Нарисуйте полный граф в котором 4 вершины

Нарисуйте полный граф в котором 4 вершины

Добрейшего времени суток, уважаемые!

Под термином "оптимальная" будем понимать, например min(X*((N*N)!)+sum(Li)), где X — количество пересечений ребер графа на рисунке, N — количество вершин графа, Li — длину i-того ребра (в чем угодно, сантиметрах, пикселях, не важно).

Ну а теперь, собственно, описание проблемы. Не секрет, что один и тот же граф, при достаточном количестве вершин, можно так отрисовать, что получится "клубок" в котором, ориентироваться будет сложно. С другой стороны, если "развернуть" и пререразместить расположения вершин — можем получить более простое и наглядное представление одного и того же графа. В котором более очевидно будет наличие возможных суб-структур (типа петель, петель-петель).

Какие есть мысли по сабжу? Может есть уже какие-то готовые решения?

PS. Поинмаю, формула "оптимальности" от балды. Хотелось просто показать, что наиболее важный критерий — уменьшение количества пересечений ребер.

Создание графа

Созданный граф можно сохранить в форматах docx и png (меню Действия ). Далее можно найти характеристики графа (матрица смежности, матрица инциденций, матрица расстояний).

Граф состояний кредитной карты

Здесь объектом анализа выступает такой банковский продукт как кредитная карта K . На графе состояний операций по кредитной карте отмечены следующие события: начисления процентов на остаток счета ( P — петля), покупка П на сумму S , возврат CashBack в виде бонусных баллов на счет карты.

Сетевой график получения кредитной истории

1 — устройство на работу с трудовой книжкой; 2 , 3 — получение кредитной карты с минимальным кредитным лимитом. Некоторые банки выдают кредиты уже после 3 -х месячного трудового стажа, другие банки устанавливают этот срок от 1 года; 4 , 5 — продвинутый уровень , получение кредитных карт с большим cashback-ом; 6 — хорошая кредитная история, полученная с выгодой от использования кредитных карт.

Схема транспортной сети

На схеме показаны взаимное расположение пунктов, длинны звеньев, потребность грузов в развозочной системе.

Задача календарного планирования с заданной технологией

Здесь показан пример ориентированного графа

Схема канала распределения

Товар после изготовления поступает в оптовую продажу, далее доходит либо до потребителя, либо следует в розничную продажу, а затем уже к потребителю. По данной схеме работают и продуктовые рынки.

Еще один пример построения схемы классификации аннуитетных платежей можно посмотреть здесь.

Видеоинструкция

Инструкция к сервису по рисованию графа

Основные определения

Ребра графа – линии, соединяющие вершины. Чтобы соединить вершины, необходимо выбрать одну или две из них. Каждое ребро графа имеет собственные свойства: цвет и толщина линии, значение (отображается поверх ребра).

Ребро графа называется неориентированным, если порядок расположения его концов (направление стрелок) в графе не принимается во внимание. Ребро графа называется ориентированным, если этот порядок существенен. Ориентированное ребро называют также дугой графа. Две вершины, соединённые дугой или ребром называются смежными. Для задания дуги необходимо при соединении вершин отметить пункт концевой маркер → . Для изменения типа дуги необходимо выделить ее левой кнопки мыши и нажать на кнопку Свойства .

С каждым ребром можно связать число или символ — вес ребра. Для задачи коммивояжера это может быть расстояние между городами, а для транспортной сети — стоимость проезда. Такой граф называется взвешенным.

Для каждого графа G(Х) существует обратный граф G -1 (Х) , полученный изменением ориентации каждого из ребер графа G(Х) на противоположную.

Петлей называется ребро g(x_i,x_i) , у которого начальная и конечная вершины совпадают. Петля обычно считается неориентированной. Для создания петли необходимо выделить только одну вершину и нажать на кнопку Соединить .

Теория графов. Основные понятия и виды графов

Многое из нашей повседневной жизни можно смоделировать при помощи графов. Например, нарисовать для маршрута автобуса схему: отметить точками остановки, а линиями — куда едет автобус. Сейчас расскажем все про теорию графов.

24 декабря 2020

· Обновлено 19 декабря 2022

Теория графов

В переводе с греческого граф — «пишу», «описываю». В современном мире граф описывает отношения. И наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.

Теория графов — обширный раздел дискретной математики, в котором системно изучают свойства графов.

