Sorry, you have been blocked
This website is using a security service to protect itself from online attacks. The action you just performed triggered the security solution. There are several actions that could trigger this block including submitting a certain word or phrase, a SQL command or malformed data.
What can I do to resolve this?
You can email the site owner to let them know you were blocked. Please include what you were doing when this page came up and the Cloudflare Ray ID found at the bottom of this page.
Cloudflare Ray ID: 803f7c9c2acab9e9 • Your IP: Click to reveal 178.175.133.131 • Performance & security by Cloudflare
Сколько прямых определяют три точки не лежащие на одной прямой
Вопрос по геометрии:
Помогите! Сколько прямых определяют три точки, не лежащие на одной прямой?
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
- 18.08.2018 05:17
- Геометрия
- remove_red_eye 2807
- thumb_up 42
Ответы и объяснения 1
Так как чтобы провести прямую достаточно двух точек, то кол-во прямых будет столько сколько пар можно выбрать из 3-ех точек, то есть 3
- 19.08.2018 19:07
- thumb_up 44
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Аксиомы стереометрии
Вся стереометрия 10—11 классов построена на пяти (иногда — семи) аксиомах, из которых основными являются лишь три. В этом уроке мы разберём все семь аксиом и решим много полезных задач.
В учебниках разных авторов эти аксиомы идут в разной последовательности. Так, Атанасян даёт аксиомы 3—5; Мерзляк — аксиомы 1—6; Потоскуев / Звавич — все 7 аксиом.
Обратите внимание: у этих аксиом есть следствия. Это три теоремы, которые значительно расширяют наши возможности для решения задач. Им посвящён отдельный урок — см. «Следствия из аксиом стереометрии».
1. Аксиома планиметрии
Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Другими словами, в стереометрии можно пользоваться всеми свойствами плоских фигур, которые мы изучали в планиметрии. Более того: переход к планиметрии — это основной приём для решения множества стереометрических задач.
Для того, чтобы использовать теоремы из планиметрии, достаточно определить плоскость, в которой мы работаем. И убедиться, что интересующие нас объекты (прямые, треугольники, окружности и т.д.) лежат в этой плоскости.
Для обозначения принадлежности мы часто будем использовать знак $\in $ из теории множеств. Допустим, прямая $l$ и точка $M$ лежат на плоскости $\alpha $:
Мы будем обозначать это так: $M\in \alpha $ и $l\in \alpha $.
2. Аксиома точек вне плоскости
Аксиома 2. Для любой плоскости пространства найдутся точки, которые лежат в этой плоскости, и точки, которые лежат вне её.
Из этой аксиомы следует, что всё пространство не исчерпывается одной плоскостью. Есть другие плоскости, на каждой из которых можно отметить бесконечное множество точек.
На чертеже мы видим, что точка $A\in \alpha $, точка $\color
3. Аксиома плоскости (основная)
Аксиома 3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Другими словами, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость:
На рисунке точки $A$, $B$ и $C$ лежат на плоскости $\alpha $. Поскольку эти точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают эту плоскость. Обычно её так и обозначают: плоскость $ABC$.
Простой пример из жизни — стул на трёх ножках. Такого количества опор достаточно, чтобы он не качался и не падал. Плоскость стула задаётся однозначно благодаря всего трём точкам опоры.
Мы будем постоянно использовать эту аксиому для доказательства и решения задач. Ведь если удастся задать плоскость, то мы сведём трёхмерную задачу к двухмерной. А это радикально упрощает рассуждения.
4. Аксиома прямой и плоскости (основная)
Аксиома 4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся эта прямая принадлежит этой плоскости.
Это интуитивно понятное утверждение, но его нельзя вывести из предыдущих аксиом.
Итак, есть прямая, две точки которой лежат на плоскости:
Следовательно, вся прямая лежит на этой плоскости:
В этом уроке мы не будем давать строгие теоретико-множественные определения. Потому что сейчас наша цель — максимальная наглядность, а не научная красота. Кому интересно, см. учебник «Геометрия 10» Потоскуева и Звавича.
Вообще существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:
- Прямая принадлежит плоскости — как раз этот вариант описывает аксиома.
