Что такое математика и почему 2×2 может быть 5
Может ли 2×2 = 5? Большинство скажут «нет». Более знакомые с математикой скажут что-то в стиле «нет в рамках поля вещественных чисел». И вот именно это уточнение делает ответ полностью верным. Потому что в принципе, если не привязываться к существующим полям и операторам, в математике может быть что угодно.
Все дело в том, что математика — не естественная наука. Ее действие разворачивается не в реальном мире, а в мире абстракций. Число — уже абстракция. Точка, прямая — тоже абстракции. Множество — абстракция.
Некоторые абстракции ложатся на некоторые сущности в реальном мире. Так, натуральными числами можно измерять количество, а вещественными — длину. Положение на карте можно считать точкой, а толпу людей — множеством. Другие абстракции не ложатся вовсе — например, многомерные пространства или комплексная плоскость.
Однако сама математика как наука оперирует именно абстракциями, не связывая их с реальным миром.
Но вернемся в 2х2.
Допустим, мы работаем с натуральными числами. Что такое привычное нам арифметическое умножение? Согласно определению, axb = a + a . + a, и так b раз. Блин, очень неудобно на пикабу писать формулы, но суть, думаю, вы поняли.
Но кто сказал, что такое определение — единственно возможное? Что нам мешает определить операцию умножения иным образом? Например так:
axb = a + (a + 1) + (a + 2) + . + (a + b-1). Т.е. b слагаемых начиная с a и далее увеличивая на единицу.
Если мы исследуем эту операцию, станет понятно что она «не очень». Нет коммутативности, нет ассоциативности. На ней не построить ни поля, ни даже кольца. Да что там говорить, множество с такой операцией не будет даже группой. Однако все равно это возможно. Я даже допускаю, что в некоторой очень специфической области такая абстракция «ляжет» на какой-то процесс в реальном мире.
И да, несложно заметить, что с таким умножением 2×2=5 🙂
Возможно, кто-то скажет что «незаконно» использовать слово «умножение» для операций, отличных от арифметического умножения. Это не так — для множеств с двумя операциями, кольцами и полями, обычно одну называют «сложением», а другую — «умножением». Есть сложение и умножение матриц. В булевой алгебре дизъюнкцию (или) иногда называют сложением, а конъюнкцию (и) — умножением. Хотя очевидно, что они отличаются от арифметических.
Так что нет никакого криминала в том, чтобы назвать удобную вам операцию умножением даже если результат будет отличаться от арифметического.
P.S. Спонсором поста стал мой бомбёж от дискуссии в комментах. Свой пост я почистил от лишних эмоций. Если кому интересно, откуда ноги растут, то вот: #comment_260155780
P.P.S. если тема зайдет, расскажу как делить на 0. Нет, не на бесконечно малое в пределе, это скукота, а именно на 0. Как вы поняли, в математике все возможно, надо только правильно аксиоматику подвести)
UPD: Честно говоря, не думал что подобный, в общем-то, безобидный пост вызовет столько негатива. Понял, больше подобных постов не будет. Большая просьба — если очень хочется написать гадость, просто поставьте минус пройдите мимо. Конструктива ваша ругань не принесет, а читать неприятно. Всем добра и с наступающим.
Математика (любая её ветвь) строится на аксиомах и базовых определениях. Из этих аксиом и определений выводится все остальное.
В данном случае вы использовали общепринятое определение и переопределили его. Именно поэтому считаю данный пост неверным.
Ваш пример для матриц и булевых переменных некорректен — там операция называется так же, но определена она над другим множеством и поэтому задается другим (так же общепринятым) способом.
Почему от меня минус? Потому что, если следовать вышей логике придется на каждое утверждение приводить, предварительно, всю систему аксиом и определений
Нухули. Поскольку тангенс подлежащего обычными средствами определить трудно, пусть в данном случае будет синий. Влияние бурундуков отметаем сразу, они свистят, это не мешает, но усложняет и без того нечеловеческую задачу. Которую придется решать стоя, чтобы исключить влияние жопы на результат. Итак. В том месте, где ускоренная кривая пересекает ось понимания, временно ставим вертикальную точку с таймером на 20 минут, которых хватит, чтобы съебаться, если решение будет ложным. Далее. Снимаем с проходящей старухи шляпу, на карте накрываем ей Индию. Получается 14. Но не те 14, которые 7+7, а те, которые 140:10, где 10 — это размерность пиздюлей, необходимых для того, чтобы стронуть с места среднеленивого ишака. Пиздим его и выводим за скобки. В скобках пишем: два китайца чешут яйца на высоком берегу. Это единственная магическая формула, которую мы здесь применяем. После ее применения остается кучка пепла и обугленные, но годные скобки. В которые вводим ишака. В старушечьей шляпе. Оголенную Индию накрываем своей, получается 11. 14+11=25. Минус 20 минут чтоб съебаться — получается 5. Минус подоходный — 4,35. Что, строго говоря, не является решением, но как некруглая цифра вызывает доверие и вполне может служить доказательством для людей, окончивших заочные и вечерние отделения.
Тогда 3 х 220 = 380
«Но кто сказал, что такое определение — единственно возможное? Что нам мешает определить операцию умножения иным образом?»
Люди уже договорились о том, какой смысл несёт термин «умножение». И к этому термину привыкли и менять не собираются. Это и мешает.
Потому что если каждый начнёт в какой-то набор звуков и символов вкладывать свой смысл, то языком пользоваться не получится.