Теория графов широко применяется в решении экономических и управленческих задач, в программировании, химии, конструировании и изучении электрических цепей, коммуникации, психологии, социологии, лингвистике и в других областях.

Для чего строят графы: чтобы отобразить отношения на множествах. По сути, графы помогают визуально представить всяческие сложные взаимодействия: аэропорты и рейсы между ними, разные отделы в компании, молекулы в веществе.

Давайте на примере.

Пусть множество A = — это множество людей, и каждый элемент отображен в виде точки. Множество B = — множество связок (прямых, дуг или отрезков).

На множестве A зададим отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой.

Число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, некоторые могут вовсе не быть знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с какой другой). Так получился граф:

В данном случае точки — это вершины графа, а связки — рёбра графа.

Теория графов не учитывает конкретную природу множеств A и B. Существует большое количество разных задач, при решении которых можно временно забыть о содержании множеств и их элементов. Эта специфика не отражается на ходе решения задачи.

Например, вопрос в задаче стоит так: можно ли из точки A добраться до точки E, если двигаться только по соединяющим точки линиям. Когда задача решена, мы получаем решение, верное для любого содержания, которое можно смоделировать в виде графа.

Не удивительно, что теория графов — один из самых востребованных инструментов при создании искусственного интеллекта: ведь искусственный интеллект может обсудить с человеком вопросы отношений, географии или музыки, решения различных задач.

Графом называется система объектов произвольной природы (вершин) и связок (ребер), соединяющих некоторые пары этих объектов.

Пусть V — (непустое) множество вершин, элементы v ∈ V — вершины. Граф G = G(V) с множеством вершин V есть некоторое семейство пар вида: e = (a, b), где a, b ∈ V, указывающих, какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара e = (a, b) — ребро графа. Множество U — множество ребер e графа. Вершины a и b — концевые точки ребра e.

Широкое применение теории графов в компьютерных науках и информационных технологиях можно объяснить понятием графа как структуры данных. В компьютерных науках и информационных технологиях граф можно описать, как нелинейную структуру данных.

Линейные структуры данных особенны тем, что связывают элементы отношениями по типу «простого соседства». Линейными структурами данных можно назвать массивы, таблицы, списки, очереди, стеки, строки. В нелинейных структурах данных элементы располагаются на различных уровнях иерархии и подразделяются на три вида: исходные, порожденные и подобные.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Основные понятия теории графов

Граф — это геометрическая фигура, которая состоит из точек и линий, которые их соединяют. Точки называют вершинами графа, а линии — ребрами.

• Два ребра называются смежными, если у них есть общая вершина.
• Два ребра называются кратными, если они соединяют одну и ту же пару вершин.
• Ребро называется петлей, если его концы совпадают.
• Степенью вершины называют количество ребер, для которых она является концевой (при этом петли считают дважды).
• Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра.
• Вершина называется висячей, если из неё выходит ровно одно ребро.
• Граф без кратных ребер и петель называется обыкновенным.

Лемма о рукопожатиях

В любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер.

Доказательство леммы о рукопожатиях

Если ребро соединяет две различные вершины графа, то при подсчете суммы степеней вершин мы учтем это ребро дважды.

Если же ребро является петлей — при подсчете суммы степеней вершин мы также учтем его дважды (по определению степени вершины).

Из леммы о рукопожатиях следует: в любом графе число вершин нечетной степени — четно.

Пример 1. В классе 30 человек. Может ли быть так, что у 9 из них есть 3 друга в этом классе, у 11 — 4 друга, а у 10 — 5 друзей? Учесть, что дружбы взаимные.

Если бы это было возможно, то можно было бы нарисовать граф с 30 вершинами, 9 из которых имели бы степень 3, 11 — со степенью 4, 10 — со степенью 5. Однако у такого графа 19 нечетных вершин, что противоречит следствию из леммы о рукопожатиях.

Пример 2. Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими. Доказать, что среди них найдутся четверо ребят с одинаковым числом знакомых.

Сначала предположим противоположное. Тогда для каждого числа от 68 до 101 есть не более трех человек с таким числом знакомых. С другой стороны, у нас есть ровно 34 натуральных числа, начиная с 68 и заканчивая 101, а 102 = 34 * 3.

Это значит, что для каждого числа от 68 до 101 есть ровно три человека, имеющих такое число знакомых. Но тогда количество людей, имеющих нечетное число знакомых, нечетно. Противоречие.

