Почему неполный квадрат всегда больше нуля

Неполный квадрат разности

Неполный квадрат разности в алгебре важен в качестве составной части формулы суммы кубов. В процессе изучения формул сокращенного умножения важно научиться видеть формулы полных и неполных квадратов и различать их между собой.

Неполный квадрат разности — это сумма трех слагаемых, два из которых — квадраты некоторых выражений, а третье равно произведению этих выражений (со знаком «минус» перед ним).

В отличие от полного квадрата разности, произведение выражений не удваивается.

С помощью букв неполный квадрат разности можно записать так:

С помощью схемы — так:

Примеры неполных квадратов разности:

На практике неполный квадрат, как правило, свернут, поэтому, чтобы понять, является ли выражение неполным квадратом разности, его нужно проанализировать.

На этапе изучения новой темы есть смысл выражения подробно расписывать.

Как определить, является ли выражение неполным квадратом разности?

Признаки неполного квадрата разности

1) Выражение состоит ровно из трех слагаемых.

2) Два положительных слагаемых представляют собой квадраты некоторых выражений.

3) Третье слагаемое со знаком «минус» перед ним равно произведению этих выражений.

16x²=(4x)², 81y²=(9y)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 4x и 9y: 4x∙9y=36xy — да, равно. Следовательно, это выражение — неполный квадрат разности.

С помощью схемы это можно записать так:

100c²=(10c)², d² — уже представлен как квадрат, но 10c∙d≠20cd, поэтому выражение неполным квадратом разности не является (так как 20cd=2∙10c∙d, это выражение — полный квадрат разности).

Слагаемые могут стоять в произвольном порядке.

В некоторых случаях выражение, не являющееся неполным квадратом разности, может быть к нему приведено.

Здесь два слагаемых отрицательны, значит, неполным квадратом разности это выражение быть не может. Но если знак «минус» вынести за скобки, все знаки в скобках изменятся на противоположные:

В скобках — неполный квадрат разности.

В алгебре очень важно уметь раскладывать многочлены на множители и преобразовывать выражения (в том числе, по формуле суммы кубов, частью которой является неполный квадрат разности).

Примеры и способы решений неполных квадратных уравнений

Неполные квадратные уравнения чаще всего встречаются в различных математических задачах школьной программы. Главное их отличие от обычных в том, что они содержат меньше членов, поэтому и решать их довольно легко. Минимум существует 3 способа. Зная их, можно будет решить пример любой сложности, в некоторых случаях даже устно, причём даже за считаные секунды.

Понятие и термины

Под уравнениями в математике понимают равенства, где неизвестны некоторые члены. Их принято обозначать маленькими латинскими буквами. Чаще всего используют x, y, a, b, c. Решение уравнений подразумевает нахождение неизвестных величин. При этом они могут принимать как конкретное значение, так и быть переменными.

Числа, которые заменяют буквами, называют корнями. Это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл и обращается в верное равенство. Другими словами, слова «корень» и «решение» — синонимы. Для уравнений характерно, что число действительных ответов может быть не только конечное число. Например, a — 2 = 4 имеет один корень, он равняется шести, a 2 = 9 — 2 решения: 3 и -3, а n = n — бесконечное число.

В алгебраическом виде уравнение записывают так: P (x1, x2…, xn) = 0, где: P — сумма одночленов от неизвестных. Все известные виды уравнений разделяют на 5 типов:

1. Линейные. В записи многочлена самой высокой степенью является единица: ax + a2x 2 +…anx n + y = 0.
2. Квадратичные. Выражения, в которых стоит значение переменной x 2 , при этом в записи есть свободные переменные и коэффициенты. Например, ax 2 + bx + c = 0. Главное условие — первый коэффициент (a) не должен быть равен нулю.
3. Кубические. График функции представляет собой параболу. Они имеют вид: ax 3 + bx 2 + c x + n = 0 или ax 3 + bx + c = 0.
4. Биквадратные. Наивысшая степень в уравнении не превышает 4.

Кроме этого, существуют иррациональные и рациональные равенства. К первым относят уравнения, где неизвестное стоит под знаком корня или возведения в степень и является дробным, а ко вторым — выражения, использующие операции сложения, вычитания, деления и умножения, а также возведения целого числа в степень.

Выражения, в которых второй или третий коэффициент равняется нулю, называют неполными. Решение уравнений такого типа имеет свои особенности. Корни можно находить по упрощённому алгоритму, а не по стандартному через дискриминант или теорему Виета. Формулы будут проще, соответственно, сложные преобразования делать не придётся.