продолжай. расширение границ сознания очень полезно
чтобы не застревали в колее обыденности
Американская кровавая лотерея. Как работала мобилизация в США времён войны во Вьетнаме
Американские граждане испытывают особый пиитет к лотереям, нашедший отражение в массовой культуре. Только государственных «лохотронов» насчитывается 45 штук, а самые крупные из них — PowerBall и Megamillions — позволяют счастливчику сорвать джекпот, иногда превышающий 1,5 млрд долларов. Люди с нетерпением ждут очередных розыгрышей, формируя многомиллионные рейтинги телеканалам, транслирующим мероприятия в прямом эфире.
Однако в 1969 году всё приняло не стандартный оборот: в прямом эфире по указу президента Ричарда Никсона была проведена лотерея, в которой победители получали не денежный чек, а возможный билет во Вьетнам.
26 ноября 1969 года Никсон подписал исполнительный указ № 11497 «О внесении изменений в порядок отбора на военную службу», предусматривающий процедуру случайной мобилизации мужского населения США, а первый розыгрыш «кровавой лотереи» прошёл уже через несколько дней — 1 декабря.
Предыстория
К 1963 году армейская столкнулась с необычной проблемой: число мужчин, подлежащих призыву, превышало потребности вооруженных сил в ежегодном наборе: причиной всему был послевоенный беби-бум. Лотерея была одним из возможных решений, но Л.Б. Херши решительно воспротивился этой идее.
Льюис Блейн Херши руководил системой отбора на военную службу
По его мнению, разница между существующей системой индивидуальных отсрочек и лотереей заключалась
«. в сущности, в разнице между человеком и машиной. У людей в местных советах больше сострадания, чем у машины. [которая] не может сказать, является ли человек более ценным как отец, студент, ученый, врач или как солдат»
Херши убедил президента Кеннеди отнести всех женатых мужчин к особой низкоприоритетной категории, и проблема была решена. К 1966 году число отсрочек по жизненным обстоятельствам, отцовству и вступлению в брак превысило число отсрочек по учебе почти в два раза к одному.
Однако, активизация войны во Вьетнаме почти сразу же увеличила призыв с менее чем десяти до более чем тридцати тысяч в месяц. Рост потребностей был настолько стремительным, что государство вскоре столкнулось уже с нехваткой потенциальных новобранцев.
Систему пришлось ужесточить: вторую отсрочку по отцовству не предоставляли тем, кто получал её во время студенчества, а студентов колледжей с низким баллом сгоняли на тестирование по математике (предмет выбрал сам Херши). Больше 750 тысяч молодых людей сдавали этот тест в 1966-1967 году, и многие из тех, кто набрал меньше всего баллов, потеряли льготу и получили внеочередной шанс оказаться во вьетнамских джунглях.
Возникающие протесты против мобилизации карались достаточно сурово. Описывают случай, когда «по личному указанию Херши были показательно лишены отсрочки 35 студентов, проводивших сидячую забастовку у здания призывной комиссии в Анн-Арборе (Мичиган)».
Американские суды, в свою очередь, предоставляли право некоторым преступникам выбирать между армией и тюрьмой. К моменту, когда эта практика была отменена, на военной службе находилось несколько тысяч осужденных, в т.ч. за антивоенные выступления. Некоторые из них потом сформировали ядро сопротивления.
Тем не менее, шансов получить отсрочку было предостаточно. Например, мужчина мог претендовать на отсрочку, пригласив безработного или иждивенца пожить в его доме. Интересно, что строгих ограничений на доход лица, желающего получить льготу, не было.
Джордж Стивен Гамильтон в 1990 сыграл адвоката семьи Корлеоне в Крестном отце. В 60-е смог избежать призыва, потому что в принадлежащем ему голливудском особняке проживала мать, которая жила на средства сына — около 200 000 долларов в год
Резко повысилось число браков, в т.ч. фиктивных. Руководитель призывной комиссии штата Джорджия полковник Гарри Смит вспоминал, что «в одну из недель поженились сразу 46 мужчин, которым было приказано срочно явиться на на призывную комиссию».
В 1968 году призывные комиссии Нью-Йорка подтвердили отсрочку для учителей, работающих целый день. Это привело к тому, что уже в 1969 году 85 % процентов учителей были мужчинами призывного возраста, а популярность педагогических вузов возросла в 8 раз!
Но даже не получив отсрочку, у призывников был еще один шанс — медицинская комиссия. Манипуляции уклонистов были крайне разнообразны и, порой, жестоки. Молодые люди не только истыкивали предплечья булавками, имитируя уколы, но и специально вводили себе героин, готовясь к призывной комиссии. Спортсмены с травмами суставов умышленно усугубляли свои проблемы. Из самого показательного можно выделить:
употребление трех пицц каждый вечер в течение 6 месяцев, чтобы получить крайнюю степень ожирения;
поглощение 60 яиц перед призывной комиссией, в результате чего анализы крови показали превышение уровня альбумина;
отрезание фаланг пальцев;
выстрел в ногу из дробовика;
потребление собственной крови перед осмотром, что вызывало рвоту, в идеале, в кабинете врача;
мочеиспускание на стол приемной комиссии;
умышленное ослепление, искривление зубов и т.д.
В преподавательской среде находились люди, которые искусственно завышали оценки молодым людям, «только, если они не полные идиоты».
Работодатели могли лоббировать отсрочку для своих подчиненных, назначив их на руководящие должности или обосновав их незаменимость. Правительственная комиссия в конце 1960-х установила, что около половины всех мужчин, добившихся отстрочки по трудоустройству, получили её незаконно.
Консультирование по вопросам службы в армии получило невиданный размах. Показатели успеха были ошеломительными: около 90% процентов потенциальных призывников получали льготы. Стоимость была очень разумной — от 200 до 1000 долларов, но за счёт поистине глобального масштаба в этом бизнесе крутились гигантские деньги. Например, на пике войны ближе к концу 60-х юристы обслуживали более миллиона клиентов в год!
