Как найти среднее время в математике

Как найти среднее арифметическое: простые способы

Определение и способы нахождения среднего арифметического учащиеся изучают в 5 классе, но это важно и во время сдачи экзаменов в старших классах. Поэтому предлагаем выучить или повторить важные знания, потренироваться решать задачи на среднее арифметическое для 5 класса и более сложные, которые могут встретиться на ВНО.

Что такое среднее арифметическое?

В школе и повседневной жизни часто употребляются словосочетания «средняя зарплата», «средняя оценка», «средний возраст» Основой для всех этих понятий есть математический термин среднее арифметическое.

Средним арифметическим нескольких чисел называется доля от деления суммы этих чисел на их количество. То есть, чтобы его найти, нужно сумму чисел поделить на их количество.

Формула среднего арифметического двух чисел выглядит так:

Читайте также: Свойства и формулы логарифмов

Как найти среднее арифметическое?

Определение среднего арифметического звучит страшно и непонятно, но на самом деле для его нахождения выполняется только два арифметических действия – сложение и деление. Например, ученик берет три каких-то числа, добавляет их и делит на 3. Ответ и будет средним арифметическим.

Рассмотрим пример. Вам необходимо найти среднее арифметическое чисел 7 и 3. Первый шаг – вы их добавляете и получаете 10. Далее эту сумму нужно разделить на 2, то есть на количество чисел.

1. 7 + 3 = 10.
2. 10 : 2 = 5.

Ответ второго действия и является средним арифметическим.

Рассмотрим еще один пример, который близок всем школьникам. Учащегося в конце четверти интересует вопрос, какая оценка у него будет по определенному предмету. Для получения ответа необходимо посчитать средний балл.

Например, ученик получил за четверть следующие баллы: 5, 4, 5, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 5. Чтобы посчитать средний балл, нужно сложить все оценки, а затем разделить на их количество (10).

1. 5 + 4 + 5 + 3 + 3 + 5 + 4 + 5 + 4 + 5 = 43
2. 43 : 10 = 4,3

Ответ: 4,3 – среднее арифметическое.

Читайте также: Собираем школьный рюкзак: советы и чеклист

Задачи на среднее арифметическое для 5 класса

Когда ученик понял, как найти среднее арифметическое, ему важно научиться решать. задачи по этой теме, в каких не все так просто. Как и в любых математических задачах, нужно:

• Внимательно изучить условие и сделать краткую запись, в которой обозначить все взаимосвязи между числами;
• Несколько раз прочесть вопрос, чтобы точно понимать, что именно необходимо найти.

Часто случается ситуация, что школьник знает формулу нахождения среднего арифметического, но по невнимательности добавляет не те числа или учитывает лишние показатели и допускает ошибку в вычислениях.

Рассмотрим интересные задачи на среднее арифметическое, которые учащиеся решают в 5 классе.

Задача № 1

Дети работали в саду и собирали груши. Артем сорвал 2 груши, Эмилия – 4, Вова – 6. Они сложили их в корзину и отнесли домой. Мама поделила груши поровну между малышами. Сколько груш получил каждый ребенок?

Чтобы решить задачу, необходимо найти среднее арифметическое трех чисел.

2+4+6=12 груш (всего собрали дети)

Когда ученик знает, сколько фруктов найдено всего, необходимо эту сумму разделить на количество детей.

12:3 = 4 груши (получил каждый ребенок)

Задача № 2

Во время изучения темы учащийся получил за устные ответы 7 и 12 баллов, написал две самостоятельные работы на 8 и 9 баллов, а контрольную – на 9. Какой будет его тематическая оценка?

Тематическая оценка близка к среднему баллу за все виды работ. Чтобы дать ответ на главный вопрос задачи, необходимо сначала найти среднее арифметическое всех оценок. Для этого добавляем все полученные баллы.

7 + 12 + 8 + 9 + 9 = 44

Дальше общее количество баллов нужно разделить на количество оценок, то есть на 5.

8,8 – это среднее арифметическое, но такового оценки не существует, поэтому учитель округлит это число до 9.

Ответ: 9 баллов – тематическая оценка ученика.

Задача № 3

Среднее арифметическое 4 чисел равно 3,4, а среднее арифметическое остальных 6 чисел – 8,3. Найдите среднее арифметическое всех 10 чисел.

В подобных задачах учащиеся часто ошибаются и находят среднее арифметическое двух чисел – 3,4 и 8,3. Но важно учесть, что здесь не 2 числа, а 10. Поэтому, чтобы найти среднее арифметическое 10 чисел, нужно узнать сумму этих 10 чисел.