Стандартный алгоритм

Перед тем как перейти непосредственно к решению, нужно приравнять выражение к нулю, то есть если равенство имеет вид ax2 + bx = c, его нужно привести к следующей форме записи: ax2 + bx — c = 0. Затем можно использовать алгоритм, разработанный, чтобы можно было быстро решать полные квадратные уравнения.

Пошаговое решение выглядит следующим образом:

• в случае необходимости привести равенство до вида квадратного уравнения;
• найти дискриминант;
• проанализировать его значение: если оно будет меньше нуля, дальнейшее решение не имеет смысла;
• при равенстве дискриминанта нулю воспользоваться формулой: x = -b / 2*a;
• если полученное число больше нуля, уравнение имеет 2 корня, найти их можно, воспользовавшись равенством: x1 = (-b + √‎D) / 2a; x1 = (-b — √‎D) / 2a.

Для многочленов кубического и квадратного вида формулы для расчёта будут сложнее: D = b 2 c 2 — 4ac 3 — 4b 3 d — 27a 2 b 2 + 18abcd. В частности, для кубического уравнения формула примет упрощённый вид: -27q 2 — 4p 3 . Это выражение называется уравнением Кардано.

Этот алгоритм можно использовать и при решении неполных выражений. Важным этапом является нахождение дискриминанта. Под ним понимают выражение вида b 2 — 4ac. Обозначают его большой латинской буквой D. Величина представляет собой симметрический многочлен, если его рассматривать относительно корней.

Найти корни квадратного уравнения можно, используя теорему Виета. Но применять её возможно не ко всем выражениям. Использовать правило разрешено только с приведёнными равенствами. Это уравнения, где первый коэффициент равен единице: n2 + pn + n = 0. Определение Виета позволяет найти корни по следующим формулам: n1 + n2 = -p; n1 * n2 = q, где неизвестные будут искомыми корнями.

Доказать справедливость формул Виета можно следующим образом. Корни квадратного равенства можно найти из выражения: n1 = (-b + √‎D) / 2; n1 = (-b — √‎D) / 2, где дискриминант D = p 2 — 4q. Если найти сумму корней, в ответе получится: n1 + n2 = (-b + √‎D) / 2 + (-b — √‎D) / 2 = (-b — √‎D) — p — √‎D) / 2 = -2p/2 = -p. Произведение же равно: n1 * n2 = (-b + √‎D) / 2 * (-b — √‎D) / 2 = (-b) 2 — √‎D) 2 / 4 = (p 2 — D) / 4 = p 2 — (p 2 — 4q) / 4 = 4q / 4 = q. Соответственно, полученные равенства n1 + n2 = -p; n1 * n2 = q.

Теорема Виета даёт важную информацию о корнях квадратного уравнения. При небольшой тренировке с её помощью можно научиться выполнять решение в уме, потратив на это совсем немного времени.

Вычисление неполных выражений

Чтобы решать неполные уравнения, необязательно использовать формулы корней. Найти результат можно, используя только правила сокращённого умножения и деления. Всего таких формул 7. Учат их в седьмом классе средней школы при изучении правил сокращения дробей. Вот их перечень:

1. Разность квадратов. Вычитание выражений, стоящих в квадрате, можно заменить произведением разности и суммы их членов: t 2 — n 2 = (t — n) * (t + n).
2. Квадрат суммы. Сложение двух чисел в квадрате — однотипная операция прибавления квадрата первого числа к удвоенному произведению первого и второго и квадрату второго: (t + n) 2 = t 2 + 2tn + n 2 .
3. Квадрат разности. Правило, сходное с квадратом суммы, лишь вместо сложения в первом действии ставится вычитание: (t — n) 2 = t 2 — 2tn + n 2 . Следует отметить, что часто используется и следующее равенство: (t — n) 2 = (t — n) 2 .
4. Сумма куба. Сумма двух чисел в третьей степени равна первому многочлену в третьей степени плюс утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе плюс сумма утроенного произведения первого на квадрат куба второго числа.
5. Куб разности. Он равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата уменьшаемого на вычитаемое плюс тройное произведение первого числа на квадрат второго минус куб вычитаемого.
6. Сумма кубов. Заменить такое выражение можно произведением суммы слагаемых на неполный квадрат разности: t 3 + n 3 = (t + n) * (t 2 — tn + n 2 ) .
7. Разность кубов. Правило, аналогичное прибавлению кубов, но во втором множителе стоит неполный квадрат суммы: t 3 — n 3 = (t − n) * (t 2 + t n + n 2 ).

