Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся следующие числа очков:сумма которых
Каждая игральная кость имеет по 6 граней, на каждой из которых выбито от 1 до 6 очков. Общее число равновероятных случаев, которые могут выпасть при броске двух игральных костей
6 * 6 = 36.
Подсчитаем число вариантов, при которых сумма выпавших очков четна. Сумма очков будет четна в двух случаях:
1) на каждой игральной кости выпало четное число очков, то есть на каждой из них выпал один из трех вариантов: 2, 4, 6, общее число этих случаев 3 * 3 = 9;
2) на каждой игральной кости выпало нечетное число очков, то есть на каждой из них выпал один из трех вариантов: 1, 3, 5, общее число этих случаев 3 * 3 = 9.
Таким образом, вероятность того что сумма очков четна будет отношению числа вариантов при котором число очков четно к общему числу вариантов выпадения очков:
теория вероятности. Теория. Решение задач типового варианта расчетной работы Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять
1.3.Решение задач типового варианта расчетной работы
Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.
Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом — одно из сочетаний очков 1,2,3,4,5,6 на верхних гранях трех костей.
Исследуемое событие А — сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:
Общее количество элементарных событий n найдем по правилу умножения. На каждой игральной кости — 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей, получаем
Количество элементарных событий m, благоприятствующих событию A, найдем, выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости.
Имеем следующие все возможные результаты испытаний, благоприятствующие событию A:
113 212 311 366 465 564 663
122 221 316 415 514 613
131 226 325 424 523 622
136 235 334 433 532 631
145 244 343 442 541 636
154 253 352 451 546 645
163 262 361 456 555 654
В результате получаем m= 43, значит, P(A) = 43/216.
Ответ: P(A) = 43/216.
Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.
Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова МАТЕМАТИКА. Элементарные события являются перестановками из 10 букв, имеем n= 10!
Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются (М — 2 раза, А — 3 раза, Т – 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно
В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
б) меньше чем 2 белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:
а) Событие A1 — среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых — 2 белых и 2 черных шара. Используя правило умножения, получаем
б) Событие A2 — среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:
B1 — среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара,
B2 — среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:
Так как события B1 и B2 несовместны, то вероятность события A2 находим по формуле
в) Событие A3 — среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (B1), 2 белых и 2 черных (B2), 3 белых и 1 черный (B3), 4 белых (B4). Имеем
Здесь событие A3 определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.
Событие — среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае
Ответ: P(A1) = 5/11, P(A2) = 13/66, P(A3) = 65/66.
Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851; 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент.
а) Обозначим события:
— за время T выходит из строя только один элемент;
— первый элемент выходит из строя;
— второй элемент выходит из строя;
— третий элемент выходит из строя;
— первый элемент не выходит из строя;
второй элемент не выходит из строя;
— третий элемент не выходит из строя.
Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий , получаем следующую формулу:
б) обозначим событие A2 — за время T выходит из строя хотя бы один элемент.
Вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента находим через вероятность противоположного события:
— за время T все элементы работают безотказно,
Ответ: P(A1) = 0,418, P(A2) = 0,552.
Задача 1.6.
В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй -2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Решение.
Ш
2урна
ары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.
а) Событие A1 — все вынутые шары одного цвета, т е. они или все белые, или все черные.
Определим для каждой урны все возможные события:
B1 — из первой урны вынуты 3 белых шара;
B2 — из первой урны вынуты 2 белых и I черный шар;
B3 — изпервой урны вынуты 1 белый к 2 черных шара;
B4 — из первой урны вынуты 3 черных шара,
C1 — из второй урны вынуты 2 белых шара;
C2 — из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;
C3 — из второй урны вынуты 2 черных шара.
Значит, откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем
Найдем количество элементарных событий n1 и n2 для первой и второй урн соответственно. Имеем
Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:
6) Событие A2 — среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае
в) СобытиеA3 — среди извлеченных шаров есть хотя бы один белый, событие
— среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда
Ответ: P(A1) = 71/1980, P(A2) = 4/11, P(A3) = 653/660.
Задача 1.7.
В урне 4 черных и белых шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, считая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможные.
Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шара, причем результат второго испытания зависит от результата первого.
Поэтому используем формулу полной вероятности
Событие A — случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.
Рассмотрим события (гипотезы):
B1 — в урне было 4 белых шара;
B2 — в урне было 3 белых и 1 черный шар;
B3 — в урне было 2 белых и 2 черных шара;
B4 — в урне был 1 белый и 3 черных шара;
B5 — в урне было 4 черных шара.
