол, образованный a и b , прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла. Следовательно, плоскости α и β перпендикулярны.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости, и одну в противном случае.
Плоскость α перпендикулярна плоскости β . Будет ли всякая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β ?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC ( C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: 90 о , 60 о .
В кубе A … D 1 укажите плоскости, проходящие через вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC ; б) BCD 1 .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: а ) ABB 1 , BCC 1 , CDD 1 , ADD 1 , ACC 1 , BDD 1 ;
б ) AAB 1 , CDD 1 , AB 1 C 1 .
В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через вершины призмы и перпендикулярные плоскости: а) ABB 1 ; б) ACC 1 ; в) ADD 1 .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ: а) ABC , A 1 B 1 C 1 , AEE 1 , BDD 1 , AB 1 D 1 , BA 1 E 1 ;
б) ABC , A 1 B 1 C 1 , AFF 1 , CDD 1 , BEE 1 , AC 1 D 1 ; CA 1 F 1 ;
в) ABC , A 1 B 1 C 1 , BFF 1 , CEE 1 .
Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ABC .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ. ABB 1 ADD 2 , BCC 1 , CDD 2 , A 1 D 1 C 2 , ACC 1 , BDD 2 , AA 2 C 2 , BB 1 D 1 , CC 1 A 1 , A 1 B 2 D 2 .
Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ADD 1 .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Ответ. ABC , ABB 1 , CDD 1 , A 1 A 2 D 2 , A 3 B 3 C 3 , ABC 1 , CDA 1 , B 2 C 3 D 3 , B 3 C 2 D 2 , AD 3 C 3 , DA 3 B 3 .
Существует ли треугольная пирамида, у которой три грани попарно перпендикулярны?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Существует ли пирамида, у которой три боковые грани перпендикулярны основанию?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой
Могут ли боковыми гранями наклонной призмы быть: а) 2 прямоугольника; б) 3 прямоугольника; в) 4 прямоугольника?
Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, которая пересекает данную плоскость и не перпендикулярна ей?
Варианты ответов
- 1
- 2
- 3
- 4
- бесконечно много
Вопрос 2
Сколько можно провести плоскостей, перпендикулярных данной плоскости и данной прямой, лежащей в этой плоскости?
Варианты ответов
- 1
- 2
- 3
- 5
- бесконечно много
Вопрос 3
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, перпендикулярную данной плоскости?
Варианты ответов
- 1
- 2
- 3
- 5
- бесконечно много
Вопрос 4
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, параллельную данной плоскости?
Варианты ответов
- 1
- 2
- 3
- 5
- бесконечно много
Вопрос 5
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку, не лежащую на данной плоскости?
Варианты ответов
- 1
- 2
- 3
- 5
- бесконечно много
Вопрос 6
ABCD — квадрат с периметром 32, ВМКС — прямоугольник с периметром 24. Плоскости ABCD и ВМКС перпендикулярны. Найдите МD.
Вопрос 7
Треугольник АВС — равносторонний с периметром 45, ВМКС — прямоугольник с периметром 46. Плоскости ВМКС и АВС перпендикулярны. Определите длину МА.
Вопрос 8
Плоскости α и β перпендикулярны. АВ перпендикулярно BD, CD перпендикулярно BD, AB = 3, BD = 6, CD = 2. Найдите длину АС. 
Вопрос 9
Вопрос 10
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, .
Варианты ответов
- не принадлежащей одной плоскости
- принадлежащей одной плоскости
Получите комплекты видеоуроков + онлайн версии
Комментарии 3
Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт
Наталия Мазурова,
Добрый день. Большое Спасибо Вам за ваш тест. Грамотные и интересные вопросы подобраны. Интересно отвечать на такой тест. Очень упрощает подготовку к дистанционному уроку.
НО Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, перпендикулярную данной плоскости? (с ответом на этот вопрос я не согласна, ответом должно быть "бесконечно много", как пример можно взять раскрытую книгу стоящую на столе: корешок — прямая перпендикулярная плоскости,страницы плоскости перпендикулярные поверхности стола.)
С Уважением к Вам и Вашему Труду Мазурова Наталия Сергеевна
Здравствуйте, Наталия Сергеевна. Благодарим Вас за ожидание. Мы проверили тест — ошибок не обнаружили. Пожалуйста, попробуйте пройти его еще раз. Если у Вас возникнут вопросы, пришлите скрины с ошибками в нашу службу техподдержки: [email protected].