Сначала находим сумму 4 чисел. Для этого среднее арифметическое необходимо умножить на количество чисел.

Теперь аналогично считаем сумму 6 чисел.

Следующим шагом будет нахождение суммы 10 чисел.

Осталось найти среднее арифметическое чисел.

Ответ: 6,34 – среднее арифметическое 10 чисел.

Задача № 4

Средний возраст игроков футбольной команды, участвовавших в игре – 22 года. После того, как за нарушение с поля был удален игрок, средний возраст оставшихся футболистов составил 21 год. Сколько лет было игроку, которого выгнали с поля?

Сначала ученик должен найти сумму лет всех игроков, участвовавших в игре с первой минуты. Для этого нужно вспомнить, что футбольная команда – это 11 человек.

Теперь необходимо найти сумму лет игроков, оставшихся на поле после удаления одного игрока, то есть 10 человек.

На последнем этапе ученик находит разницу двух средних арифметических и узнает возраст футболиста, нарушившего правила и дисквалифицированного.

Задача№ 5

Фермер собрал с каждого гектара поля, общая площадь которого 30 гектаров, 30,2 тонн пшеницы, а с каждого гектара поля, площадью 20 гектаров, 32,3 тонн пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер?

Чтобы не запутаться в данных, учащемуся важно сделать схематическую запись условия.

30 га – 30,2 тонн с 1 га

20 га – 32,3 тонн с 1 га

Необходимо найти весь урожай с обоих полей.

1. 30*30,2 = 906(т) собрали с поля, площадью 30 га.
2. 20*32,3=646(т) собрали с поля, площадью 20 га.
3. 906+646=1522(т) собрали из двух полей.

Теперь ученик должен определить общую площадь полей и разделить на нее весь урожай.

1. 30 + 20 = 50 (га) площадь двух полей.
2. 1522 : 50 = 31,04 (т)

Ответ: 31,04 тонн – средний урожай пшеницы с одного гектара поля.

Задача № 6

Автомобиль ехал 3,4 часа по шоссе со скоростью 90 км/ч и 1,6 часа по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если средняя скорость на всем пути составляла 75,6 км/ч.

В этой задачи средняя скорость известна и нужно найти скорость на одной части пути, то есть это обратная задача на среднюю скорость.

3,4 год – 90 км/час

1,6 год – х км/час

средн. скор. – 75,6 км/час

Составляем уравнение на основе формулы среднего арифметического и упрощаем его.

(3,4 * 90 + 1,6ч): (3,4 + 1,6) = 75,6

(306 + 1,6 ч): 5 = 75,6

Ответ: 45 км/ч – скорость, с которой автомобиль двигался по грунтовой дороге.

Чтобы научиться правильно и быстро решать задачи с этой темы, школьнику важно много практиковаться и иметь качественные знания по другим темам математики. Когда ребенок плохо усвоил деление, он не сможет найти среднее арифметическое чисел. А плохое понимание среднего арифметического не позволит решать задачи на среднюю скорость.

Если у школьника проблемы с дисциплиной, важно вовремя обратиться за помощью к репетитору по математике. Непонятные темы будут накапливаться как снежный ком, а успеваемость в школе и мотивация к обучению будут снижаться.

Педагог проведет тестирование, в котором обнаружит пробелы в знаниях, пообщается с учеником и узнает о его проблемах и целях изучения математики, на основе полученной информации составит индивидуальный план обучения.

На уроках преподаватель ориентируется только на одного ученика и проводит занятие в комфортном для него темпе, уделяя необходимое время каждому вопросу. Найти репетитора по математике для текущих уроков или подготовки к ВНО вы можете на сайте BUKI.

Среднее арифметическое: подготовка к ЗНО

В задачах основной сессии ВНО может встретиться задача на нахождение среднего арифметического. Поэтому при подготовке важно повторить эту тему и рассматреть примеры подобных задач прошлых лет.

Вот задание № 12 с ЗНО по математике 2018 года.

Ученик с понедельника до пятницы записывал время в минутах, которое он тратил на дорогу в школу и из школы.

Задача №3. Расчёт среднего времени

В отделе заказов торговой фирмы занято трое работников, имеющих 8-часовой рабочий день. Первый работник на оформление одного заказа в среднем затрачивает 14 мин., второй – 15, третий – 19 мин. Определите средние затраты времени на 1 заказ в целом по отделу.

Решение:

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная средняя была бы правильной, если бы каждый работник отдела оформил только один заказ. Но в течение дня отдельными работниками было оформлено различное число заказов. Для определения числа заказов, оформленных каждым работником, воспользуемся следующим соотношением:

Число заказов, оформленных каждым работником, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на один заказ. Тогда среднее время, необходимое для оформления одного заказа, равно:

Это же решение можно представить иначе:

При решении данной задачи была использована формула средней гармонической простой:

Таким образом, средние затраты времени на 1 заказ в целом по отделу равны 15,73 минутам.

