Как определить траекторию движения электрона в магнитном поле

Движение электронов в электрическом и магнитном полях

Если два плоских, параллельно расположенных электрода поместить в вакуум и подключить к источнику электродвижущей силы, то в пространстве между электродами образуется электрическое поле, силовые линии которого будут прямолинейны, параллельны друг другу и перпендикулярны к поверхностям обоих электродов.

На рис. 1 буквой а обозначен электрод, подключенный к «+» батареи Е Б , а буквой к — электрод, подключенный к «—» батареи Е Б . Если в такое электрическое поле поместить заряд —е, не меняющий конфигурации поля, то на этот заряд будет действовать сила F, равная произведению напряженности поля Е на величину заряда —е:

Знак минус свидетельствует о том, что сила F, действующая на отрицательный заряд —е, и напряженность поля Е имеют противоположные направления. Для однородного электрического поля произведение напряженности Е на расстояние между электродами h равно приложенной разности потенциалов между электронами:

и U к и U а — потенциалы электродов к и а.

Сила F, действующая на электрон, помещенный в ускоряющее однородное электрическое поле, с учетом формулы (1) будет определяться выражением

Рис. 1. Движение электрона в однородном электрическом поле.

Работа, совершаемая полем при перемещении электрона от одного электрода к другому, соответственно будет равна

А = Fh = e(U а — U к ). (3)

Электрон приобретает кинетическую энергию и будет двигаться от электрода к к электроду а равномерно ускоренно. Скорость υ, с которой электрон достигает электрода а, может быть определена из равенства

где m — масса электрона; υ а — скорость электрона у электрода а; υ к — скорость электрона у электрода к (начальная скорость).

Если пренебречь начальной скоростью электрона, то формула (4) может быть упрощена: заменив отношение заряда электрона к его массе числовым значением и выражая потенциалы в вольтах, а скорость в м/сек, получаем

Время пролета электроном расстояния h между электродами определяется формулой

где υ ср =υ а -υ к /2 — средняя скорость электрона.

Если электрон будет двигаться в направлении, совпадающем с направлением вектора напряженности электрического поля Е, то направление перемещения окажется противоположным силе, действующей на электрон, и он будет расходовать ранее приобретенную кинетическую энергию. Таким образом, двигаться навстречу действия поля электрон сможет лишь при условии, если он обладает некоторой начальной скоростью, т. е. некоторым запасом кинетической энергии.

При этом движение электрона будет равномерно замедленным (тормозящее электрическое поле) и, когда запас кинетической энергии электрона полностью израсходуется (т. е. кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную), электрон остановится и начнет равномерно ускоренно перемещаться в направлении действия силы F ( рис. 2 ).

Рис. 2. Движение электрона в однородном электрическом поле с начальной скоростью.

Практически однородное электрическое поле в электровакуумных приборах встречается крайне редко. В неоднородном поле напряженность изменяется от точки к точке как по величине, так и по направлению. Поэтому и сила, действующая на электрон, тоже меняется как по величине, так и по направлению.

В электровакуумных приборах, наряду с электрическим полем, для воздействия на движение электронов используется также магнитное поле. Если электрон находится в состоянии покоя или если он движется параллельно силовой линии магнитного поля, то на него никакая сила не действует. Поэтому при определении взаимодействия движущегося электрона и магнитного поля следует учитывать только составляющую скорости, перпендикулярную силовым линиям магнитного поля.

Сила F, действующая на электрон, всегда перпендикулярна вектору напряженности магнитного поля тору скорости электрона ( рис. 3 ).

Рис. 3. Движение электрона в магнитном поле.

Направление силы F можно определять по «правилу буравчика»: если ручку буравчика вращать в направлении от вектора Н к вектору скорости электрона υ по кратчайшему угловому направлению, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением силы F. Так как действие силы F всегда перпендикулярно направлению движения электрона, то эта сила не может совершать работы и влияет лишь на направление его движения. Кинетическая энергия электрона остается прежней, он движется с постоянной скоростью. Величина силы F определяется по формуле

где е — заряд электрона; Н — напряженность магнитного поля; υ п — составляющая скорости электрона, перпендикулярная полю Н. Сила F сообщает электрону значительное центростремительное ускорение, изменяя при этом траекторию его движения. Радиус кривизны траектории электрона определяют по формуле

где Н — в эрстедах; υ п — в вольтах; r — в сантиметрах.