Формулу полной вероятности используем в следующем виде:
События B1, B2 , B3 , B4 , B5 образуют полную систему событий, значит, их сумма равна достоверному событию и
По условию все эти вероятности равны. Следовательно,
Общее число элементарных исходов
Находим вероятности гипотез и условные вероятности.
При B1 :
По формуле полной вероятности находим:
Ответ: Р(А) = 7/20.
Задача 1.8.
В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой — 4 белых 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
В этой задаче испытания происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны.
Событие А — шары, взятые из второй урны;
Рассмотрим события (гипотезы):
B1 — из первой урны вынимают 3 белых шара;
B2 — из первой урны вынимают 2 белых и 1 черный шар;
B3 — из первой урны вынимают 1 белый и 2 черных шара;
B4 — из первой урны вынимают 3 черных шара.
Вероятность события А находим по формуле
Количество элементарных событий на первом этапе равно
а на втором этапе
В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 винтовки с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, — с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым — стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
А — стрелок поразит мишень;
B1 — стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;
B2 — стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.
Используем формулу полной вероятности.
Условные вероятности заданы:
Ответ: Р(А)= 0,515.
Задача 1.10.
В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85; 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен третьим заводом — изготовителем.
Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым — работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:
А — электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
B1 — монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;
B2 — монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;
B3 — монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.
Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:
Условные вероятности заданы:
Найдем вероятности гипотез по формуле
Вероятность события А равна:
По формуле Бейеса
вычисляем вероятность того, что работающий безотказно двигатель поставлен третьим заводом-изготовителем
Ответ: Р(B3 | A ) = 0,274.
Задача 2.1.
В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности pk , k = 0, 1, 2, . 11, где k— частота события А. Построить график вероятностей pk.. Вычислить наивероятнейшую частоту .
Задано: n = 11, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7.
Найти: p0 ,p1 , p2 ,…, p11и .
Используем формулу Бернулли и формулу
Значение p0 вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности pk — по второй.
Для второй формулы вычисляем постоянный множитель и p0:
Результаты вычислений представлены в таблице 5. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство
По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1.).
Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:
Так как — целое число, то искомая наивероятнейшая частота и значение является максимальным.
Таблица 5
| Х | 3 5 7 11 |
| Р | 0,14 0,20 0,49 0,17 |
Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Решение.
Функцию распределения для дискретных случайных величин находим по формуле
Искомая функция распределения имеет вид:
Построим график функции распределения F(x) (рис. 2).
Математическое ожидание М(Х) вычисляем по формуле:
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой:
Рис. 2. График функции распределения к задаче 2.6.
Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности
Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Функцию распределения F(x) случайной величины найдем по формуле:
Построим графики функций f(x) и F(x) (рис. 3 и 4).
Находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины:
Рис. 3. График функции Рис. 4. График функции
плотности вероятности f(x) распределения F(x)
Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти функцию плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Функцию плотности вероятности вычислим по формуле f(x) = F‘(x), дальнейшее решение задачи аналогично решению предыдущей задачи.
Задача 2.9.
Задана случайная величина x N (0, 2). Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение: а) в интервале [-1, 2];
б) меньшее (-1); в) большее 2; г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 1.
В первых трех случаях можно воспользоваться формулой ,
а в четвертом – формулой
а) Задано: т =0, σ = 2, a = -1, b = 2. Найти: .
б) Задано: т =0, σ = 2, a = — , b = -1. Найти: .
в) Задано: т =0, σ = 2, a = 2, b = . Найти: .
г) Задано: т =0, σ = 2, ε = 1. Найти:
Получаем: .
Задача 2.10.
Задана случайная величина Х N (-10, 3) и точки -17, -13, -7, -1, 2 на числовой оси, разделяющие ее на шесть интервалов. Найти вероятность того, что эта случайная величина Х принимает значения в этих интервалах.
Используем формулу . Учитывая, что конец одного интервала является началом следующего, записываем результаты вычислений в таблицу (табл.6).
Интервалы охватывают всю числовую ось, так что сумма полученных вероятностей должна быть равна 1.
Брошены две игральные кости найти вероятность того что сумма очков на верхних гранях делится на три
Тип 14 № 1988 
Hайдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков на верхних гранях будет равна 5.
При бросании двух игральных костей сумма выпавших очков может быть равна 5 в том случае, если выпадет одна из комбинаций: 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 — всего 4 варианта. При бросании двух игральных костей возможно 6 · 6 = 36 различных комбинаций очков. Таким образом, вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма очков на верхних гранях будет равна 5, равна
Брошены две игральные кости найти вероятность того что сумма очков на верхних гранях делится на три
Задание 7. Как и в предыдущей задаче, найти вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия.