Путь и цепь в графе

Путем или цепью в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают.

Путь или цикл называют простым, если ребра в нем не повторяются.

Если в графе любые две вершины соединены путем, то такой граф называется связным.

Можно рассмотреть такое подмножество вершин графа, что каждые две вершины этого подмножества соединены путем, а никакая другая вершина не соединена ни с какой вершиной этого подмножества.

Каждое такое подмножество, вместе со всеми ребрами исходного графа, соединяющими вершины этого подмножества, называется компонентой связности.

Один и тот же граф можно нарисовать разными способами. Вот, например, два изображения одного и того же графа, которые различаются кривизной:

Два графа называются изоморфными, если у них поровну вершин. При этом вершины каждого графа можно занумеровать числами так, чтобы вершины первого графа были соединены ребром тогда и только тогда, когда соединены ребром соответствующие занумерованные теми же числами вершины второго графа.

Граф H, множество вершин V’ которого является подмножеством вершин V данного графа G и множество рёбер которого является подмножеством рёбер графа G соединяющими вершины из V’ называется подграфом графа G.

Визуализация графовых моделей

Визуализация — это процесс преобразования больших и сложных видов абстрактной информации в интуитивно-понятную визуальную форму. Другими словами, когда мы рисуем то, что нам непонятно — и сразу все встает на свои места.

Графы — и есть помощники в этом деле. Они помогают представить любую информацию, которую можно промоделировать в виде объектов и связей между ними.

Граф можно нарисовать на плоскости или в трехмерном пространстве. Его можно изобразить целиком, частично или иерархически.

Изобразительное соглашение — одно из основных правил, которому должно удовлетворять изображение графа, чтобы быть допустимым. Например, при изображении блок-схемы программы можно использовать соглашение о том, что все вершины должны изображаться прямоугольниками, а дуги — ломаными линиями с вертикальными и горизонтальными звеньями. При этом, конкретный вид соглашения может быть достаточно сложен и включать много деталей.

Виды изобразительных соглашений:

• полилинейное изображение — каждое ребро графа рисуют в виде ломаной линии
• прямолинейное изображение — каждое ребро представляют с помощью отрезка прямой
• ортогональное изображение — каждое ребро графа изображается в виде ломаной линии, состоящей из чередующихся горизонтальных и вертикальных сегментов
• сетчатое изображение — все вершины, а также все точки пересечения и сгибы ребер имеют целочисленные координаты. То есть находятся в узлах координатной сетки, образованной прямыми, параллельными координатным осям и пересекающими их в точках с целочисленными координатами
• плоское изображение предполагает отсутствие точек пересечения у линий, изображающих ребра.
• восходящее или нисходящее изображение имеет смысл по отношению к ациклическому орграфу и предполагает, что каждая дуга изображается ориентированной линией, координаты точек которой монотонно изменяются в направлении снизу вверх или сверху вниз, а также слева направо.

Виды графов

Виды графов можно определять по тому, как их построили или по свойствам вершин или ребер.

Ориентированные и неориентированные графы

Графы, в которых все ребра являются звеньями, то есть порядок двух концов ребра графа не существенен, называются неориентированными.

Графы, в которых все ребра являются дугами, то есть порядок двух концов ребра графа существенен, называются ориентированными графами или орграфами.

Неориентированный граф можно представить в виде ориентированного графа, если каждое его звено заменить на две дуги с противоположным направлением.

Графы с петлями, смешанные графы, пустые графы, мультиграфы, обыкновенные графы, полные графы

Если граф содержит петли — это обстоятельство важно озвучивать и добавлять к основной характеристике графа уточнение «с петлями». Если граф не содержит петель, то добавляют «без петель».

Смешанным называют граф, в котором есть ребра хотя бы двух из упомянутых трех разновидностей (звенья, дуги, петли).

Пустой граф — это тот, что состоит только из голых вершин.

Мультиграфом — такой граф, в котором пары вершин соединены более, чем одним ребром. То есть есть кратные рёбра, но нет петель.

Граф без дуг, то есть неориентированный, без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Граф называют полным, если он содержит все возможные для этого типа рёбра при неизменном множестве вершин. Так, в полном обыкновенном графе каждая пара различных вершин соединена ровно одним звеном.

Двудольный граф

Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на два подмножества так, чтобы никакое ребро не соединяло вершины одного и того же подмножества.