Цели призыва, не смотря на шероховатости, достигались. В период с 1965 по 1967 год численность военнослужащих во Вьетнаме увеличилась со 190 до 500 тысяч человек. В то же время в обществе было развернуто масштабное антивоенное сопротивление, спровоцированное в т.ч. самой процедурой призыва, оставляющей множество лазеек.
Американская лотерея (draft)
1 декабря 1969 года в Вашингтоне был проведен розыгрыш лотереи, определивший порядок призыва в течение 1970 календарного года для лиц, родившихся в период с 1 января 1944 года по 31 декабря 1950 года.
Одной из целей лотереи было устранить неравенство в призыве, ведь раньше действовало правило, согласно которому первыми призывались более возрастные мужчины (26 лет)
По картинке уже становится ясно, что достать капсулу снизу было бы затруднительно, поскольку рука мужчины находится в контейнере почти по подмышку, а ладонь еле касается верха стопки капсул
В большом стеклянном контейнере было 366 синих пластиковых капсул с датами рождения, на которых от руки были нанесены номера очередности вызова для всех 850 000 мужчин в возрасте от 19 до 26 лет.
Секретарь Бейкер (на фото выше) скажет: «Это представляет собой первое применение принципа, который, по мнению многих из нас, позволит полностью демократично, равноправно и справедливо отбирать солдат для защиты национальной чести за рубежом и дома.
В прямом эфире радио и телевидения капсулы были извлечены из контейнера. Первая капсула содержала число 258, что соответствовало дате 14 сентября, поэтому всем мужчинам, родившимся 14 сентября между 1944 и 1950 годами, был присвоен номер 1. Розыгрыш продолжался до тех пор, пока все дни года не были сопоставлены с порядковыми номерами.
Результаты первой лотереи
Министерство обороны определило официальный потолок лотерейного номера на будущий 1970 год — 195. Это означало, что мужчины, имеющие порядковые номера меньше, могли быть призваны на службу в порядке, соответствующим их номерам.
195 — это официальный потолок. В различных штатах он мог корректироваться вниз, исходя из мобилизационного потенциала региона и фактического набора.
Среди мужчин, родившихся в один день, так же устанавливалась очередность в зависимости от первых букв инициалов:
Эта таблица была определена уже в следующей лотерее летом 1970
Например, первым под призыв попадали лица, имеющие инициалы «JJJ», а за ним следовали бы «JGJ», «JDJ» и «JXJ»; любой человек с инициалами «VVV» был бы последним.
С точки зрения теории вероятностей организация лотереи не учитывала главного: распределение лотерейных номеров по месяцам года не было равномерным:
Диаграмма рассеяния лотерейных номеров
Еще больше подогрел ситуацию тот факт, что несправедливость распределения была обусловлена тем, как капсулы перемешивали.
Капсулы добавляли в большую коробку, отодвигали перегородкой в одну сторону, засыпали капсулы следующего месяца и затем перемешивали. Таким образом, январские капсулы были перемешаны 11 раз, а декабрьские всего 1 раз !
Закончив процедуры, ответственный сотрудник (капитан Пэскоу) встряхнул коробку, незадолго до розыгрыша прошелся по трём лестничным пролётам, а затем на виду у публики высыпал содержимое в стеклянный контейнер. При чем сам Пэскоу не помнил, с какого края коробки он высыпал капсулы. Очевидно, это могло повлиять на результаты лотереи.
Это привело к ожидаемому перекосу: только пять дней в декабре 2,12,15,17 и 19 имели порядковые номера, меньшие 195. Таким образом, для мужчин, рожденных в этом месяце, шанс призыва был значительно больше, чем у остальных. Впрочем, лотерея всё равно оправдалась: к концу 1970 году на службу было призвано 162 746 человек при квоте в 163 500.
Пример документа — приглашения на осмотр для призывника
Но в обществе царило беспокойство. Несколько молодых людей подали иск в федеральный суд, добиваясь аннулирования розыгрыша 1970 года и проведения новой лотереи. Причиной этих исков было отсутствие надлежащей рандомизации: корреляция между днем рождения (1-366) и номером призыва составляла 0.28.
Журнала Time в выпуске от 12 декабря 1969 года только разжигал пламя:
Те, чьи даты рождения были разыграны в первой трети, практически наверняка будут вызваны. Те, кто попал в середину, имеют шансы пятьдесят на пятьдесят. Остальные могут спокойно оставаться дома.
Поэтому в 1970 году уже новый глава призывной системы Кёртис Тарр изменил алгоритм формирования лотерейных номеров. Чтобы разработать лотерею, которая в 1971 году гарантировала бы более справедливый выбор, пришлось задействовать научный потенциал.
Ученые из Национального бюро стандартов с помощью ЭВМ подготовили 78 случайных перестановок чисел от 1 до 366. Из 78 перестановок 25 были выбраны случайным образом и по порядку сопоставлены дням года № 1 = 1 января, № 2 = 2 января, . № 365 = 31 декабря. Кроме того, в еще в 25 конвертах запечатали случайные перестановки без соотнесения с календарём. 2 июня 1970 года в барабаны поместили по одному конверту из этих двух групп.
1 июля, в день розыгрыша, один барабан вращался в течение часа, а другой — в течение получаса (его вращательный механизм вышел из строя). В первом «розыгрыше» из одного барабана вытащили капсулу с 16 сентября, а из другого — 139, что и определило номер призыва.
В 1971 году распределение уже было более справедливым
Розыгрыш лотереи по новым правилам и уже без сбоев проводился с 1971 по 1975 год (для мужчин 1952-1956 годов рождения). В 1975 году Вьетнамская война закончилась для американцев с падением Сайгона, а американская кровавая лотерея с тех пор больше ни разу не проводилась. Навсегда, ли?
Всё, заботливо упакованное в один архив — в Telegram «Математика не для всех».