Кроме этих правил, нужно знать свойство деления и метод разложения на множители. Согласно закону, любое равенство можно разделить на одно число, но делить нужно одновременно и левую, и правую часть. Разложение же позволяет приводить сложные и громоздкие уравнения к простому виду.

Например, f 2 — 33f + 200 = 0. Хотя это и полный трёхчлен, не стоит спешить искать дискриминант. На самом деле, исходное выражение можно представить как произведение множителей неполных одночленов. Так, f 2 — 33* f + 200 = (f — 8) * (f — 25) = 0. Решением будут корни равные 25 и 8.

Решение задач

Практические задания помогают лучше усвоить теоретический материал и запомнить нужные для решения формулы. Существуют различные задачи, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный курс. Вот некоторые примеры с решением неполных квадратных уравнений, которые наверняка помогут при выполнении самостоятельных вычислений:

1. Найти неизвестное в уравнении: f 2 = 12 * f. В соответствии с алгоритмом нужно правую часть перенести влево и приравнять выражение к нулю: f2 — 12 * f. = 0. Неизвестное можно вынести за скобки: f * (f — 12) = 0. Так как ноль в ответе может получиться, лишь при условии, что один из множителей будет нулевым, множимые можно рассмотреть отдельно. Корнями уравнения будут числа 0 и 12.
2. Вычислить корни выражения: 4x * (x + 3) = 12x + 1. В первую очередь нужно раскрыть скобки. Для этого каждое слагаемое следует умножить на то, что стоит перед скобками. После этого пример примет вид: 4x 2 + 12 = 12 x + 1. Теперь все члены неравенства можно собрать слева и привести подобные: 4x 2 + 12x — 12x — 1 = 4x 2 — 1 = 0. Полученное выражение есть не что иное, как разность квадратов, поэтому его можно переписать так: 4x 2 — 1 2 = 0. Отсюда (2x 2 ) — 1 2 = (2x — 1) * (2x + 1) = 2x — 1 = 0. Далее решается простое линейное выражение. В ответе получится: x = ± 1 / 2.
3. Определить возможные решения для уравнения: 6p2 — (2p — 1) = p * (p + 4). Очевидно, что в левой части стоит разность квадратов. Но использовать правило умножения здесь будет нерационально. Дело в том, что смысл преобразований заключается в приведении уравнения к виду без скобок, поэтому следует вычитаемое расписать по формуле квадрата разности: 2p — 1 = (2p)2 — 2 * 2p * 1 + 1. Таким образом, получится равенство: 6p2 — 4p2 + 4p — 1 = p2 + 4p. Теперь можно действовать по алгоритму: перенести все члены в одну сторону и привести подобные: 6p2 — 4p2 + 4p — 1 — p2 + 4p = m2 — 1 = 0. Это уже простое неполное квадратное уравнение, которое можно решить в уме. Корни, удовлетворяющие условию, буду равны ± 1.

Таким образом, квадратные и уравнения высших порядков можно решать по классической схеме, используя дискриминант. Но при этом неполные выражения гораздо проще вычислять, преобразуя их до простого вида. В этом как раз и помогают правила сокращённого умножения.

Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения. Квадратичная функция и её свойства.

— это уравнение вида a x ²+b x +c=0, где а не равно нулю.

a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 , где a ≠ 0 , x — переменная Выражение слева в уравнении будет многочленом, а точнее, квадратным трёхчленом.

Также называют квадратное уравнение, где старший коэффициент a равен единице.

Уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля, называется .

Уравнение, в котором хотя бы один коэффициент (конечно, кроме старшего) равен нулю, соответственно, называют .

Одним из важнейших понятий при решении квадратных уравнений является квадратный корень. Решать квадратные уравнения можно методом выделения полного квадрата, через дискриминант или по теореме Виета через коэффициенты (хотя для решения через Виета уравнение должно быть приведённым, но, если это не так, этого можно легко добиться путём деления всего уравнения на старший коэффициент).

Далее обсудим виды квадратных уравнений. Неполных квадратных уравнений есть 3 вида (так как есть всего три набора для 2 коэффициентов, где хотя бы один равен 0). Полное квадратное уравнение решается уже сложнее (подробнее о решении по ссылкам выше).