Например, полный двудольный граф состоит из двух множеств вершин и из всевозможных звеньев, которые соединяют вершины одного множества с вершинами другого множества.

Эйлеров граф

Эйлеров граф отличен тем, что в нем можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер.

Пример. Является ли полный граф с одинаковым числом n рёбер, которым инцидентна каждая вершина, эйлеровым графом?

Ответ. Если n — нечётное число, то каждая вершина инцидентна n — 1 ребрам. В таком случае наш граф — эйлеровый.

Регулярный граф

Регулярным графом называется связный граф, все вершины которого имеют одинаковую степень k.

Число вершин регулярного графа k-й степени не может быть меньше k + 1. У регулярного графа нечётной степени может быть лишь чётное число вершин.

Пример. Построить регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 4.

Чтобы длина цикла соответствовала заданному условию, нужно чтобы число вершин графа было кратно четырем. Если число вершин равно четырём — получится регулярный граф, в котором самый короткий цикл имеет длину 3.

Увеличим число вершин до восьми (следующее кратное четырем число). Соединим вершины ребрами так, чтобы степени вершин были равны трём. Получаем следующий граф, удовлетворяющий условиям задачи:

Гамильтонов граф

Гамильтоновым графом называется граф, содержащий гамильтонов цикл.

Гамильтоновым циклом называется простой цикл, который проходит через все вершины рассматриваемого графа.

Говоря проще, гамильтонов граф — это такой граф, в котором можно обойти все вершины, и каждая вершина при обходе повторяется лишь один раз.

Взвешенный граф

Взвешенным графом называется граф, вершинам и/или ребрам которого присвоены «весы» — обычно некоторые числа. Пример взвешенного графа — транспортная сеть, в которой ребрам присвоены весы: они показывают стоимость перевозки груза по ребру и пропускные способности дуг.

Графы-деревья

Деревом называется связный граф без циклов. Любые две вершины дерева соединены лишь одним маршрутом.

Число q ребер графа находится из соотношения q = n — 1, где n — число вершин дерева.

Приведенное соотношение выражает критическое значение числа рёбер дерева, так как, если мы присоединим к дереву ещё одно ребро — будет создан цикл. А если уберем одно ребро, то граф-дерево разделится на две компоненты. Граф, состоящий из компонент дерева, называется лесом.

Определение дерева

Деревом называется связный граф, который не содержит циклов.

Таким образом, в дереве невозможно вернуться в исходную вершину, перемещаясь по ребрам и не проходя по одному ребру два или более раз.

Циклом называется замкнутый путь, который не проходит дважды через одну и ту же вершину.

Простым путем называется путь, в котором никакое ребро не встречается дважды.

Легко проверить, что дерево — это граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем. Если выкинуть любое ребро из дерева, то граф станет несвязным. Поэтому:

Дерево — минимальный по числу рёбер связный граф.

Висячей вершиной называется вершина, из которой выходит ровно одно ребро.

Определения дерева:

1. Деревом называется связный граф не содержащий простых циклов.
2. Деревом называется связный граф, содержащий n вершин и n — 1 ребро.
3. Деревом называется связный граф, который при удалении любого ребра перестает быть связным.
4. Деревом называется граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем.

Очень часто в дереве выделяется одна вершина, которая называется корнем дерева. Дерево с выделенным корнем называют корневым или подвешенным деревом. Пример: генеалогическое дерево.

Когда изображают деревья, то часто применяют дополнительные соглашения, эстетические критерии и ограничения.

Например, при соглашении включения (рис. 1) вершины корневого дерева изображают прямоугольниками, а соглашение — опрокидывания (рис. 2) подобно классическому соглашению нисходящего плоского изображения корневого дерева. Вот так могут выглядеть разные изображения одного дерева:

Теоремы дерева и их доказательства

В дереве с более чем одной вершиной есть висячая вершина.

Доказательство первой теоремы:

Пойдем из какой-нибудь вершины по ребрам. Так как в дереве нет циклов, то мы не вернемся в вершину, в которой уже побывали. Если у каждой вершины степень больше 1, то найдется ребро, по которому можно уйти из неё после того, как мы пришли в нее.

Но поскольку количество вершин в дереве конечно, когда-нибудь мы остановимся в некоторой вершине. Противоречие. Значит, когда-нибудь мы дойдём в висячую вершину. Если же начать идти из неё, то мы найдём вторую висячую вершину.