Изменяя напряженность магнитного поля, можно менять радиус траектории электрона. Если электрон имеет также и составляющую скорости вдоль силовых линий магнитного поля, то траектория электрона будет винтовой с постоянным шагом.

Часто электрон движется в пространстве, в котором одновременно имеются электрическое и магнитное поля. При этом, в зависимости от величины и направления начальной скорости электрона, а также от напряженности электрического и магнитного полей, траектория электрона будет иметь различную форму.

В качестве примера рассмотрим движение электрона без начальной скорости во взаимно перпендикулярных однородных электрическом и магнитном полях ( рис. 4 ).

На электрон, помещенный в точку А, действует электрическое поле, и он начинает двигаться против направления вектора напряженности электрического поля.

Рис. 4. Движение электрона во взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях.

Как только у электрона проявляется какая-то скорость, возникает поперечная отклоняющая сила F, и чем больше будет скорость электрона с, которую он приобретает за счет взаимодействия с электрическим полем, тем больше становится сила F. В точке В движение электрона происходит перпендикулярно силовым линиям электрического поля. В этой точке электрон обладает наибольшей скоростью, а следовательно, и максимальной кинетической энергией.

Дальнейшее движение электрона происходит под действием магнитного и ставшего для него тормозящим электрического поля. В точке С вся кинетическая энергия, запасенная электроном ранее, будет израсходована на преодоление тормозящего электрического поля. Потенциал точки С равен потенциалу точки А. Электрон, описав циклоидную траекторию, возвращается на прежний потенциальный уровень.

Физика. 10 класс

§ 30. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Поскольку электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц, то это означает, что магнитное поле, действуя на проводник с током, действует тем самым на каждую из этих частиц. Таким образом, силу Ампера можно рассматривать как результат сложения сил, действующих на отдельные движущиеся заряженные частицы. Как можно определить силу, действующую со стороны магнитного поля на заряженную частицу, движущуюся в этом поле?

Сила Лоренца. Силу, которой магнитное поле действует на заряженную частицу, движущуюся в этом поле, называют силой Лоренца в честь выдающегося нидерландского физика Хендрика Антона Лоренца ( 1853–1928 ).

Модуль силы Лоренца можно определить по формуле , где N — общее число свободных заряженных одинаковых частиц на прямолинейном участке проводника длиной Δl ( рис. 167 ). Если модуль заряда одной частицы q, а модуль суммарного заряда всех частиц Nq, то согласно определению силы тока , где Δt — промежуток времени, за который заряженная частица проходит участок проводника длиной Δl. Тогда

Поскольку – модуль средней скорости упорядоченного движения заряженной частицы в стационарном * электрическом поле внутри проводника, то формулу для определения модуля силы Лоренца можно записать в виде:

где α — угол между направлениями индукции магнитного поля и скорости упорядоченного движения заряженной частицы.

Из формулы (30.1) следует, что сила Лоренца максимальна в случае, когда заряженная частица движется перпендикулярно направлению индукции магнитного поля (α = 90°). Когда частица движется вдоль линии индукции поля (α = 0° или α = 180°), сила Лоренца на неё не действует. Сила Лоренца зависит от выбора инерциальной системы отсчёта, так как в разных системах отсчёта скорость движения заряженной частицы может отличаться.

Направление силы Лоренца, действующей на заряженную частицу, как и направление силы Ампера, определяют по правилу левой руки (рис. 168): если левую руку расположить так, чтобы составляющая индукции магнитного поля, перпендикулярная скорости движения частицы, входила в ладонь, а четыре пальца были направлены по движению положительно заряженной частицы (против движения отрицательно заряженной частицы), то отогнутый на 90° в плоскости ладони большой палец укажет направление действующей на частицу силы Лоренца.

Сила Лоренца перпендикулярна как направлению скорости движения частицы, так и направлению индукции магнитного поля.

На рисунке 169 представлены направления индукции магнитного поля, скорости движения частицы в данный момент времени и силы Лоренца , действующей на частицу со стороны магнитного поля. Определите знак заряда частицы.