Комплексные числа: коротко и понятно – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Как появились комплексные числа, что это такое и как математики пришли к необходимости их изучения? Какое отношение имеют комплексные числа к уравнениям со всеми вещественными корнями? Как они представляются геометрически и какие операции с ними можно производить? Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии МЫВМЕСТЕ.
Оппенгеймер и его математика конца света (Welch Labs)
Что же именно дало уверенность ученым Манхэттенского проекта продолжить работу по созданию первой ядерной бомбы, несмотря на все существовавшие в то время опасения о том, что испытание может запустить термоядерную реакцию в атмосфере Земли и уничтожить всё живое в огне плазмы?
Основная теорема арифметики – Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
В чём заключается основная теорема арифметики и почему она так «громко» называется? Как она может быть доказана и какие интересные следствия из неё выводятся? Как она связана с простыми числами и методами шифрования?
Об этом в лекции по математике рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Вы знали, что у чисел тоже есть возраст? Всего лишь одно "доживает" до 11!
Сегодня мы обсудим вопрос, о котором никогда не задумывались не только обычные люди, но и математики. Речь пойдет о том, что числа, подобно людям, имеют определенный срок существования. Я подробно расскажу об этом в статье. Давайте начнем!
Кто придумал числовой возраст?
Нил Слоан (род. 10 октября 1939 года) — выдающийся американский математик. Он является одной из важнейших фигур в области комбинаторики, дискретной математики и компьютерных наук.
Слоан окончил Массачусетский технологический институт (MIT) в 1960 году, где изучал математику. Затем он получил докторскую степень в Йельском университете, где его научным руководителем был Гарретт Биркгоф. Его диссертация была посвящена теории графов и алгебраической комбинаторике.
Самый известный вклад Нила Слоана — создание «Энциклопедии последовательностей целых чисел» (OEIS), которая стала неоценимым ресурсом для математиков, ученых и любителей математики. OEIS является онлайн-базой данных, содержащей миллионы последовательностей чисел, включая те, которые встречаются в различных математических задачах, теории чисел, комбинаторике, физике и других областях. Каждая последовательность сопровождается описанием, ссылками на литературу и иногда даже комментариями от самого Нила.
Стандартная статья из OEIS — огромное количество комментариев и бесценных ссылок
Нил Слоан также работал над проблемами, связанными с сетями, кодами, теорией графов и другими областями дискретной математики. Он опубликовал множество статей и книг по этим темам.
Числовой возраст
Как это часто бывает, видимо от скуки, математик решил поиграться с числами, сопоставив каждому из них некоторый алгоритм. В этом случае Нил предложил перемножать значащие цифры, а возраст определять по длине цепочки умножений, приводящей к единственной цифре. Например:
«Числа-то маленькие» — скажете Вы, но не всё так просто. Их увеличение не ведёт к пропорциональному изменению возраста. Иногда даже происходят вот такие коллизии:
Понятно, что основным ограничивающим фактором является появление цифры «0», которая сразу прерывает «жизнь» числа.
Однако здесь на сцену выходит вот такое число:
И его результат просто ошеломительный:
Его психологический возраст равен 11! Более того, проанализировав (конечно, не в лоб) числа до 10^223, Нил не обнаружил ни одного числа с продолжительностью жизни, большей 11!
Этот поразительный результат противоречит нашей интуиции. Казалось бы, если мы возьмем огромное число с десятками и сотнями значащих цифр (например, 7, 8 и 9), то для того чтобы получить однозначный результат, потребуется значительно больше, чем 11 шагов. Однако реальность оказывается иной: ноль появляется на одиннадцатом шаге или даже раньше. Как отметил сам Слоун, его алгоритм можно назвать «чрезвычайно эффективным уничтожителем огромных чисел».
Известным это число стало, конечно же, после видео на канале «Numberphile»:
Оно на английском языке, но нейросети Яндекса позволяют перевести его в очень удобоваримом формате.
Больше интересного в Telegram «Математика не для всех»
Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики – Алексей Савватеев | Лекции
Почему формула Эйлера – «самая красивая» формула математики? Что такое тождество Эйлера, какими различными вариантами его можно представить и почему оно считается одной из самых красивых формул в математике? Как его вывести, как изобразить геометрически и как всё это можно понять наиболее наглядным образом, так сказать, «на пальцах и фломастерах»? 😉
Об этом в неподражаемой манере рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Почему 2 + 2 = 4? Отвечает математик Алексей Савватеев | Математика для всех :)
Действительно ли два плюс два (как дважды два) равно четыре? Ответ математика для сомневающихся. 🙂 Рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых.
Анаморфоз – математик Николай Андреев | Научпоп | Лекции по математике | НаукаPRO
Какие отражения получаются в цилиндрическом зеркале и как они описываются с точки зрения математики? Что такое анаморфоз и к каким необычным визуальным и даже художественным эффектам он приводит? Рассказывает Николай Андреев, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Регрессия к среднему — невидимая рука хаоса
Что объединяет израильских лётчиков, лечение сомнительными методами и твою жизнь? Сегодня поговорим про регрессию к среднему. Это явление порождает огромное количество заблуждений везде, где мы с ним сталкиваемся, потому что наш мозг очень любит истории и не очень любит статистику. Его неправильное понимание приводит к ошибкам в политике, медицине, науке и бизнесе.
