Улучшим навыки арифметики: Записываем корни в порядке возрастания .
Краткое описание: В данной статье мы научимся простому, но чрезвычайно полезному навыку — записи корней в порядке возрастания. Мы разберемся с основными понятиями и приведем примеры решения задач.
Многие из нас, в том числе и школьники, не любят работать с корнями. Но этот элементарный навык арифметики может быть крайне полезен, и не только в математических расчетах. Корни помогают понять и оценить некоторые явления и процессы в физике, химии, экономике и т.д. В данной статье мы остановимся на простом методе записи корней в порядке возрастания, который значительно упростит и ускорит решение многих задач.
Начнем с основных понятий. Корень из числа а — это такое число b, что b^2=a. Проще говоря, корень – это число, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить данное число. Например, корень из 9 равен 3, т.к. 3^2=9. Кроме этого, важно различать положительный и отрицательный корни. Корень из любого числа всегда может быть положительным или отрицательным, а иногда и оба этих числа являются корнями.
Итак, как мы можем записать корни в порядке возрастания? Самый простой способ – это использовать дроби. Для начала записываем квадратный корень из каждого числа в дробном виде (в форме дроби), сокращаем, если это возможно, и расставляем числа в порядке возрастания. Рассмотрим примеры.
Разложите числа корень 4 степени из 3; корень 6 степени из 5; корень 6 степени из 2 корень из 7 в порядке возрастания
Чтобы расположить числа в порядке возрастания необходимо, используя свойства корней и степеней, уравнять показатели корней, для этого найдём наименьшее общее кратное показателей степеней корней НОК(4, 6, 2) = 12. Получаем:
7^(1/2) = 7^(6/12) = 117649^(1/12).
Так как 4^(1/12) < 25^(1/12) < 27^(1/12) < 117649^(1/12), то 2^(1/6) < 5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/2).
Ответ: числа в порядке возрастания – корень 6 степени из 2; корень 6 степени из 5; корень 4 степени из 3; корень из 7.
Упр.416 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Что такое
квадратный корень
В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:
Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?
Запомните! 
Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.
Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.
У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:
Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.
Число под знаком корня называют подкоренным выражением.
Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.
Запомните!
Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.
- √ −9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
- √ 64 = 8
- √ −1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
- √ 256 = 16
Квадратный корень из нуля
Запомните!
Квадратный корень из нуля равен нулю.
Квадратный корень из единицы
Запомните!
Квадратный корень из единицы равен единице.
Как найти квадратный корень из числа
Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.
Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20 .
Решение примеров с квадратными корнями
Разбор примера
Вычислить арифметический квадратный корень из числа.
- √ 81 = 9
- √ 64 = 8
- √ 100 = 10
Как найти квадратный корень из десятичной дроби
Важно! 
При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:
- забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
- вычислить для целого числа квадратный корень;
- полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).
Более подробно разберем на примере ниже.
Разбор примера
Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».
По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».
Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».
Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.
Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.
Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».
Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».
Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».
Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:
Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».
Так как в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.
Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».
1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44
Квадратные корни из чисел √ 2 , √ 3 , √ 5 , √ 6 , и т.п.
Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.
В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.
Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:
Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.
Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.
Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.
Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:
«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».