Неполные квадратные уравнения

a &InvisibleTimes; x 2 + c = 0 x 2 = — c a — c a < 0 — нет корней в ℝ — c a > 0 — x = &PlusMinus; — c a b ≠ 0
c = 0

a &InvisibleTimes; x 2 + b &InvisibleTimes; x = 0 x &InvisibleTimes; a x + b = 0 x = 0 a &InvisibleTimes; x + b = 0 x = 0 x = — b a b = 0
c = 0

Как видно из записей выше, для нахождения корней всех 3-ёх видов неполных квадратных уравнений есть свои формулы. Выводятся они крайне быстро.

Квадратичная функция

При обсуждении квадратных уравнений логично также написать и о квадратичной функции, ибо квадратные уравнения (как полные, так и неполные) задают квадратичную функцию. Зная её свойства и график, можно говорить о многих полезных свойствах квадратных уравнений, поэтому она может даже быть полезна при их решении.

Итак, квадратичная функция — очевидно, что каждому значению аргумента соответствует одно значение функции (определение понятия функция). Возьмём простейшую квадратичную функцию y = x ², чтобы лучше разобраться в свойствах квадрата. Помня, что квадрат числа всегда неотрицателен:

Область определения: D(x) = (-∞; +∞).
Область значений: E(y) = [0; +∞).
Абсолютный минимум: точка 0.
y( x ) является чётной функцией (область определения симметрична относительно нуля, график симметричен относительно Oy, и f(- x )=f( x )-очевидно). Также нужно понимать, что y( x ) — супераддитивна. Иначе говоря, значение функции, применённой к сумме больше либо равно сумме значений функции, применённой к каждому слагаемому по отдельности: (x+y)² ≥ x² + y²

Конечно, y( x ) связана с функцией квадратного корня (подробнее).

Итак, обозначим функцию f( x ) = a x ²+b x +c. Здесь от знака старшего коэффициента зависит вид параболы — ветвями вверх при a>0 и ветвями вниз при a<0, что логично (так при умножении на -1 график отражается по оси Oy). Также от a зависит кривизна и сжатие/расширение графика. Свободный член c является точкой пересечения графика функции с осью ординат (это очевидно, так как график функции пересекает Oy в точке, где аргумент равен 0: если аргумент равен 0, то f( x )=0+c ⇒ f( x ) = c, и точка пересечения с Oy — (0, c)).

Для построения графика f( x ) следует найти вершину параболы, а затем понять какая она (ветвями вверх или ветвями вниз). Ясно, что вершина параболы (которая будет абсолютным максимумом для параболы с ветвями вверх и абсолютным минимумом для параболы с ветвями вниз) будет также задавать ось симметрии параболы — прямая через вершину параллельная Oy будет осью симметрии параболы.

Для нахождения вершины достаточно лишь формулы x-вершины x_в, так как y-вершину можно найти, просто подставив x_в в функцию. Как видно из наглядных графиков выше наибольший интерес представляет дискриминант (обозначенный здесь D), так как он является достаточно просто вычисляемым для многочлена с небольшой степенью (второй). Более подробно о дискриминанте и его значении рассказано на соответствующей странице, а также там более подробно рассказано об уже описанном здесь и о том, как используя дискриминант и коэффициенты можно быстро оценить корни квадратного уравнения. Следует также заметить, что по формуле корней квадратного уравнения с дискриминантом, можно вычислить расстояние от нулей функции до вершины и до оси симметрии. Дискриминант указывает и количество нулей параболы.

Формулы сокращённого умножения

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab — сумма квадратов;

a 2 — b 2 = (a + b)(a — b) — разность квадратов;

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — квадрат суммы;

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 — квадрат разности;

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) — сумма кубов;

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 ) — разность кубов;

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 — куб суммы;

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 — куб разности.

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b) 2 — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a 2 + ab + ab + b 2 — 2ab = a 2 + b 2 .

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a 2 — b 2 = (a + b)(a — b).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a — b) = a 2 — ab + ab — b 2 = a 2 — b 2 .

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b) 2 = (a — b)(a — b) = a 2 — ab — ab + b 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a 2 — ab + b 2 ) = a 3 — a 2 b + ab 2 + a 2 b — ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a — b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 — a 2 b — ab 2 — b 3 = a 3 — b 3 .

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a — b) 3 = (a — b)(a — b) 2 = (a — b)(a 2 — 2ab + b 2 ) = a 3 — 2a 2 b + ab 2 — a 2 b + 2ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Неполный квадрат суммы

a 2 + 2ab + b 2

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a 2 + ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

a 2 — 2ab + b 2

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a 2 — ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.