Начнём мы с истории из книги Даниеля Канемана «Думай медленно, решай быстро». Автор преподавал психологию эффективного обучения инструкторам израильских лётчиков. Опираясь на исследования, он начал рассказывать им, что поощрение за улучшение результатов работает лучше, чем наказание за ошибки. На что опытный инструктор поделился наблюдениями: когда он хвалит курсантов за особенно чистое исполнение заданий, в следующий раз их результат ухудшается. Когда же он ругает их за особо плохое исполнение, результат в следующий раз улучшается. Почему же эмпирические данные так противоречат исследованиям? Дело вот в чём: вне зависимости от уровня владения каким-то навыком мы не способны показывать один и тот же результат, потому что всегда присутствуют некоторые случайные факторы, не поддающиеся просчёту. Поэтому после НЕОБЫЧНО удачной попытки почти любой следующий результат окажется хуже. И в обратную сторону, если пилот выполнил упражнение ОСОБЕННО плохо, то, скорее всего, следующая попытка будет лучше. Давайте попробуем разобраться почему.
История
Регрессия к среднему довольно контринтуитивна. По ироническому замечанию статистика Дэвида Фридмана, если в ходе судебного разбирательства возникает вопрос о регрессии, та сторона которой приходится объяснять её суть присяжным, обязательно проигрывает.
Её контринтуитивность подтверждает и то, что её обнаружили аж на 200 лет позже, чем дифференциальное исчисление и Ньютоновскую теорию гравитации. Это сделал троюродный брат Чарльза Дарвина. Звали его Фрэнсис Гальтон, и он тоже увлекался темой наследственности. Однако в отличие от Дарвина, расписывающегося в своём бессилии в математике, Гальтон был в ней довольно крут. Он пытался выяснить, как наследуются различные признаки и случайно сделал важнейший вклад в статистический анализ. Вот что он обнаружил.
График роста отцов и сыновей
Мой рост 183 сантиметра, как и у моего отца. Выше изображён график, в котором по одной оси рост отцов, а по другой рост сыновей (в оригинале включены дети и родители обеих полов). Вы видите точку, отражающую наш с папой результат — мой рост 183 и его рост такой же. Гальтон обобщил данные о многих родителях и детях и нанёс их на подобный график.
Фантазия на тему, что мы получили бы если бы корреляция была полной
Если корреляция была бы полной (то есть рост детей всегда равен росту родителей), то мы бы получили вот такую прямую линию. 165=165, 190=190. На ней больше всего точек было бы вокруг среднего роста для мужчин — 176 сантиметров (то есть таких пар было бы просто больше, чем, например, двухметровых отцов с их двухметровыми сыновьями). Если бы корреляции не было вообще, то мы получили бы другую картину. Хаотично разбросанные по графику точки, которые немного кучкуются вокруг центра со средним значением. Но как вы понимаете обе картины далеки от реальности. Так что же тогда получил Гальтон?
Оригинальная иллюстрация 1886 года, с которой начался рагрессионный анализ.
А получил он приблизительно такую картину, напоминающую эллипс. Рост родителей имеет корреляцию с ростом детей. Но корреляция эта не идеальна. Есть много случайных факторов, влияющих на рост, таких как внутриутробное развитие, болезни, стрессы, питание и прочее. Поэтому дети очень высоких родителей хоть и выше среднего, но обычно ниже своих родителей.
Давайте возьмём отцов с ростом 200 сантиметров. Это очень высокие отцы, и в большинстве случаев их сыновья будут ниже них. Это мы наблюдаем и на графике, чем выше рост отца, тем больше сыноей остаются ниже линии его роста. Однако большинство этих сыновей будут выше среднего значения (гены всё же играют роль). Это наблюдение и есть регрессия к среднему.
За экстремальными результатами обычно следуют более обычные показатели. И мы наблюдаем это в любой ситуации с неидеальной корреляцией. То есть там, где есть хоть какая-то случайность (невозможность рассчитать/ неконтролируемые параметры).
KPI шаманизм
Представьте себе ситуацию: мы смотрим на показатели эффективности сотрудников в каком-то отделе. Давайте взглянем на лучшего и худшего работника этого месяца, и попробуем предположить, что произойдёт с их показателями в будущем? Если корреляция между навыками и показателями идеальна, то в следующем месяце не произойдёт никаких изменений. Однако если корреляция не идеальна, и результат определяется в том числе удачей, то лучший сотрудник покажет результат похуже, хоть и выше среднего. Худший так же улучшит результат, но вряд ли станет лидером. Если же баллом правит случайность (например, у нас отдел по выбрасыванию монеток орлом) то регресс к среднему будет максимальным.
В реальной жизни ушлый руководитель большого отдела мог бы каждый месяц проводить тренинги для сотрудника показавшего экстремельно плохорй результат. А руководство каждый месяц удвилялось бы стабильному улучшению показателей этого сотрудника.
Больше примеров
Вообще, интересное наблюдение Даниеля Каннемана заключается в том, что успех = навыки + удача (под удачей имеется ввиду случаность — неконтролируемые параметры). И если навыки всегда остаются с тобой, то удача изменчива. Это значит, что особо выразительный успех включает в себя как высокие навыки, так и высокую удачу. Именно этим объясняется так называемое проклятье обложки. Результаты спортсменов, попадающих на обложку журнала Sports illustrated неизменно ухудшаются. Как и карьеры актёров, получивших Оскар. Что в них общего? Их результат является отражением и великолепных навыков, и высокой удачи.
А вот пример из совершенно другой сферы. В 1999 году школы в штате Массачусетс поделили на отстающие, средние и лучшие по ряду показателей. Затем внесли некоторые изменения в программу. Что же произошло на следующий год? У худших школ средний балл возрос, что министерство образования, естественно, записало на свой счёт. Однако был проигнорирован тот факт, что почти все лидеры ухудшили свои показатели.