- Прямая параллельна плоскости, т.е. не имеет с ней общих точек.
- Прямая пересекает плоскость, т.е. имеет с ней ровно в одну общую точку.
Простой пример: на столе, выполняющем роль плоскости $\alpha $, стоит кирпич $ABCD<_<1>><_<1>><
Прямая $\color
5. Аксиома пересечения плоскостей (основная)
Аксиома 5. Если у двух плоскостей есть общая точка, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой.
Плоскости всегда пересекаются только по прямой:
Сейчас это может показаться рассуждениями Капитана Очевидности, но в первых же задачах на доказательство вы поймёте, насколько полезны эти аксиомы.
Существует два варианта взаимного расположения плоскостей:
- Плоскости пересекаются по прямой;
- Плоскости параллельны, т.е. не имеют общих точек.
Вернёмся к предыдущему рисунку, где на плоскости $\alpha $ стоит кирпич:
Существует, конечно, третий вариант, когда плоскости совпадают. Это тривиальный случай, и мы не будем его рассматривать. Поэтому если в задаче фигурируют плоскости, то речь идёт именно о разных плоскостях, которые либо пересекаются, либо параллельны.
Важным следствием из трёх основных аксиом: если фигуры $\color
Фигуры $\color
Вот почему, например, сечение грани куба плоскостью всегда даёт либо точку, либо отрезок. Подробнее об этом — см. урок «Сечения многогранников». Это один из важнейших уроков во всём курсе стереометрии.
6. Аксиома расстояния (дополнительная)
Аксиома 6. Расстояние между любыми двумя точками пространство будет одним и тем же для любой плоскости, проходящей через эти точки.
Смысл этой аксиомы в следующем. Из Аксиомы 1 мы знаем, что в любой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, для любых двух точек $M$ и $N$ в каждой плоскости, которая проходит через эти точки, можно найти расстояние $\left| MN \right|$.
Однако через точки $M$ и $N$ проходит бесконечно много плоскостей. И в каждой можно найти такое расстояние.
Аксиома 6 утверждает, что все эти расстояния будут равны друг другу. Т.е. расстояние между двумя точками пространства не зависит от выбора плоскости.
На рисунке точки $\color
7. Аксиома разбиения (дополнительная)
- Любые две точки, принадлежащие разным частям, разделены плоскостью $\alpha $;
- Любые две точки, принадлежащие одной части, не разделены плоскостью $\alpha $.
Интуитивно эта аксиома вполне очевидна. Если две точки лежат по разные стороны от плоскости $\alpha $, то отрезок, соединяющий эти точки, неизбежно пересечёт плоскость $\alpha $. И наоборот: если точки лежат по одну сторону от плоскости $\alpha $, то отрезок, их соединяющий, не пересечёт эту плоскость.
На рисунке мы видим, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $\alpha $. И наоборот: отрезок $AC$ не пересекает плоскость $\alpha $, поскольку точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от плоскости.
Здесь можно долго рассуждать, что плоскость $\alpha $ делит всё пространство на два полупространства. Что эта плоскость является границей для таких полупространств. Но это уже аналитическая геометрия и топология — сейчас не будем залезать в дебри.
8. Зачем нужны аксиомы
Математику изучают в школе не просто так. Большинство забудет все эти уравнения, графики и аксиомы сразу после ЕГЭ в 11 классе.
Задача школьного курса математики состоит в том, чтобы вы освоили научное мышление. Чтобы поняли, как работает наука, как проверяются гипотезы и как доказываются утверждения. И чем отличается частный жизненный опыт от универсальных знаний.
Подробнее о том, чем научное знание отличается от обывательского (и почему это так важно), смотрите в цикле уроков «Как работает наука».
Однако в любой науке есть «стартовый» набор утверждений, которые принимаются без доказательств. Эти утверждения и есть аксиомы. Обычно они наглядны и «очевидны» даже для начинающих.
Простой пример «очевидного» утверждения. Биссектриса треугольника пересекает его противоположную сторону:
Спасибо, Капитан Очевидность. Однако напрямую этот факт ниоткуда не следует. Его можно доказать, например, через тригонометрию или координаты. Но потребовать такое доказательство — отличная задача-гроб на устном экзамене в университет.
