Отрезки АВ и CD являются хордами окружности, АВ=14, CD=48. Как решить?
Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если АВ=14, CD=48, а расстояние от центра окружности до хорды АВ равно 24.
В треугольнике OCD проведём высоту OF.
Расстояние от центра окружности до хорды CD равно размеру OF.
Треугольник AOB равнобедренный.
AO=OB как радиусы окружности.
OE высота этого треугольника.
Расстояние OE от центра окружности до прямой AB вычисляется по теореме Пифагора.
Расстояние от точки до прямой на плоскости (метод координат) и задача с параметром
Расстояние от точки до прямой на плоскости и задача с параметром.
Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости с помощью метода координат, а затем используем эту формулу для решения задачи с параметром.
Пусть нам нужно найти расстояние от точки 
до прямой 
.
Запишем уравнение прямой, перпендикулярной вектору 
, проходящей через точку 
.
Для любой точки 
, принадлежащей прямой, вектор 
, поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала:
Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:
— это число, пусть 
Получим: 
, или .
Таким образом, в уравнении прямой коэффициенты 
и 
— координаты вектора нормали.
Выведем формулу для нахождения расстояния от точки до прямой 
.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Пусть основание перпендикуляра — точка .
Координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: , отсюда . (1)
Мы получили вектор 
, коллинеарный вектору нормали . Нам надо найти длину этого вектора.
Если вектора коллинеарны, то косинус угла между этими векторами равен 1.
Запишем, чему равно скалярное произведение векторов 
и 
.
С одной стороны, скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:
(2)
С другой стороны, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат:
(из равенства (1)) (3)
Приравняем выражения для скалярного произведения (правые части равенств (2) и (3):
Отсюда 
Так как длина вектора есть величина неотрицательная, возьмем правую часть по модулю, и получим формулу для нахождения расстояния от точки до прямой :
Решим задачу с параметром с использованием этой формулы.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Первое уравнение системы представляет собой уравнение окружности с центром в точке 
, радиус которой равен 
.
Второе уравнение — уравнение прямой. Запишем его в виде 
Прямая имеет с окружностью одну общую точку, если является касательной к окружности, то есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. И прямая имеет с окружностью две общие точки, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса.
Нас интересует второй случай.
Запишем формулу расстояния от точки до прямой :
Так как , и если 
, то окружность вырождается в точку, и прямая в этом случае имеет с окружностью только одну общую точку, то этот случай нас не устраивает.
Отсюда 
и 
. Следовательно, 
;
Введем замену: 
; 
Отсюда 
.
;
;
Ответ: 
.
"Окружность и прямая"
Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.
ВОЗМОЖНЫ ТРИ СЛУЧАЯ:
2 ) d = r
- Еслирасстояниеот центра окружности до прямойравнорадиусуокружности, то прямая и окружность имеюттолькоодну общую точку.
r Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек . d r r O » width=»640″
ВОЗМОЖНЫ ТРИ СЛУЧАЯ:
3 ) d r
- Еслирасстояниеот центра окружности до прямойбольшерадиусаокружности, то прямая и окружностьне имеют общих точек.
ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ:
Взаимное расположение окружности
Сравнение d и r
Количество общих точек
Название прямой
ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ:
Количество общих точек
Взаимное расположение окружности
Прямая -секущая
Окружность с центром O радиуса 5 см
какие из прямых
являются секущими к окружности
Центр окружности – середина гипотенузы.
Выясните взаимное расположение окружности и прямой
- ВС, если АС = 5 см ,
- АС, если АВ = 13 см, АС = 5 см ,
- АС и ВС, если АВ =13 см, АС=12 см
Центр окружности – середина гипотенузы.
Выясните взаимное расположение окружности и прямой
- ВС, если АС = 5 см ,
Центр окружности – середина гипотенузы.
Выясните взаимное расположение окружности и прямой
- АС, если АВ = 13 см, АС = 5 см ,
Центр окружности – середина гипотенузы.
Выясните взаимное расположение окружности и прямой
- АС и ВС, если АВ =13 см, АС=12 см
d ВЕРНО 3) Окружность и прямая не имеют общих точек, если r = d НЕВЕРНО 4 ) Расстояние от окружности до прямой меньше радиуса НЕВЕРНО 5)Прямая называется секущей, если прямая и окружность имеют 2 общие точки ВЕРНО » width=»640″
Окружность
Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.
В рамках определения 1, заданная точка называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой называется радиусом окружности $(r)$ (Рис. 1).
Рисунок 1. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром $(d)$.
Взаимное расположение прямой и окружности
Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.
Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).
Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат
Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом
Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=r$. Тогда получим следующее
Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.
В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид
Длина окружности
Выведем формулу длины окружности $C$ через её радиус. Для этого рассмотрим две окружности с длинами $C$ и $C’$ и радиусами $R$ и $R’$. Впишем в ним правильные $n-угольники$ с периметрами $P$ и $P’$ и длинами сторон $a$ и $a’$ соответственно. Как нам известно, сторона вписанного -угольника равна
Неограниченно увеличивая количество сторон правильных многоугольников $n$ получим, что
Получили, что отношение длины окружности к её диаметру постоянное число для любой окружности. Эту константу принято обозначать числом $\pi \approx 3,14$. Таким образом, получим
Формула (2) и есть формула для вычисления длины окружности.
Пример задачи на понятие окружность
Найти уравнение окружности с центром в точке $(1,\ 2)$. Проходящей через начало координат и найти длину данной окружности.
Решение.
Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать формулу (1). Так как центр окружности лежит в точке $(1,\ 2)$, получим
Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(1,\ 2)$ до точки $(0,0)$