В науке игнорирование регрессии к среднему — довольно тяжкий грех. В 1976 год в British medical journal была опубликована статья про эффективность отрубей. Там людей разделили по скорости пищеварения на лучшую группу, среднюю и худшую (где-то мы такое уже слышали). Затем их кормили отрубями и смотрели, улучшаются ли показатели в худшей группе. У испытуемых наступило улучшение, что авторы статьи посчитали эффектом отрубей (правда, если бы они взглянули на лучшую группу, то увидели бы ухудшение показателей). Самое анекдотичное, авторы статьи упоминают регрессию к среднему и пишут: что она может присутствовать, но они считают, что эффект всё же есть.
Вот похожий пример: в Америке была телепередача scared straight («напуганы до исправления») где несовершеннолетним правонарушителям показывали тюрьмы, а заключённые рассказывали им об ужасах, которые их там ждут. Видите тот же рисунок — выбираем худших по произвольному показателю и смотрим, что произойдёт в результате воздействия. Организаторы в одном из штатов сообщили, что их участников арестовывают в следующем году в два раза реже. Такой эффект вполне может быть объяснён регрессией к среднему, а не эффективностью программы (чуть ниже по тексту мы это узнаем точно).
При чём тут лишний вес?
Хорошо, но какое это имеет отношение к вашей жизни? Представьте себе ситуацию. У вас разболелась голова, и вы уже не можете это игнорировать. Но подруга как раз вчера посоветовала вам классный способ от головных болей: натереть виски чесночной водой перед сном. Вы так и поступаете, и голова на следующий день болит гораздо меньше или вообще проходит. Круто! Можно звонить подруге и говорить спасибо? Не спешите.
При хронических заболеваниях вам, то становится лучше, то опять что-то болит (голова, спина или суставы, подставьте свой вариант). В какой момент мы обычно обращаемся за помощью? Когда становится совсем плохо. Вот тут мы бежим за альтернативной медициной или приходим к врачу, который выписывает нам средства из расстрельного списка препаратов. Но ведь если нам стало особенно плохо, после этого мы и так ожидаем улучшения. Не из за того, что организм сам себя спасёт, а просто, потому что любое состояние будет улучшением по сравнению с острой фазой.
А теперь представляем, что этот же график отражает ваш вес. В какой момент вы сядете на диету? В момент, когда вы уже не можете игнорировать отклонение от своей же нормы (точнее от того уровня, что ваш мозг считает нормальным). И конечно же, в этот момент кремлёвская диета вам помогает.
Нужно больше историй!
Наш мозг не любит статистику, но очень любит истории. Это ещё называется искажением нарратива. Из-за него во всех этих ситуациях мы видим истории с причинно-следственной связью вместо регрессии к среднему.
Вот вам наблюдение: умные женщины часто выходят замуж за менее умных мужчин. Сколько интересных объяснений этому вы слышали? Умные женщины избегают конкуренции умных мужчин или умные мужчины не хотят соревноваться с умными женщинами. Но корреляция между интеллектом супругов не идеальна (в том смысле, что браки с разным IQ не запрещены). А там, где корреляция не идеальна — мы обязаны ожидать регрессию к среднему.
Непонимание регресса к среднему может быть довольно опасной штукой, если дело касается медицины. Раньше благодаря заблуждениям о его природе мы верили в эффективность далеко не безвредного кровопускания или употребления родянки (токсичного вообще-то растения) для лечения бесплодия.
Так, стоп, но как тогда вообще понять, работает ли метод лечения или диета?
Именно для этого и существуют исследования с фокус-группами. Это когда мы делим группы людей на худеющих с помощью какой-то диеты, и людей, которые ничего не будут делать. Если в среднем результаты нельзя отличить, то диета не работает (конечно, в реальности фокус-группы обычно плацебо контролируемы, при делении групп происходит рандомизация и учитывается Хоторнский эффект, но об этом мы поговорим в другой раз).
Кстати, помните несовершеннолетних правонарушителей? Там тоже были проведены рандомизированные испытания с фокус-группой, которые показали, что программа приводит… к усилению антисоциального поведения. Иными словами, группа, которую не трогали, показала результаты лучше. Так что эффект всё же есть, да вот только не тот.
А как же ошибка игрока?
И вот тут есть скользкое и оттого очень интересное место. В одном из роликов я рассказывал об ошибке игрока. Это когда вы думаете, что если орёл выпал десять раз подряд, то шанс на выпадение решки возрос (спойлер: нет). Но теперь я утверждаю, что после плохого результата нужно ожидать результат лучше. Разве эти утверждения не противоречат друг другу? Должны ли мы менять свою ставку после экстремального результата?
Чтобы разобраться, давайте обратимся к настольной игре колонизаторы. В ней сумма двух кубиков указывает, какие территории получат ресурсы (а значит ценность территорий разная).
Взгляните на этот график, отражающий вероятность получения различных сумм. И вот я выбрасываю 12. Регресс к среднему говорит, что следующий бросок я сделаю, скорее всего, с меньшей суммой. Это легко понять, ведь вероятность, что я выброшу любой другой результат кроме 12 гораздо выше (она составляет примерно 97%, против 3%). Также легко понять, что тот факт, что я выбросил 12 вообще никак не влияет на будущие результаты. Выбросил я 12 или два раза по 12, вероятность другого результата в следующем броске останется равной 97%. Кубики не помнят предыдущих бросков. И наоборот, если 12 давно не выпадало, то вероятность выбросить его в следующем броске всё ещё = 3%.
Вот вам хрестоматийный пример непонимания этого: «лихорадка 53 номера». Начиная с 2003 года на протяжении многих розыгрышей итальянской лотереи перестал выпадать выигрышный номер 53. Это совпадение заставило многих людей ставить на это число гораздо больше денег. К моменту завершения этой истерии люди успели проиграть 4 миллиарда евро. А могли просто прочитать эту статью.
Нормальный такой купол
Кстати, форма распределения вероятности выпадения кубиков называется купол нормального распределения. Откуда он берётся?
Точка означает просто один из 36 вариантов.