* Электрическое поле, создаваемое и поддерживаемое источником тока в течение длительного промежутка времени и обеспечивающее постоянный электрический ток в проводнике, называют стационарным электрическим полем. ↑

«Комплекс (Хеопс-Хефрен-Микерин)»=»Атом водорода»2

С момента введения понятия «электрон» в физике появился вопрос «Каковы размеры электрона или его надо считать точечным?». В зависимости от решаемых задач пользовались или тем, или другим понятием. Одновременно возникла и проблема определения понятий «электрон» и «Что принимать за размеры электрона?».

(Для египтологов, лингвистов, физиков, математиков: есть небольшая вероятность обнаружения записи в Комплексе пирамид, чем-то похожей на формулу α 2 c = v , где v — скорость электрона в магнитном поле протона, α — постоянная тонкой структуры, c — скорость света).

Точечный электрон [ ]

Ранее мы выяснили, что электрон в электрическом поле в атоме водорода с n = 1 движется по первой боровской орбите с

Введем две системы координат. Система XOY: центр масс. (ЦМ) протон-электрон совпадает с точкой O . Система X’O’Y’: электрон в точке O’ .

Взаимодействие электрона с протоном

На рисунке r₀ = OO’ — радиус первой боровской орбиты, r_p = (m_e/m_p)r₀ — радиус орбиты протона.

В квантовании атома по Бору центр масс совпадает с протоном и поэтому протон покоится. Следовательно, такой протон не создает магнитного поля — вокруг него есть только электрическое поле. Это электрическое поле заставляет двигаться по орбите электрон и отсюда получаются значения r₀, v₀, T₀ и т.д.

В идеальном же случае это не так. Протон и электрон совершают движения вокруг центра масс (= окружности. Точно также можно говорить и о движении (вращении) протона вокруг электрона и электрона — вокруг протона. Это зависит от рассматриваемых систем отсчета.

В случае взаимодействия протона с электроном обязательно появляются 3 несовпадающие точки — центр протона, центр электрона и центр масс. Следствием этого является существование в окружающем пространстве двух полей — электрического и магнитного полей. Следовательно, электрон, двигающийся по орбите вокруг протона, всегда находится под влиянием (= действием) электрического и магнитного полей.

Итак, протон двигается относительно электрона по круговой орбите с ( r₀ + r_p ). Этим движением создается круговой протонный ток, который, в свою очередь, создает магнитное поле в области, где расположен электрон (точнее — вектор магнитной индукции B_p ):

где μ₀ — магнитная постоянная, I_p — тока сила тока (протонный ток), обусловленная движением протона вокруг электрона. Сила тока I_p может быть выражена через заряд протона e и период T_p обращения протона вокруг электрона:

Период обращения протона T_p вокруг электрона равен периоду обращения электрона T_e вокруг протона:

где v₀ — скорость электрона на первой боровской орбите. Тогда

Так как в этой формуле правая часть = const , то движение электрона происходит в постоянном магнитном поле, т.е. по окружности. Следовательно, на движение электрона в электрическом поле протона по орбите с r₀ накладывается действие магнитного поля протона. Это наложение магнитного поля приводит к появлению дополнительной скорости электрона — скорости электрона относительно магнитного поля протона ( v ). Тогда применяем условие для электрона:

где F_л — сила Лоренца, действующая на электрон. Далее получаем

где v — скорость электрона относительно магнитного поля на первой боровской орбите, m — масса электрона. Делая вместо B_p подстановку, имеем:

После преобразований получаем:

v 2 = α 2 v₀ 2 или v = αv₀ = α 2 c.

v_м = v = αv₀ = α 2 c ≈ 16 км/с.

Значит, наличие магнитного поля протона ведет к появлению дополнительной скорости v_м для электрона — α 2 c — на первой боровской орбите .