Создание системы аксиом — долгий и кропотливый процесс. Классическая евклидова геометрия, которую изучают в школе, основана на аксиомах, которые формировались более двух тысяч лет. Основоположник этих аксиом — Евклид — жил в III веке до н.д. Собственно, потому геометрия и называется евклидовой.
Зато когда система аксиом построена, все последующие теоремы выводятся из неё через логические рассуждения. Без привлечения наглядных иллюстраций и «очевидных соображений». Вот здесь и начинается настоящая наука.:)
9. Решение задач
Аксиомы стереометрии часто применяются в доказательствах. И ещё в задачах с открытыми вопросами. Вот пример такой задачи:
Задача 1. Окружность и плоскость
Центр окружности $O$ и точки $M$ и $N$ на этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $. Все ли точки этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $?
Решение. Легко заметить, что ответ зависит от взаимного расположения точек $M$, $N$ и $O$.
Допустим, что все они лежат на одной прямой. Тогда $MN$ — диаметр, и вся окружность может как лежать в плоскости $\alpha $, так и не лежать в ней. Вот пример когда окружность не лежит в плоскости:
Пусть теперь точки $M$, $N$ и $O$ не лежат на одно прямой. По Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке) эти точки однозначно задают плоскость. Эта плоскость совпадает с плоскостью $\alpha $.
А поскольку окружность — плоская фигура, то остальные её точки также принадлежат плоскости $\alpha $:
Задача 2. Неравильный рисунок
Вершина $B$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha $. Прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, а прямая $CD$ — в точке $K$. Верно ли выполнен рисунок? Ответ обоснуйте.
Решение. Соединим точки $M$ и $K$ прямой $l$:
Мы видим, что точка $B\notin l$. Поэтому точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой. И согласно Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке), эти точки однозначно задают плоскость.
С одной стороны, мы видим по рисунку, что это плоскость $\alpha $. С другой стороны, параллелограмм — плоская фигура, поэтому точки $M$, $B$, $K$ лежат ещё и в плоскости параллелограмма. А это значит, что плоскости $\alpha $ и $ABCD$ должны совпадать, чего на рисунке не происходит.
Есть и другой способ показать, что рисунок некорректен. По условию задачи, точки $M$, $B$, $K$ являются общими для плоскости $\alpha $ и плоскости $ABCD$. Согласно Аксиоме пересечения плоскостей (Аксиома 5 в нашем списке), все эти точки должны лежать на одной прямой.
Однако простое построение показывает, что точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой, что противоречит аксиоме. Такое противоречие как раз и доказывает некорректность чертежа.
Далее мы будем лишь называть аксиомы — без нумерации.
Задача 3. Прямые на плоскости
Лежат ли в одной плоскости прямые $a$, $b$ и $c$, если любые две из них пересекаются, но не существует точки, принадлежащей всем трём прямым? Сделайте рисунок и обоснуйте ответ.
Решение. Нарисуем прямые $a$, $b$, $c$ и обозначим их точки пересечения $M$, $N$, $K$:
Точки $M$, $N$, $K$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости, эти три точки однозначно определяют некоторую плоскость $\alpha $.
Далее заметим, например, что точки $M\in \alpha $ и $N\in \alpha $ по построению. По основной Аксиоме прямой и плоскости вся прямая $MN=b$ лежит в этой плоскости, т.е. $b\subset \alpha $.
Аналогично доказывается, что прямые $a\subset \alpha $ и $b\subset \alpha $.
Задача 4. Пересечение плоскостей
На рисунке плоскости $\alpha $ и $\beta $ пересекаются по прямой $l$. Точки $A\in \alpha $ и $B\in \alpha $, точка $C\in \beta $. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha $ и с плоскостью $\beta $.
Решение. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости $\alpha $ и $\beta $, буквой $l$:
\[\alpha \cap \beta =l\]
Дополнительное построение: прямая $AB$, которая пересекает прямую $l$ в точке $M$:
Точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $AB\subset \alpha $ — искомая линия сечения плоскости $\alpha $ и $ABC$.