Вот график отражающий корреляцию между значениями двух брошеных игральных кубиков, по образу графика с ростом отцов и сыновей. Тут как видите никакой корреляцией и не пахнет. Если выпала единица на первом, то есть равные шансы для любого значения на втором. Но давайте посмотрим, как часто встречаются те или иные суммы двух кубиков.
Немного перевернул его для удобства, цифрой обозначена сумма двух значений.
Некоторые суммы могут выпадать большим количеством вариантов. Например семёрку можно получить шестью разными результатами. Если мы это переведём в график (он в нижней части, немного не влез в кадр), то получим уже знакомый нам купол. Волшебство? Давайте проверим, работает ли эта магия на практике?
Взгляните на это фото. Здесь я кидал два кубика и клал фишку на соответствующую ячейку суммы. Один бросок = одна фишка. Процессом управляла случайность, но полюбуйтесь великолепным порядком, который она образовала (на видео есть таймлапс со всеми бросками под музычку).
А вот эта штука называется доска Гальтона. Он изобрёл её, чтобы не заморачиваться как я и не кидать кубики кучу раз. В остальном цель у неё та же: продемонстрировать как хаос обретает порядок.
Триумф посредственности?
Следующая история взята из книги Джордана Элленберга «Как не ошибаться». Хорас Секрист в 1930ых годах пытался выяснить, почему одни компании процветают, а другие находятся на грани банкротства. Он собрал кучу данных систематизировав их в почти 500 страничный труд под названием «Триумф посредственности». Какие бы параметры ни брал исследователь, по всем лидеры теряли лидерство, а аутсайдеры переставали быть аутсайдерами. Секрист посчитал виной этому свободную конкуренцию и приход к управлению непрофессионалов в бизнесе. Мол любой может вырваться в лидеры по стечении обстоятельств, но не каждый может удержать своё положение на рынке. Красивое причинно-следственное объяснение, всё как любит наш мозг. Однако, этот вывод игнорирует регрессию к среднему, на что указал Гарольд Хоттелинг. Он возглавлял группу Статистических исследований в Нью Йорке (та самая позиция, где позже Абрахам Вальд будет объяснять армейским чиновникам суть ошибки выжившего). Он указал, что для регрессии вовсе не нужны причины, это давно известный статистический закон. Секрист потративший 10 лет на исследования от выводов отказываться не стал. Тогда Хоттелинг сказал: «Тезис этой книги математически тривиален, и доказательство его посредством дорогостоящего и длительного исследования аналогично доказательству таблицы умножения путём замены цифр на слонов, а затем выполнению этого с другими животными. Такое представление, имеющее возможно педагогическую ценность, не вносит ничего нового ни в зоологию, ни в математику».
Благодаря эффекту Баадера-Мейнхофф теперь вы начнёте замечать это явление повсюду. Как много историй в вашей жизни объясняется регрессом к среднему?
Кто может доказать,что 2*2=5. В школе задали доказать. Так и не додумался?
Давайте сразу внесём ясность: математика — это условное отображение реальности, на самом деле никакого отношения к реальности не имеет!
с = a + b, где а и b — любые числа.
а2 — b2 = (a — b) (a + b)
Поскольку с = a + b, получаем тождество: a2 — b2 = (a — b) c
Раскрываем скобки: a2 — b2 = aс — bc
Добавляем к обеим частям произведение ab: a2 + ab — b2 = ac — bc + ab
Переносим вправо b2: a2 + ab = ac — bc + ab + b2
Переносим влево ac: a2 + ab — ac = ab — bc + b2
Маленькая группировочка: a (a + b — c) = b (a + b — c)
Сокращаем выражения в скобках: a = b
a и b — произвольные числа, получается, что любое число равно любому числу.
Почему 2 умножить на 2 равно 5
Миф о том, что 2 умножить на 2 равно 5 – это один из самых известных математических мифов, который возник еще в XIX веке. Хотя любой школьник знает, что 2 умножить на 2 равно 4, этот миф все еще живет в сознании многих людей. В данной статье мы рассмотрим причины возникновения этого мифа и историю его распространения.
Существует несколько версий, почему появился миф об умножении 2 на 2, дающем 5. Одна из них связана с ошибкой, допущенной в одной из книг по механике, где при расчетах возникла ошибка в вычислении этого простейшего умножения. Ошибка была зафиксирована, но уже было поздно – миф о 2 умножить на 2 равно 5 существует до сих пор.
Еще одна версия говорит о том, что миф возник благодаря неаккуратному округлению числа 2,5 до 3. Это было сделано для упрощения расчетов, но результат оказался неверным, и в результате возник миф об умножении 2 на 2, дающем 5.
Независимо от того, какой была причина возникновения мифа, он продолжает жить и сохранять свое значение. Можно сказать, что этот миф выращивается на почве неточных вычислений и ошибок, допущенных людьми в прошлом. Но благодаря развитию науки и исследований, мы можем разоблачить этот миф и продвинуться дальше в изучении математики.
Миф о 2×2=5: причины и история появления
Миф о том, что 2 умножить на 2 равно 5 — давно ставший народным, но неверным утверждением, вызывающий забаву и удивление. Вероятно, каждый из нас хоть раз сталкивался с этой догадкой, у которой нет никаких научных оснований. Как же возник этот миф?
В истории о математическом мифе фигурирует, что французский математик Андре Мари Ампер в своем труде «Электродинамика » утверждал, что 2×2=5. Ему якобы понадобилось это равенство для расчета силы магнитного поля. Однако, это неправда. Ни в одном его издании нет ни слова о подобном утверждении.