Скорость. Время. Расстояние

На уроке узнаем, что означает «среднее арифметическое» и как его находят, будем решать задачи с величинами «скорость», «время», «расстояние».

Начнем урок с небольшой тренировки ума! Игра называется «Тройка». Вам нужно собрать в левой части три слагаемых так, чтобы получилось число за красной чертой. Считайте устно. Образец дан в первой строке: 18 + 34 + 16 = 68

65 + 35 + 150 = 250

53 + 240 +360 = 653

99 + 1 + 640 = 740

690 + 10 + 100 = 800

Среднее значение

Каждый из нас в жизни встречается с выражениями «в среднем», «средняя температура», «средний заработок». Что это значит?

Рассмотрим на конкретной задаче.

Три друга Иван, Костя и Владимир каждую среду идут вместе от школы до музыкальной студии, где учатся игре на гитаре. Иван от школы до студии насчитал 251 шаг. Костя – 248 шагов, а Владимир насчитал 254 шага. Сколько в среднем шагов от школы до музыкальной студии?

В математике существует понятие «среднее арифметическое». Чтобы найти среднее арифметическое в этой задаче, нужно сложить количество шагов трех друзей, а затем полученную сумму разделить на 3 (по количеству слагаемых).

251 + 248 + 254 = 753 шага.

753 : 3 = 251 шаг

Можно сказать, что от школы до музыкальной студии в среднем 251 шаг.

Например, найти среднее арифметическое чисел: 5, 8, 7, 4.

Находим сумму чисел 5 + 8 + 7 + 4 = 24

Количество слагаемых – 4, значит, полученную сумму разделим на 4.

Среднее арифметическое – 6.

Пользуясь алгоритмом, найдите среднее арифметическое чисел: 12, 10, 8.

Среднее арифметическое – 10.

Рассмотрим более сложную задачу на нахождение среднего арифметического.

Задача

В столовой детского сада для приготовления завтраков малышам расходовали молоко три дня по 20 л и два дня по 25 л. Сколько в среднем расходовали молока в день?

Решим задачу вместе.

Сначала узнаем, сколько всего молока израсходовали.

20 ∙ 3 + 25 ∙ 2 = 110 (л) – израсходовали всего.

Затем узнаем, сколько дней расходовали молоко на завтрак.

3 + 2 = 5(дн.) – расходовали молоко.

Осталось количество израсходованного молока разделить на число дней.

110 : 5 = 22 (л) – расходовали в среднем за день.

Попробуйте самостоятельно решить подобную задачу.

Задача

Для игрового уголка в классе родители закупили 3 настольные игры: «Пазлы», «Домино», «Математический тренажер». Игра «Пазлы» стоила 160 р., «Домино» – 210 р., а «Математический тренажер» – 230 р.. Найди среднюю стоимость настольной игры.

• 160 + 210 + 230 = 600 (р.) – заплатили за все игры.
• 600 : 3 = 200 (р.) – стоит в среднем одна настольная игра.
• Ответ: 200 рублей

Скорость. Время. Расстояние

Вы наблюдали, что вокруг нас постоянно что-то или кто-то движется. Некоторые объекты – быстро, а некоторые – совсем медленно. Например, по лесной тропе прогуливается человек, по шоссе едет автомобиль, по воздуху летит вертолет. Все они движутся. Но автомобиль движется быстрее, чем человек, а вертолет – быстрее автомобиля.

В математике, величиной характеризующей быстроту движения объектов называют скоростью.

Скорость движения – это расстояние, пройденное за единицу времени. Единицей времени может быть: 1 секунда, 1 минута, 1 час.

Давайте вместе разберем две простые задачи.

Легковая машина прошла 120 км за 2 часа. В течение каждого часа она проходила одинаковое расстояние. Сколько км прошла машина за 1 час?

120 : 2 = 60 (км) – пройдет машина за 1 час.

Таким образом, скорость движения машины 60 км в час. Сокращенно запишем так:

60 км/ч.

Космический корабль пролетает 8 000 м за 1 секунду. Как по-другому записать его скорость?

Его скорость можно записать так: 8 000 м/с. Мы знаем, что 1 км = 1000 м, поэтому скорость корабля можно записать по-другому: 8 км/с.

Посмотрите скорость движения некоторых животных. Какое животное самое медленное, самое быстрое? Обратите внимание, что скорость можно записать по-разному: в зависимости от того, сколько сантиметров, метров, километров кто-то пролетает, проползает или пробегает за секунду, минуту, час.