Наталия Мазурова,
Добрый день. Большое Спасибо Вам за ваш тест. Грамотные и интересные вопросы подобраны. Интересно отвечать на такой тест. Очень упрощает подготовку к дистанционному уроку.
НО Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, перпендикулярную данной плоскости? (с ответом на этот вопрос я не согласна, ответом должно быть "бесконечно много", как пример можно взять раскрытую книгу стоящую на столе: корешок — прямая перпендикулярная плоскости,страницы плоскости перпендикулярные поверхности стола.)
С Уважением к Вам и Вашему Труду Мазурова Наталия Сергеевна
Здравствуйте, Наталия Сергеевна. Благодарим за Ваш комментарий. Мы обязательно все проверим.
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через прямую, которая пересекает данную плоскость и не перпендикулярна ей? Варианты ответов
1
2
3
4
Высотой трапеции называют отрезок прямой, , заключенный между основаниями. и перпендикулярный им. Обычно это отрезок, проведенный из вершины угла при одном основании перпендикулярно к противоположному основанию.
Высота РАВНОБЕДРЕННОЙ трапеции ABCD, проведенная из тупого угла, делит большее основани на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований (на рисунке приложения это АН ( или КD), а больший — их полусумме ( на рисунке это АК или DH).
Из прямоугольного ∆ АВН по т. Пифагора
Трапеция равнобедренная. CD=AB=5
Периметром называется сумма длин всех сторон многоугольника.
Высотой трапеции называют отрезок прямой, , заключенный между основаниями. и перпендикулярный им. Обычно это отрезок, проведенный из вершины угла при одном основании перпендикулярно к противоположному основанию.
Высота РАВНОБЕДРЕННОЙ трапеции ABCD, проведенная из тупого угла, делит большее основани на отрезки, меньший из которых равенполуразности оснований (на рисунке приложения это АН ( или КD), а больший — их полусумме ( на рисунке это АК или DH).
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Теорема. (Признак перпендикулярности двух плоскостей.) Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство. Пусть плоскость α проходит через прямую a , перпендикулярную плоскости β, c – линия пересечения плоскостей α и β. Докажем, что плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости β через точку пересечения прямой a с плоскостью β проведем прямую b , перпендикулярную прямой c . Через прямые a и b проведем плоскость γ. Прямая c будет перпендикулярна плоскости γ, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b в этой плоскости. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости β, то угол, образованный a и b , прямой. Он является линейным углом соответствующего двугранного угла. Следовательно, плоскости α и β перпендикулярны.
Упражнение 1
Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны?
Упражнение 2
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую?
Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости, и одну в противном случае.
Упражнение 3
Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Будет ли всякая прямая плоскости α перпендикулярна плоскости β?
Упражнение 4
Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой?
Упражнение 5
Плоскость и прямая параллельны. Будет ли верно утверждение о том, что плоскость, перпендикулярная прямой, перпендикулярна и данной плоскости?
Упражнение 6
Равнобедренный прямоугольный треугольник ABC ( C = 90°) перегнули по высоте CD таким образом, что плоскости ACD и BCD образовали прямой угол. Найдите углы ADB и ACB .
Ответ: 90 о , 60 о .
Упражнение 7
В кубе A … D 1 укажите плоскости, проходящие через
вершины куба, перпендикулярные плоскости: а) ABC ; б)
Ответ: а) ABB 1 , BCC 1 , CDD 1 , ADD 1 , ACC 1 , BDD 1 ; б) AAB 1 , CDD 1 , AB 1 C 1 .
Упражнение 8
В правильной шестиугольной призме назовите плоскости, проходящие через вершины призмы и перпендикулярные плоскости: а) ABB 1 ; б) ACC 1 ; в) ADD 1 .
Ответ: а) ABC , A 1 B 1 C 1 , AEE 1 , BDD 1 , AB 1 D 1 , BA 1 E 1 ;
б) ABC , A 1 B 1 C 1 , AFF 1 , CDD 1 , BEE 1 , AC 1 D 1 ; CA 1 F 1 ; в) ABC , A 1 B 1 C 1 , BFF 1 , CEE 1 .
Упражнение 9
Назовите плоскости, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, перпендикулярные плоскости ABC .
Ответ. ABB 1 ADD 2 , BCC 1 , CDD 2 , A 1 D 1 C 2 , ACC 1 , BDD 2 , AA 2 C 2 , BB 1 D 1 , CC 1 A 1 , A 1 B 2 D 2 .