В дереве число вершин на 1 больше числа ребер.

Доказательство второй теоремы:

Докажем по индукции по количеству вершин в дереве n. Если в дерево одна вершина, то факт верен. Предположим, что для всех n < k мы доказали это факт. Найдём висячую вершину.

Граф, получающийся из исходного выкидыванием висячей вершины вместе с исходящим из нее ребром, очевидно, также является деревом — и в нём меньше на одну вершину и одно ребро. Значит для исходного графа также было верно доказываемое соотношение между количеством вершин и рёбер.

Верна и обратная теорема. Если в связном графе вершин на одну больше, чем ребер, то он является деревом.

Подграф называется остовным деревом, если он является деревом и множество его вершин совпадает с множеством вершин исходного графа.

У любого связного графа есть остовное дерево.

Доказательство третьей теоремы:

Чтобы найти остовное дерево графа G, можно найти цикл в графе G и выкинуть одно ребро цикла — потом повторить. И так пока в графе не останется циклов. Полученный граф будет связным, так как мы выкидывали рёбра, не нарушая связность, но в нём не будет циклов. Значит, он будет деревом.

Теория графов и современные прикладные задачи

На основе теории графов создали разные методы решения прикладных задач, в которых в виде графов можно моделировать сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные компоненты, а ребра отражают связи между компонентами.

Графы и задача о потоках

Система водопроводных труб в виде графа выглядит так:

Каждая дуга графа отображает трубу. Числа над дугами (весы) — пропускная способность труб. Узлы — места соединения труб. Вода течёт по трубам только в одном направлении. Узел S — источник воды, узел T — сток.

Задача: максимизировать объём воды, протекающей от источника к стоку.

Для решения задачи о потоках можно использовать метод Форда-Фалкерсона. Идея метода в том, чтобы найти максимальный поток по шагам.

Сначала предполагают, что поток равен нулю. На каждом последующем шаге значение потока увеличивается, для чего ищут дополняющий путь, по которому поступает дополнительный поток. Эти шаги повторяют до тех пор, пока существуют дополнительные пути.

Задачу успешно применяют в различных распределенных системах: система электроснабжения, коммуникационная сеть, система железных дорог.

Графы и сетевое планирование

В задачах планирования сложных процессов, где много разных параллельных и последовательных работ, часто используют взвешенные графы. Их еще называют сетью ПЕРТ (PERT).

PERT (Program (Project) Evaluation and Review Technique) — техника оценки и анализа программ (проектов), которую используют при управлении проектами.

Сеть ПЕРТ — взвешенный ациклический ориентированный граф, в котором каждая дуга представляет работу (действие, операцию), а вес дуги — время, которое нужно на ее выполнение.

Если в сети есть дуги (a, b) и (b, c), то работа, представленная дугой (a, b), должна быть завершена до начала выполнения работы, представленной дугой (b, c). Каждая вершина (vi) представляет момент времени, к которому должны быть завершены все работы, задаваемые дугами, оканчивающимися в вершине (vi).

• одна вершина, у которой нет предшественников, определяет время начала работы
• одна вершина без последователей соответствует моменту завершения комплекса работ.

Путь максимальной длины между этими вершинами графа называется критическим путем. Чтобы выполнить всю работу быстрее, нужно найти задачи на критическом пути и придумать, как их выполнить быстрее. Например, нанять больше людей, перепридумать процесс или ввести новые технологии.

Простейшие понятие о графах. Представления графов в памяти, классические алгоритмы.

Теория графов — раздел математики и информатики, нашедший широкое применение в современных прикладных задачах. В первую очередь, это задачи поиска маршрута на картах, но её применение не ограничивается навигационными приложениями. Графы возникают там, где между данными существуют какие-либо нелинейные связи. Например, это могут быть компьютеры, соединённые в сеть. Или же это могут быть задачи, которые надо выполнить в каком-то порядке, причём некоторые задачи надо выполнять строго после каких-то других. Существуют алгоритмы, позволяющие вычислить оптимальный порядок выполнения таких задач.