С единицами времени вы уже знакомы. Это: секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год, век.

Расстояние – это длина дороги, соединяющая начало и конец пути.

Расстояние измеряется в следующих единицах:

Миллиметр

Сантиметр

Дециметр

Километр

Взаимосвязь между скоростью, временем и расстоянием

Как же связаны между собой эти величины?

Давайте запомним условные обозначения, принятые в математике:

Скорость – v,

Время – t,

Расстояние – S.

Ребята, это три ключевых формулы для решения задач на движение, которые нужно знать назубок!

Задачи на движение

С задачами на движение мы встречаемся каждый день в обычной жизни.

Расстояние – самое большое из трех величин в задачах на движение. То есть, скорость и время всегда меньше расстояния.

Запомнили формулы, которые являются ключами к правильному решению задач?

Заполните пустые окошки в формулах:

Решим задачи на движение.

Плот двигался по реке со скоростью 5 км/ч, а катер – со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние преодолеет плот, и какое катер за 3 часа?

Выделяем величины, чертим таблицу. Читаем задачу по частям и записываем каждую величину в нужную ячейку таблицы.

Какую из трех величин нужно найти? Верно, расстояние. Вспомним формулу: S = v ∙ t

5 ∙ 3 + 15 (км) – пройдет плот.

20 ∙ 3 = 60 (км) – пройдет катер.

Ответ: 15 км, 60 км.

Ребята участвовали в соревнованиях по бегу. Максим пробежал 200 м за 40 с, а Артем это же расстояние пробежал за 50 с. С какой скоростью бежал каждый из мальчиков?

Начертите таблицу, как в предыдущей задаче. Запишите величины в нужные ячейки. Поставьте знак вопроса. Пользуясь формулой, решите задачу самостоятельно.

v = S : t

200 : 40 = 5 (м/с) – скорость движения Максима.

200 : 5 = 4 (м/с) – скорость движения Артема.

Ответ: 5 м/с, 4 м/с.

Решим еще одну задачу.

Два всадника отправились на прогулку на лошадях Рада и Снежка. Лошади преодолели одинаковое расстояние 30 км. Но двигались с разной скоростью. Рада бежала со скоростью 10 км/ч, а Снежка – 15 км/ч. Сколько времени длилась прогулка на Раде, и сколько времени – на Снежке?

Начертите таблицу, заполните ее ячейки. Пользуясь формулой, запишите решение.

30 : 10 = 3 (ч) – прогулка на Раде.

30 : 15 = 2 (ч) – прогулка на Снежке.

Сегодня на уроке мы запомнили формулы-ключи для решения задач на движение, узнали о скорости самых медленных и самых быстрых животных, научились находить среднее арифметическое. До скорых встреч, ребята!

математика — Как найти среднее время выполнения работ?

Добрый день. Помогите, пожалуйста, с решением задачи или подскажите куда копать.

Есть работники цеха, каждый из них может выполнять за смену несколько работ. Нужно найти время выполнения каждой работы каждым сотрудником, если известно сколько каких работ они выполнили в каждую смену за последний месяц.

Например, если число сотрудников L, и количество различных работ M, можно получить матрицу неизвестных: X(i,j), где i <1..L>и j<1..M>. Есть матрица фактически выполненных работ по дням А(i,j,k), где i <1..L>— сотрудники, j <1..M>— работы, k <1..30>— дни месяца. Продолжительность смены — 8 часов (можно записать в виде вектора Y(1..30), где все элементы равны 8).

Выходит переопределённая (или недоопределённая) система линейных уравнений A(1,1,1)X(1,1)+A(2,1,1)X(2,1)+. +A(L,1,1)X(L,1)+A(1,2,1)X(1,2)+. +A(L,M,1)X(L,M)=Y(1) A(1,1,2)X(1,1)+A(2,1,2)X(2,1)+. +A(L,1,2)X(L,1)+A(1,2,2)X(1,2)+. +A(L,M,2)X(L,M)=Y(2) . A(1,1,30)X(1,1)+A(2,1,30)X(2,1)+. +A(L,1,30)X(L,1)+A(1,2,30)X(1,2)+. +A(L,M,30)*X(L,M)=Y(30)

Понятно, что продолжительность каждой работы будет каждый раз немного разная, нужно найти что то вроде мат. ожидания продолжительности выполнения каждой работы для каждого сотрудника. Ещё может так выйти, что какой-то сотрудник ни разу за месяц не выполнял какую-либо работу.

Чем-то похоже на задачу регрессии, но как такое решать — понятия не имею. Заранее всем спасибо.