Надпись над Истинным Входом в пирамиду Хеопса.Сайт http://ru.wikipedia.org/wiki/

Для анализа

Найдем дополнительный путь электрона L_м при движении в магнитном поле движущегося протона за время T₀ полного оборота электрона по первой боровской орбите:

Массу электрона выразим из формулы для первого боровского радиуса:

Пройденный путь в магнитном поле во много раз меньше пройденного пути в электрическом поле, т.к. α — малая величина:

Смещение электрона в атоме водорода

Значит, при наличии только электрического поля протона электрон делает полный оборот вокруг протона: L₀ = 2 π r₀ . Но в действительности на электрон действует еще и магнитное поле протона (учет центра масс). Поэтому электрон оказывается не в точке А , а попадает в точку В по какой-то траектории. Если бы электрон двигался по эллиптической орбите, то это можно было бы рассматривать как смещение периядра (ближайшая точка эллиптической электронной орбиты к ядру в атоме водорода) электрона. (В общей теории относительности в уравнении для смещения перигелия планеты δφ существует и при эксцентриситете орбиты e = 0 ).

Протяженный электрон [ ]

Предположим, что точечный электрон (= элементарный электрический заряд) при движении по первой боровской орбите в электрическом поле протона со скоростью v₀ = αc (радиус r₀ ) и с дополнительной скоростью v_м = α 2 c , обусловленную наличием магнитного поля протона ( O₂O₃ = R — смещение электрона), совершает круговое движение вокруг O₃ (радиус l ). Масштаб расстояний не соблюден.

Предполагая также, что за процессы, происходящие внутри орбиты радиуса l ответственно слабое взаимодействие и, принимая во внимание установленную взаимосвязь электромагнитных и слабых взаимодействий, можно считать: вращение точечного электрона вокруг O₃ происходит под действием слабых сил или ≈ магнитных сил.

Магнитная индукция, созданная протоном в O₃ :

Магнитная индукция, созданная точечным электроном в O₃ :

где v — скорость движения точечного электрона в магнитном поле по орбите радиуса l . Тогда

(без учета знаков B’ и B₁ , т.к. необходимо находить l ). Учитывая

ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Во всех электронных и ионных приборах электронные потоки в вакууме или газе, находящемся под тем или иным давлением, подвергаются воздействию электрического поля. Взаимодействие движущихся электронов с электрическим .полем является основным процессом в электронных и ионных приборах. Рассмотрим движение электрона в электрическом поле.

На рис.1 а, изображено электрическое поле в вакууме между двумя плоскими электродами. Они могут представлять собой катод и анод диода или любые два соседних электрода многоэлектродного прибора. Представим себе, что из электрода, имеющего более низкий потенциал, например из жатода, вылетает электрон с некоторой начальной скоростью Vo. Поле действует на электрон с силой F и ускоряет его движение к электроду, имеющему более высокий положительный потенциал, например к аноду. Иначе говоря, электрон притягивается к электроду с более высоким положительным потенциалом. Поэтому поле в данном случае называют ускоряющим. Двигаясь ускоренно, электрон приобретает наибольшую скорость в конце своего пути, т. е. при ударе об электрод, к которому он летит. В момент удара кинетическая энергия электрона также будет наибольшей. Таким образом, при движении электрона в ускоряющем поле происходит увеличение кинетической энергии электрона за счет того, что поле совершает работу по перемещению электрона. Электрон всегда отнимает энергию от ускоряющего поля.

Скорость, приобретаемая электроном при движении в ускоряющем поле, зависит исключительно от пройденной разности потенциалов U и определяется формулой

Удобно скорости электронов выражать условно в вольтах. Например, скорость электрона 10 в, означает такую скорость, которую электрон приобретает в результате движения в ускоряющем поле с разностью потенциалов 10 в. Из приведенной формулы легко найти, что при U — 100 в скорость V

6 000 км/сек. При таких больших скоростях время пролета электрона в пространстве между электродами получается весьма малым, порядка 10 в минус 8 — 10 в минус 10 сек.

Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость Vo направлена против силы F, действующей на электрон со стороны поля (рис.1 б). В этом случае электрон вылетает с некоторой начальной скоростью из электрода с более высоким положительным потенциалом. Та,к как сила F направлена навстречу скорости Vo, то получается торможение электрона и поле называют тормозящим. Следовательно, одно и то же поле для одних электронов является ускоряющим, а для других— тормозящим, в зависимости от направления начальной скорости электрона.

Кинетическая энергия электронов, движущихся в тормозящем поле, уменьшается, так как работа совершается не силами поля, а самим электроном, который .преодолевает сопротивление сил поля. Энергия, теряемая электроном, переходит к полю. Таким образом, в тормозящем поле электрон всегда отдает энергию полю.