18 задание ЕГЭ. 18 задание. 1. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию
1. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 27.
б) Может ли быть a + b + с + d = 19 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19?
в) Пусть a + b + с + d = 1000 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1000. Найдите количество возможных значений числа a.
ЕГЭ — 2014. Основная волна
2. Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что
а) Могут ли все числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?
в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.
Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
3. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
4. Коля множил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.
а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?
б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?
в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?
Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2014.
5. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?
б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?
ЕГЭ — 2017. Основная волна
6. Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
ЕГЭ — 2015. Основная волна
7. В каждой клетке квадратной таблицы 6х6 стоит натуральное число, меньшее 7. Вася в каждом столбце находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел. Петя в каждой строке находит наименьшее число и складывает шесть найденных чисел.
а) Может ли сумма у Пети получиться в два раза больше, чем сумма у Васи?
б) Может ли сумма у Пети получиться в шесть раз больше, чем сумма у Васи?
в) В какое наибольшее число раз сумма у Пети может быть больше, чем сумма у Васи?
Найти такие четыре натуральных числа (см) Как решить задачу?
Найти такие четыре натуральных числа что произведение любых трёх из них, сложенное с единицей, делится на четвёртое.
Обозначим наши четыре неизвестных как A,B,C,D.
Сразу очевидно, что чтобы выполнить условие одно число должно равняться 1.
Так как на единицу делится любое число. Пусть это число D=1.
BC+1=BK3, где К1,К2,К3 — это просто какие-то множители.
Так как произведение должно делиться на одно из имеющихся чисел, то оно должно быть кратно ему.
Значит, у нас одно из чисел должно быть кратно 2 и одно должно быть кратно 3.
Олимпиадные задачи. 10-й класс
Олимпиадные задачи для 10 класса
1. Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M=3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к кажой из остальных прибавить по нечетной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N? Найдите все возможные варианты.
2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и СС1. Окружность, описанная около треугольника ABC, пересекает прямую A1C1 в точках A’ и C’. Касательные к окружности, проведенные в точках A’ и C’, пересекаются в точке B’. Докажите, что прямая BB’ проходит через центр окружности.
3. Даны тре квадратных трехчлена P(x), Q(x), R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трехчлена R(x) в многочлен P(x)+Q(x) получаются равные значения. Аналогично, при подстановке корней трехчлена P(x) в многочлен Q(x)+R(x) получаются равные значения. Также при подстановке корней многочлена Q(x) в многочлен P(x)+R(x) получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трехчлена P(x), сумма корней трехчлена Q(x), сумма корней трехчлена R(x) равны между собой.
4. Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные множества A1, A2, A3,… так, чтобы при любом натуральном числе r сумма всех чисел, входящих в подмножество Ak, равнялось k+2013?
5. Тридцать девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих – водили хоровод вокруг новогодней елки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли ее соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно.
6. Натуральные числа a, b и c, где c>=2, таковы что 
. Докажите, что хотя бы одно из двух чисел a+c, b+c – составное.
7. На окружности длины 2013 отмечены 2013 точек, делящих ее на равные части. В каждой отмеченной точке стоит фишка. Назовем расстоянием между двумя точками длину меньшей дуги между этими точками. При каком наибольшем n можно переставить фишки так, чтобы снова в каждой отмеченной точке было по фишке, а расстояние между любыми двумя фишками, изначально удаленными не более, чем на n, увеличилось?
Найти все четверки натуральных чисел a, b, c и d такие , что все числа больше 1 и выполняется система?
Найти все четверки натуральных чисел a, b, c и d такие , что все числа больше 1 и выполняется система.
В ответ укажите наибольшее из произведений a•b•c•d, умноженное на количество возможных четвёрок.
Во — первых, заменим a ^ 2 и b ^ 2 соответственно на x и y, чтобы было проще.
Но помним, что x и y — квадраты, то есть должно быть : x > = 0 ; y > = 0.
Тогда для любого решения a = √x ; b = √y, потому что а и b — натуральные.
Сложим 1 и 3 уравнения, а также 2 и 4 уравнения
Получаем три варианта :
Решений нет, потому что сумма двух квадратов не может равняться 3.