Далее заметим, что точка $M\in l\subset \beta $. Дополнительное построение: прямая $CM$:
Точки $C\subset \beta $, $M\subset \beta $. И вновь по основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $CM$ — искомая линия сечения плоскости $\beta $ и $ABC$.
Хочу отметить, что задачи на построение — это отдельный класс задач. Как в планиметрии, так и в стереометрии. Там много интересных моментов, им посвящены отдельные уроки. А то, что мы сделали сейчас — это совсем уж простые рассуждения, которые тем не менее опираются на всю мощь аксиом.
Задача 5. Стандартное доказательство
Докажите, что если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат плоскости $\alpha $, то и две другие вершины тоже принадлежат плоскости $\alpha $.
Решение. Это классическая задача на доказательство, которую в разных формулировках предлагают во всех учебниках по стереометрии.
Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.
Поскольку точка $O\notin AB$, точки $A$, $B$, $O$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости эти три точки однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.
Точки $A\in \alpha $, $O\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости, прямая $AO\subset \alpha $. Но точка $C\in AO\subset \alpha $. Следовательно, вершина параллелограмма $C\in \alpha $. Аналогично через точки $B$ и $O$ доказывается, что вершина $D\in \alpha $.
Замечание по поводу задач
Как видите, мы рассмотрели лишь самые простые задачи. Но даже на их примере видно, насколько важно чётко знать систему аксиом.
Бесчисленное множество контрольных и экзаменов были завалены просто потому, что ученик не смог обосновать простые и наглядные рассуждения. Потому что, например, не знал: можно ли утверждать, что если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
В общем, учите аксиомы и практикуйтесь на простых примерах. А для более интересных задач нам потребуются некоторые следствия из этих аксиом. Чему и посвящён следующий урок.:)
Сколько прямых определяют три точки,не лежащие ** одной прямой ? объясните и дайте ответ
В 15:004 поступил вопрос в раздел Геометрия, который вызвал затруднения у обучающегося.
Вопрос вызвавший трудности
Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru
Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике «Геометрия». Ваш вопрос звучал следующим образом:
После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:
НЕСКОЛЬКО СЛОВ ОБ АВТОРЕ ЭТОГО ОТВЕТА:
Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте. Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на этой странице.
Смирнова Каторина Ивановна — автор студенческих работ, заработанная сумма за прошлый месяц 86 400 рублей. Её работа началась с того, что она просто откликнулась на эту вакансию
ПОМОГАЕМ УЧИТЬСЯ НА ОТЛИЧНО!
Выполняем ученические работы любой сложности на заказ. Гарантируем низкие цены и высокое качество.
Деятельность компании в цифрах:
Зачтено оказывает услуги помощи студентам с 1999 года. За все время деятельности мы выполнили более 400 тысяч работ. Написанные нами работы все были успешно защищены и сданы. К настоящему моменту наши офисы работают в 40 городах.
Ответы на вопросы — в этот раздел попадают вопросы, которые задают нам посетители нашего сайта. Рубрику ведут эксперты различных научных отраслей.
Полезные статьи — раздел наполняется студенческой информацией, которая может помочь в сдаче экзаменов и сессий, а так же при написании различных учебных работ.
Красивые высказывания — цитаты, афоризмы, статусы для социальных сетей. Мы собрали полный сборник высказываний всех народов мира и отсортировали его по соответствующим рубрикам. Вы можете свободно поделиться любой цитатой с нашего сайта в социальных сетях без предварительного уведомления администрации.
Площадка Учись.Ru разработана специально для студентов и школьников. Здесь можно найти ответы на вопросы по гуманитарным, техническим, естественным, общественным, прикладным и прочим наукам. Если же ответ не удается найти, то можно задать свой вопрос экспертам. С нами сотрудничают преподаватели школ, колледжей, университетов, которые с радостью помогут вам. Помощь студентам и школьникам оказывается круглосуточно. С Учись.Ru обучение станет в несколько раз проще, так как здесь можно не только получить ответ на свой вопрос, но расширить свои знания изучая ответы экспертов по различным направлениям науки.