История возникновения теории графов

Леонард Эйлер и задача о Кёнигсберских мостах

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Издавна среди жителей Кёнигсберга (теперь Калининграда) была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

Для того, чтобы решить эту задачу, Эйлер сделал специальные обозначения. Каждую часть суши (остров или берег реки) он обозначил кружком на бумаге, а затем соединил линиями те кружки, между которыми существуют мосты. Такие обозначения подчеркивают, что в этой задаче фактическое расположение, форма, длина и другие свойства объектов не представляют интереса, важны только связи между ними. Такая картинка на бумаге или на экране компьютера называется графом. Кружки — это его вершины, а линии — рёбра. Размышляя над этой и другими картинками из кружков и линий, Эйлер пришел к следующим выводам о графах:

• Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно всегда быть чётно. То есть, просто не может существовать графа, который имел бы нечётное число нечётных вершин.
• Если все вершины графа чётные, то его можно начертить не отрывая карандаша от бумаги, при этом начинать можно с любой вершины графа и завершить его в ней же.
• Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (т.е. все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Проблема четырёх красок

Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Гутри в 1852 году.

Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Иначе говоря, показать что хроматическое число плоского графа не превосходит 4.

О доказательстве

К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Несмотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить, не используя компьютер. Поэтому некоторые математики отнеслись к этому доказательству с недоверием, что объяснялось не только использованием компьютера, но и громоздкостью описания алгоритма первых доказательств (741 страница), впоследствии были предложены более компактные алгоритмы и скорректирован ряд ошибок. Проблема четырех красок является одним из известнейших прецедентов неклассического доказательства в современной математике.

Определения теории графов

Граф — конечное множество вершин, природа которых не важна, и конечно множество рёбер, соединяющих между собой какие-либо вершины.

Графы могут быть ориентированными и неориентированными. Если в рамках задачи по рёбрам можно перемещаться в обоих направлениях, то граф называется неориентированным. Если же по каждому ребру можно пройти только в одну сторону, то граф ориентированный. В таком случае рёбра обычно обозначаются стрелками, а не просто линиями.

Пример ориентированного графа

Иногда бывает полезно связать с ребрами графа какие-то числа. Это могут быть длины дорог или плата за проезд, если граф моделирует карту какой-то местности. В таком случае граф называется взвешенным, а сами числа — весами.

Пример: граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным. Обозначение: K_n – граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n–угольник, в котором проведены все диагонали.

Ниже приведены полные графы с числом вершин от 1 до 8 и количества их рёбер.

K1 : 0	K2 : 1	K3 : 3	K4 : 6
K5 : 10	K6 : 15	K7 : 21	K8 : 28

Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина (число рёбер с концом в данной вершине).

Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.

Понятия плоского графа и грани графа применяется при решении задач на «правильное» раскрашивание различных карт.

Путем от вершины A до вершины X называется последовательность ребер, ведущая от A к X, такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

Циклом называется путь, в котором совпадают начальная и конечная точка (т.е. можно «ходить по циклу» — «ходить по кругу»).

Простым циклом называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.

Две вершины A и B в графе называются связными (несвязными), если в нем существует (не существует) путь, ведущий из A в B.

Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Специальным типом графов является дерево. В дереве выделяется особая вершина — корень, которая соединена рёбрами с другими вершинами — своими потомками, которые в свою очередь могут иметь своих потомков. Вершина, не имеющая потомков, называется листом. Наглядный пример дерева — иерархия файлов и папок в файловой системе компьютера или систематика живых организмов

Если не выделять особым образом корень, то дерево — это просто любой связный граф, не имеющий циклов

Представление графов в памяти

Чтобы решать задачи, связанные с графами, нужно сначала научиться сохранять его в памяти, а ещё лучше — сохранять оптимально. Существует несколько способов сделать это, и для каждой конкретной задачи оптимальным будет свой способ.

Матрица смежности

Самый простой способ сохранить граф в памяти — матрица смежности. Нарисуем таблицу, которая чем-то напоминает таблицу умножения: в первой строчке и в первом столбце будут стоять номера (или любые названия) вершин, а на пересечении столбца и строки будем ставить, например, 1 если между этими вершинами есть ребро и 0 если нет. Кроме 1 и 0 можно ставить, например, вес ребра, а для обозначения отсутствия ребра — просто очень большое число. Какой именно вариант использовать, зависит от каждой конкретной задачи. Также задача определяет, что ставить на диагонали получившейся матрицы.

Как отправить голоса в вк другу 2022

Как разобрать фару опель астра h

Получить подлинную версию офис как убрать

С какого сайта скачать торрент