По теореме Виета числа c и d являются корнями уравнения
c1 = 2, d1 = 4 ; c2 = 4, d2 = 2
a1 = √(x1) = √25 = 5 ; a2 = √(x2) = √36 = 6
b1 = √(y1) = √36 = 6 ; b2 = √(y2) = √25 = 5
Итак, получили такие решения :
(a ; b ; c ; d) = (5 ; 6 ; 2 ; 4) ; (5 ; 6 ; 4 ; 2) ; (6 ; 5 ; 2 ; 4) ; (6 ; 5 ; 4 ; 2)
Решений нет, из 3 уравнения c = d = 1, не подходит ко 2 уравнению.
И число 183 не равно сумме двух квадратов.
Итоговое решение : (a ; b ; c ; d) = (5 ; 6 ; 2 ; 4) ; (5 ; 6 ; 4 ; 2) ; (6 ; 5 ; 2 ; 4) ; (6 ; 5 ; 4 ; 2)
Произведения a * b * c * d = 6 * 5 * 2 * 4 = 30 * 8 = 240 все одинаковые, здесь нет наибольшего ; количество четверок равно 4.
Ответ : 240 * 4 = 960.
Найдите неизвестные цифры A и B пятизначного числа <71A1B>, которое делится на 45?
Найдите неизвестные цифры A и B пятизначного числа <71A1B>, которое делится на 45.
Из всех таких чисел в ответе укажите такое, у которого произведение цифр наибольшее.
Найдите все натуральные числа N, такие, что остаток от деления 2017 на N равен 17?
Найдите все натуральные числа N, такие, что остаток от деления 2017 на N равен 17.
В ответе укажите количество таких N.
(Только ответ сколько таких чисел).
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа?
К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа.
Полученное число оказалось равным Кубу суммы трёх исходных чисел.
Найдите все возможные тройки исходных чисел, в ответе укажите их количество.
Найдите все натуральные числа N, такие, что остаток от деления 2017 на N равен 17?
Найдите все натуральные числа N, такие, что остаток от деления 2017 на N равен 17.
В ответе укажите количество таких N.
Сумма 1928 натуральных чисел равна 2016, а произведение — 1001?
Сумма 1928 натуральных чисел равна 2016, а произведение — 1001.
Найдите эти числа.
В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из этих чисел.
Укажите два таких натуральных числа наибольшее общий делитель которых равен 2?
Укажите два таких натуральных числа наибольшее общий делитель которых равен 2.
Артём загадал Кириллу загадку : найди два последовательных натуральных числа, произведение которых в 3 раза больше, чем их сумма?
Артём загадал Кириллу загадку : найди два последовательных натуральных числа, произведение которых в 3 раза больше, чем их сумма.
Помогите Кириллу найти эти числа.
В ответе укажите большее из чисел.
Если таких чисел нет, то укажите 0.
На сколько произведение наибольшего трехзначного и наибольшего двухзначного числа меньше 100000?
На сколько произведение наибольшего трехзначного и наибольшего двухзначного числа меньше 100000?
Выполни умножение, изпользуя произведение чисел 1000 * 99.
Укажите наименьшее и наибольшее пятизначное числа, которые можно записать с помощью двух четвёрок и трёх нулей?
Укажите наименьшее и наибольшее пятизначное числа, которые можно записать с помощью двух четвёрок и трёх нулей.
Найдите наименьшее из натуральных чисел при умножении которого на 2 получается квадрат, а при умножении на 3 куб натурального числа?
Найдите наименьшее из натуральных чисел при умножении которого на 2 получается квадрат, а при умножении на 3 куб натурального числа.
Ответ обоснуйте, пожалуйста.
На этой странице находится вопрос Найти все четверки натуральных чисел a, b, c и d такие , что все числа больше 1 и выполняется система?. Здесь же – ответы на него, и похожие вопросы в категории Математика, которые можно найти с помощью простой в использовании поисковой системы. Уровень сложности вопроса соответствует уровню подготовки учащихся 1 — 4 классов. В комментариях, оставленных ниже, ознакомьтесь с вариантами ответов посетителей страницы. С ними можно обсудить тему вопроса в режиме on-line. Если ни один из предложенных ответов не устраивает, сформулируйте новый вопрос в поисковой строке, расположенной вверху, и нажмите кнопку.