Возможно, происхождение этой загадочной формулы связано с теорией вероятности: когда ситуация редко возникает, мы помним ее проще. Если функция умножения представляет собой кривую, то резко возрастает в определенной области, представляющей собой своеобразный пик. Именно в этой точке функция может принимать неправдоподобные значения, такие как 2×2=5, что возможно породило такой миф.
Как бы то ни было, это утверждение было признано неверным еще в первые годы обучения арифметике. Но его непонятная и загадочная природа привлекает внимание людей и продолжает жить в нашей сознательной или подсознательной памяти.
Распространенность умозаключения среди населения
Миф о том, что 2 умножить на 2 равно 5, является достаточно распространенным у среднестатистического населения. Главная причина возникновения этого мифа заключается в том, что люди, скорее всего, ошибочно запомнили данный пример в своей школьной программе и с течением времени не использовали его в повседневной жизни, что привело к забыванию правильного ответа.
Также распространенность данного умозаключения можно объяснить легкой путаницей в знаках математических операций у людей, не имеющих математического образования. Например, в задании «2+2×2 =» многие люди склонны к ответу «8» вместо правильного «6», так как ошибочно вычисляют сначала двойку, а затем прибавляют к результату еще одну.
Тем не менее, стоит отметить, что некоторые люди осознанно используют этот миф как шутливую формулу для описания некоторых ситуаций. Так, например, можно услышать выражение «Я работаю на троечку, но иногда прилагаю усилия, чтобы 2 умножить на 2 было равно 5».
Итак, можно сделать вывод, что миф о том, что 2 умножить на 2 равно 5, не является чем-то уникальным и распространен в нашей культуре, как закономерность, связанная с ошибками в математике и забыванием правильных ответов на школьных уроках.
Источники и причины возникновения мифа
Миф о том, что 2 умножить на 2 равно 5, возможно, имеет несколько источников. Один из них – это ошибка, которую могут совершить дети в начальной школе при выполнении математических операций. Они могут перепутать знаки операций или неверно рассчитать результат. Еще один источник мифа – это литературные произведения, в которых авторы использовали данное утверждение как элемент приема художественной выразительности или сюжетного поворота.
Однако причина возникновения мифа скорее всего кроется в недостаточной математической грамотности общества. Многие люди уверены, что знают ответ на вопрос «2 умножить на 2», но при этом не всегда понимают, каким образом был получен результат. Это может привести к искажению или ошибочному восприятию определенных математических законов и правил, и как следствие, созданию мифов вокруг них.
Еще одной причиной возникновения мифа может быть фундаментальное непонимание различных математических понятий и определений. Некоторые люди могут ошибочно интерпретировать термины «умножение», «сложение» или «равенство», что приводит к возникновению ошибочных выводов и мифов.
- Ошибка при выполнении операций
- Литературные произведения
- Недостаточная математическая грамотность общества
- Непонимание математических понятий и определений
Изменение логики обучения и отказ от устаревших убеждений
Длительное время учителя математики приучали учеников к тому, что правило «2 умножить на 2 равно 4» — это абсолютная истина, которую необходимо запомнить наизусть. Однако такой метод обучения не способствует развитию логического мышления и аналитических способностей.
Современная педагогика признает необходимость изменения логики обучения и отказа от устаревших убеждений в пользу более гибкого и креативного подхода. Вместо того, чтобы заставлять учеников запоминать правила наизусть, необходимо показывать, как эти правила получаются, изучать различные методы решения задач. Это поможет ученикам осмыслить материал, а не просто зубрить его.
Также следует отказаться от идеи, что математика — это исключительно умственное упражнение, которое не приносит реальной пользы в жизни. В современном мире математика является инструментом для решения реальных проблем — от экономических до научных. Открытия в области математики имеют прямое влияние на жизнь людей.
Вместо устаревших убеждений необходимо сосредоточиться на развитии мышления и способностей, которые пригодятся ученикам не только в учебе, но и в жизни. Это поможет им стать гибче и адаптивнее в быстро меняющемся мире.
как ученные доказали что 2*2=5?
2+2=5
Доказательство:
Пyсть 2+2=5.
2*1 + 2*1 = 5*1
Распишем 1, как частное pавных чисел:
1 = (5-5)/(5-5)
Тогда:
2*(5-5)/(5-5) + 2*(5-5)/(5-5) = 5*(5-5)/(5-5)
Умножим левyю и пpавyю части на (5-5), тогда:
2*(5-5) + 2*(5-5) = 5*(5-5)
Отсюда:
0 + 0 = 0
так я что один не теме? Теперь 2*2=5? ето что за пипец?
Начнем мы с равенства
16+45=25+36
16+9*5=25+9*4
16-9*4=25-9*5
16-9*4+81/4=25-9*5+81/4
16-2*4*9/2+81/4=(4-9/2)2
25-2*5*9/2+81/4=(5-9/2)2
4-9/2=5-9/2
Откуда немедленно следует, что 4=5, иначе говоря, 2х2=5.
Что и требовалось доказать.
Докажем, что дважды два — пять. Для этого выпишем одно за другим несколько равенств — смотрите, проверяйте, пробуйте на зуб.. .
Начнем мы с равенства
16+45=25+36
которое перепишем в виде:
16+9*5=25+9*4
Перенесем некоторые слагаемые в другие части равенства — естественно, изменяя знаки на противоположные:
16-9*4=25-9*5
теперь к обеим частям добавим по 81/4.
16-9*4+81/4=25-9*5+81/4
Заметим, что в обеих частях стоят полные квадраты:
16-2*4*9/2+81/4=(4-9/2)2
25-2*5*9/2+81/4=(5-9/2)2
Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем что
4-9/2=5-9/2
Откуда немедленно следует, что 4=5, иначе говоря, 2х2=5.
Что и требовалось доказать.
Я знаю, что 2+2=5 (я спокоин)
А други зню, что 2+2=4(но они волнуются)))))