Задание 8. Бросают две монеты. Найти вероятности того, что:
1) на обеих монетах появится «герб»;
2) хотя бы на одной монете появится «герб»;
3) ни на одной монете не появится «герб». Бросают три монеты. Найти вероятности того, что:
4) на всех монетах появится «герб»;
5) хотя бы на одной монете появится «герб»;
6) только на двух монетах появится «герб»;
7) только на одной монете появится «герб»;
8) ни на одной монете не появится «герб». Бросают четыре монеты. Найти вероятности того, что:
9) на всех монетах появится «герб»;
10) хотя бы на одной монете появится «герб»;
11) только на одной монете появится «герб»;
12) только на двух монетах появится «герб»;
13) только на трех монетах появится «герб»;
14) ни на одной монете не появится «герб».
Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что на верхней грани появится:
15) четное число очков;
Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится следующие числа очков:
17) только четные;
18) одно четное, другое не четное;
19) сумма которых четна;
20) сумма которых нечетна;
21) сумма которых больше, чем их произведение;
22) сумма которых меньше шести;
23) сумма которых больше восьми.
Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится следующие числа очков:
24) только четные;
25) одно четное, остальные нечетные;
26) сумма которых четна;
27) сумма которых нечетна;
28) которые все одинаковые;
29) которые все различные;
30) сумма которых делится на четыре;
31) сумма которых делится на пять.
Задание 9. В магазине выставлены для продаж n изделий, среди которых k изделий некачественные (табл. 1). Какова вероятность того, что взятые случайным образом m изделий будут некачественными?
Задание 10. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект (табл. 2). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными?
Задание 11. В квадратном окне со стороной а имеется прямоугольная форточка со сторонами b и с . Во время игры мяч случайно попадает в окно. Какова вероятность того, что мяч через открытую форточку влетит в комнату, не разбив окна (событие А )? Какова вероятность того, что окно разобьется (событие В )?
Значение параметров а , b и с по вариантам приведены в табл. 3.
Задание 12. По цели произведено 40 выстрелов, причем зарегистрировано N попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.
Решение типового варианта
1. Студент знает ответы на 22 вопроса из 30. Найти вероятность того, что он вытащит на зачете известный ему вопрос.
Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием является выбор студентом билета, результатом – известным или неизвестным для него окажется вопрос в этом билете. Исследуемое событие А – студент вытащил известный для него вопрос. Вероятность события А вычислим по формуле (1.1):
Общее количество элементарных исходов n = 30, количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А m = 22 . Имеем:
P ( A ) = 30 22 = 15 11 .
Ответ: P ( A ) = 15 11 .
2. В группе 15 девушек и 12 юношей. По жребию выбирают одного человека. Найти вероятность следующих событий:
А – отобран юноша; В – отобрана девушка.
Событие А – отобран юноша.
Общее число возможных исходов: n = 15 +12 = 27 . Число исходов, благоприятствующих событию А m = 12. По формуле (1.1) имеем:
P ( A ) = 12 27 = 9 4 .
Событие В – отобрана девушка. n = 27 , m = 15, P ( В ) = 15 27 = 9 5 . Ответ: P ( A ) = 9 4 , P ( В ) = 9 5 .
3. Сколькими способами можно расставить 12 книг на книжной полке? Решение. Способов расставить книги на полке столько, сколько возможно перетасовок из 12 элементов. По формуле (1.2) имеем:
P 12 = 12!= 1 2 3 . 12 = 479001600. Ответ : 479001600.
4. Сколькими способами можно из 10-ти человек выбрать счетную комиссию из 4-х человек?
Решение . Порядок отбора людей в счетную комиссию не важен, поэтому число таких счетных комиссий вычислим как сочетание из 10 элементов по 4. По формуле (1.3) получаем:
5. Сколькими способами можно распределить первые четыре места в команде из 10-ти человек?
Решение. Порядок распределения первых мест важен, поэтому вычислим количество размещений из 10 элементов по 4. По формуле (1.4) получаем:
А 10 4 = 10 6! ! = 5040 .
6. Слово «Первообразная» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятности того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.
Решение . Событие А – получено слово «первообразная». Все возможные исходы, это перестановки из 13 букв, значит, по формуле (1.2) имеем:
n = 13!= 6227020800 .
Некоторые буквы в слове «первообразная» повторяются (Р – 2 раза, О – 2 раза, А – 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменится. Их число равно
7. Задача решается аналогично предыдущей.
8. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять. Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом одно из сочетаний очков 1, . 6 на верхних гранях трех костей.
Решение . Исследуемое событие А – сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы (1.1):
Общее количество элементарных событий п можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем n = 6 6 6 = 216
Количество элементарных событий т, входящих в состав события А или благоприятствующих событию А, найдем выписав всевозможные испытания и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросаний первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем: