Доказать что прямые параллельны и найти расстояние между ними

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения

В материале этой статьи разберем вопрос нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, в частности, при помощи метода координат. Разбор типовых примеров поможет закрепить полученные теоретические знания.

Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от некоторой произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Приведем иллюстрацию для наглядности:

На чертеже изображены две параллельные прямые a и b . Точка М 1 принадлежит прямой a , из нее опущен перпендикуляр на прямую b . Полученный отрезок М 1 Н 1 и есть расстояние между двумя параллельными прямыми a и b .

Указанное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Кроме того, данное определение взаимосвязано со следующей теоремой.

Когда две прямые параллельны, все точки одной из них равноудалены от другой прямой.

Пусть нам заданы две параллельные прямые a и b . Зададим на прямой а точки М 1 и М 2 , опустим из них перпендикуляры на прямую b , обозначив их основания соответственно как Н 1 и Н 2 . М 1 Н 1 – это расстояние между двумя параллельными прямыми по определению, и нам необходимо доказать, что | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | .

Пусть будет также существовать некоторая секущая, которая пересекает две заданные параллельные прямые. Условие параллельности прямых, рассмотренное в соответствующей статье, дает нам право утверждать, что в данном случае внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении секущей заданных прямых, являются равными: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Прямая М 2 Н 2 перпендикулярна прямой b по построению, и, конечно, перпендикулярна прямой a . Получившиеся треугольники М 1 Н 1 Н 2 и М 2 М 1 Н 2 являются прямоугольными и равными друг другу по гипотенузе и острому углу: М 1 Н 2 – общая гипотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Опираясь на равенство треугольников, мы можем говорить о равенстве их сторон, т.е.: | М 1 Н 1 | = | М 2 Н 2 | . Теорема доказана.

Отметим, что расстояние между двумя параллельными прямыми – наименьшее из расстояний от точек одной прямой до точек другой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми

Мы уже выяснили, что, по сути, чтобы найти расстояние между двумя параллельными прямыми, необходимо определить длину перпендикуляра, опущенного из некой точки одной прямой на другую. Способов, как это сделать, несколько. В каких-то задачах удобно воспользоваться теоремой Пифагора; другие предполагают использование признаков равенства или подобия треугольников и т.п. В случаях, когда прямые заданы в прямоугольной системе координат, возможно вычислить расстояние между двумя параллельными прямыми, используя метод координат. Рассмотрим его подробнее.

Зададим условия. Допустим, зафиксирована прямоугольная система координат, в которой заданы две параллельные прямые a и b . Необходимо определить расстояние между заданными прямыми.

Решение задачи построим на определении расстояния между параллельными прямыми: для нахождения расстояния между двумя заданными параллельными прямыми необходимо:

— найти координаты некоторой точки М 1 , принадлежащей одной из заданных прямых;

— произвести вычисление расстояния от точки М 1 до заданной прямой, которой эта точка не принадлежит.

Опираясь на навыки работы с уравнениями прямой на плоскости или в пространстве, определить координаты точки М 1 просто. При нахождении расстояния от точки М 1 до прямой пригодится материал статьи о нахождении расстояния от точки до прямой.

Вернемся к примеру. Пусть прямая a описывается общим уравнением A x + B y + C 1 = 0 , а прямая b – уравнением A x + B y + C 2 = 0 . Тогда расстояние между двумя заданными параллельными прямыми возможно вычислить, используя формулу:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2

Выведем эту формулу.

Используем некоторую точку М 1 ( x 1 , y 1 ) , принадлежащую прямой a . В таком случае координаты точки М 1 будут удовлетворять уравнению A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким образом, справедливым является равенство: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; из него получим: A x 1 + B y 1 = — C 1 .

Когда С 2 < 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При С 2 ≥ 0 нормальное уравнение прямой b будет выглядеть так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y — C 2 A 2 + B 2 = 0

И тогда для случаев, когда С 2 < 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 искомое расстояние определяется по формуле M 1 H 1 = — A A 2 + B 2 x 1 — B A 2 + B 2 y 1 — C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким образом, при любом значении числа С 2 длина отрезка | М 1 Н 1 | (от точки М 1 до прямой b ) вычисляется по формуле: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Выше мы получили: A x 1 + B y 1 = — C 1 , тогда можем преобразовать формулу: M 1 H 1 = — C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 . Так мы, собственно, получили формулу, указанную в алгоритме метода координат.

Разберем теорию на примерах.

Заданы две параллельные прямые y = 2 3 x — 1 и x = 4 + 3 · λ y = — 5 + 2 · λ . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Исходные параметрические уравнения дают возможность задать координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая параметрическими уравнениями. Таким образом, получаем точку М 1 ( 4 , — 5 ) . Требуемое расстояние – это расстояние между точкой М 1 ( 4 , — 5 ) до прямой y = 2 3 x — 1 , произведем его вычисление.

Заданное уравнение прямой с угловым коэффициентом y = 2 3 x — 1 преобразуем в нормальное уравнение прямой. С этой целью сначала осуществим переход к общему уравнению прямой:

y = 2 3 x — 1 ⇔ 2 3 x — y — 1 = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 3 = 0

Вычислим нормирующий множитель: 1 2 2 + ( — 3 ) 2 = 1 13 . Умножим на него обе части последнего уравнения и, наконец, получим возможность записать нормальное уравнение прямой: 1 13 · 2 x — 3 y — 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x — 3 13 y — 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = — 5 вычислим искомое расстояние как модуль значения крайнего равенства:

2 13 · 4 — 3 13 · — 5 — 3 13 = 20 13

Ответ: 20 13 .

В фиксированной прямоугольной системе координат O x y заданы две параллельные прямые, определяемые уравнениями x — 3 = 0 и x + 5 0 = y — 1 1 . Необходимо найти расстояние между заданными параллельными прямыми.

Решение

Условиями задачи определено одно общее уравнение, задаваемое одну из исходных прямых: x-3=0. Преобразуем исходное каноническое уравнение в общее: x + 5 0 = y — 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При переменной x коэффициенты в обоих уравнениях равны (также равны и при y – нулю), а потому имеем возможность применить формулу для нахождения расстояния между параллельными прямыми:

M 1 H 1 = C 2 — C 1 A 2 + B 2 = 5 — ( — 3 ) 1 2 + 0 2 = 8

Ответ: 8 .

Напоследок рассмотрим задачу на нахождение расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

В прямоугольной системе координат O x y z заданы две параллельные прямые, описываемые каноническими уравнениями прямой в пространстве: x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 и x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 . Необходимо найти расстояние между этими прямыми.

Решение

Из уравнения x — 3 1 = y — 1 = z + 2 4 легко определются координаты точки, через которую проходит прямая, описываемая этим уравнением: М 1 ( 3 , 0 , — 2 ) . Произведем вычисление расстояния | М 1 Н 1 | от точки М 1 до прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 .

Прямая x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 проходит через точку М 2 ( — 5 , 1 , 2 ) . Запишем направляющий вектор прямой x + 5 1 = y — 1 — 1 = z — 2 4 как b → с координатами ( 1 , — 1 , 4 ) . Определим координаты вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 — ( — 5 , 0 — 1 , — 2 — 2 ) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , — 1 , — 4

Вычислим векторное произведение векторов :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 — 1 4 8 — 1 — 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8 , 36 , 7 )

Применим формулу расчета расстояния от точки до прямой в пространстве:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = 1409 3 2

15.2. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное

Пусть L– прямая, для которой необходимо составить уравнения,– произвольная точка этой прямой.

1. Если известны координаты направляющего вектора прямойLи некоторой фиксированной ее точкито уравнение

(15.12)

где – радиус-вектор точки– радиус-вектор произвольной точки,называетсявекторно-параметрическим уравнением прямойL. В координатной форме уравнение (15.12) равносильно трем параметрическим уравнениям:

(15.13)

Система (15.13) определяет параметрические уравнения прямой L.

По исходной информации получаем также канонические уравнения прямой L:

(15.14)

2. Пусть известны две точки илежащие на прямойL. Тогда векторыколлинеарны, и можно записать уравнения прямой, проходящей через две точки:

(15.15)

3. В пространстве прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей:

(15.16)

В уравнениях плоскостей (15.16) коэффициенты при переменных не являются пропорциональными (иначе плоскости либо параллельны, либо совпадают).

О взаимном расположении двух прямых в пространстве можно судить по их направляющим векторам.

Угол между прямымиможно определить через косинус угла между направляющими векторами.

Прямые параллельны при условии коллинеарности их направляющих векторов (координаты пропорциональны).

Угол между прямыми прямой при условии перпендикулярности их направляющих векторов (скалярное произведение равно 0).

Прямые лежат в одной плоскости при условии компланарности их направляющих векторов и вектора гдеМ₁иМ₂– точки этих прямых (смешанное произведение равно 0).

Расстояние от точки М₀ до прямой L вычисляется по формуле

(15.17)

где – направляющий вектор;М₁– точка прямой.

Эту формулу можно использовать и для нахождения расстояния между параллельными прямыми.

Если прямые L₁иL₂являются скрещивающимися, то расстояние между ними определяют по формуле

(15.18)

где и– радиус-векторы точекипринадлежащих прямымL₁иL₂соответственно, а векторыи– направляющие векторы этих прямых.

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через:

1) точку параллельно вектору

2) две заданные точки и

Решение. 1) Пусть – произвольная точка искомой прямой. Тогдат. е. их координаты пропорциональны.. Согласно (15.14) получаем уравнения

которые и представляют собой канонические уравнения прямой.

2) Пусть – произвольная точка прямой. Тогда, используя уравнение (15.15) для нашего случая, имеем:

откуда

Это и есть искомый результат.

Пример 2. Записать канонические уравнения прямой, заданной системой уравнений двух плоскостей

Решение. Для перехода к каноническим уравнениям прямой обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку фиксируя числовое значение одной из координат и решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий векторпрямойL как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих прямую L. Реализуем этот подход на данном примере.

Имеем – нормальный вектор плоскости– нормальный вектор плоскости

Тогда вектор является направляющим вектором прямойL. Определим его координаты:

Для нахождения точки зафиксируем одно из координатных значений, например,Тогда, подставив в заданные общие уравнения значениеимеем:

или т. е.

Таким образом, получаем искомые канонические уравнения заданной прямой L:

З а м е ч а н и е. Для нахождения точки можно сначала решить систему в общем виде, а потом выбрать частное решение, а в качестве взятьгде

Пример 3. Доказать, что прямые L₁ и L₂ параллельны, и найти расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. Прямая L₁ имеет направляющий вектор аL₂ – вектор причемтак как Значит,

Найдем расстояние между ними, используя формулу расстояния (15.17) от точки до прямой. В параметрических уравнениях заданных прямых полагаемимеемТогда

Вычисляем векторное произведение:

После этого находим длины нужных векторов:

Значит,

Пример 4. Доказать, что прямые L₁ и L₂ пересекаются, и найти координаты точки пересечения, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. Координаты направляющего вектора прямой равны соответственно числовым коэффициентам при t, т. е. При этомЗначит

Прежде всего определим, лежат ли прямые в одной плоскости, т. е. являются ли векторы икомпланарными (здесь). Найдем для этого их смешанное произведение:

Значит, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно, они пересекаются.

Найдем точку их пересечения

Поскольку тото

Получаем, что при подстановке в уравнение прямой

Значит, Итак,– точка пересечения заданных прямых.

Пример 5. Доказать, что прямые L₁ и L₂ скрещиваются, найти расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. Направляющий вектор прямой L₁ есть а прямойL₂ – вектор причемЗначитОпределим, пересекаются ли прямые. Так както условием пересечения прямых служит компланарность векторовиНайдем смешанное произведение этих векторов:

(15.19)

Значит, указанные векторы, а вместе с ними и прямые L₁ и L₂, не лежат в одной плоскости.

Прямые L₁ и L₂ скрещиваются, так как они не пересекаются и не параллельны. Найдем расстояние между ними по формуле (15.18), используя (15.19):

Получаем:

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве

Для наиболее полного понимания темы следует ознакомиться с основными определениями, поэтому давайте узнаем, что же такое параллельные прямые и с чем их едят, а также некоторую другую основную терминологию и теоремы, которые касаются данной темы.

Используемые термины и понятия

Расстояние — это мера удалённости, используемая для характеристики местоположения двух объектов относительно друг друга.

Иногда расстояние можно измерить с помощью измерительных приборов, например, линейки или штангенциркуля, в случае поездки на автомобиле расстояние можно вычислить через измеритель скорости. Но чаще всего приходится прибегать к каким-либо вычислениям.

Параллельные прямые в пространстве — это такие прямые, которые не имеют каких-либо совместных точек и при этом лежат в одной плоскости. То есть по сути выходит, что есть два необходимых критерия для того чтобы назвать пару прямых параллельными друг другу:

1) обе такие прямые можно поместить в некую одиночную плоскость 2) 2 параллели никогда не встретятся

Не стоит путать такие прямые со скрещивающимися. Эти прямые также никогда не встречаются между собой, но рассматривая их, становится очевидно, что их нельзя расположить в одной плоскости.

Параллельные прямые можно встретить много где в окружающем нас мире: это и линии пола и потолка, и противопложные стороны поверхности стола, и стороны двери.

Расстояние между такими прямыми есть не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из одной точки любой из двух изучаемых прямых, на другую. Эта длина всегда будет одинаковой вне зависимости от того, из какой точки проведёна линия под прямым углом.

Докажем теорему, приведённую выше.

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми

Рисунок 1. Расстояние между параллельными прямыми

Рассмотрим наши прямые, про которые заранее известно, что они параллельны, назовём их $l$ и $k$.

Выберем пару рандомных точек $X$ и $Y$, возлежащих на $l$, и опустим из них под прямым углом линии на $k$.

Здесь совсем неважно, где именно вы выберете точки, главное правило — они не должны совпадать друг с другом.

Точки пересечения построенных линий с прямой $k$ назовём $A$ и $B$.

Так как наши прямые параллельны, то по условию параллельности накрест лежащие углы $XBA$ и $BXY$ при гипотенузе $XB$ получившегося прямоугольника равны между собой. Гипотенуза в данном случае является секущей к исследуемым прямым.

Собираем всё вместе о треугольниках $XBA$ и $BXY$:

1. У них есть общая сторона $XB$.
2. Стороны этих треугольников $XY$ и $AB$ равны между собой.
3. Значения углов $XBA$ $BXY$ тоже одинаковы, а сами по себе эти углы образованы сторонами, которые также равны между собой.

Из всего вышеперечисленного следует, что $XBA$ и $BXY$ являются равными по первому признаку равенства треугольников, и следовательно, длины перпендикуляров $XA$ и $YB$ равны.

Данное соотношение будет соблюдаться для любых произвольно выбранных точек $X$ и $Y$ — то есть длины перпендикуляров, опущенных с одной параллельной прямой на другую, всегда будут равны, что и требовалось доказать.

Доказанное утверждение справедливо как для параллельных прямых, рассматриваемых в планиметрии, так и для прямых, рассматриваемых в объёмном мире, так как 2 параллельные между собой прямые всегда образуют плоскость.

Задачи на определение расстояния между параллельными прямыми в объёмном мире

Мы с вами уже немного разобрались в теме, а это значит, что пришло время для задач с нахождением расстояния между параллельными прямыми в пространстве.

Найти расстояние между параллельными прямыми $l$ и $k$.

Рисунок 2. Параллельные прямые, образующие плоскость

Рассмотрим рисунок 2. По теореме, изложенной выше, кратчайшим расстоянием между двумя этими прямыми будет длина перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую, поэтому опустим из точки $X$ на прямую $k$ перпендикуляр, назовём его $h$. Длина этого перпендикуляра и будет решением нашей задачи.

На практике чаще всего нет возможности использования подручных методов типа линейки из-за невозможности исполнения чертежа в масштабе 1:1, поэтому обычно нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве имея на руках функции, описывающие данные прямые.

Выше мы показали, что совсем неважно, где именно выбрать точку на одной из двух параллельных прямых, из которой нужно опустить перпендикуляр.

Поэтому в случае параллельности прямых эта задача фактически есть не что иное, как поиск расстояния между точкой, лежащей на одной из этих прямых, и другой прямой.

Формула для нахождения расстояния между параллельными прямыми $d$ и $k$ в один этап в пространстве следующая:

$ρ(d, k) = \frac<\sqrt<\begin <|cc|>y_2 – y_1 & z_2 — z_1\\ m_1 & n_1 \\ \end^2 + \begin <|cc|>x_2 – x_1 & z_2 — z_1\\ l_1 & n_1 \\ \end^2 + \begin <|cc|>x_2 – x_1 & y_2 – y_1\\ l_1 & m_1 \\ \end^2>><\sqrt>$

В этой формуле $x_1, y_1, z_1$ — координаты нормального вектора прямой $d$, а $l, m, n$ — направляющий вектор этой прямой, его координаты — это знаменатели из канонических уравнений прямой в пространстве; $x_2, y_2, z_2$ — это координаты нормального вектора второй прямой.

Даны уравнения двух параллельных несовпадающих прямых:

Прямая $d$ задана уравнением $\frac<1>=\frac<3>=\frac<5>$,

а её параллель $k$ уравнением $\frac<1>=\frac<3>=\frac<5>$.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного с одной прямой на другую.

Координаты нормального вектора для прямой $k$ $\<3;-1;2\>$, а для прямой $d$ $\<-1; 2; -4\>$. Координаты направляющего вектора для первой прямой $\<1; 3; 5\>$.

Подставим данные числа в обозначенную выше формулу:

Решение примера, приведённого выше, реализовано по формуле, полученной через векторное произведение, кому-то такой способ может показаться более просты, а кому-то наоборот — сложным.

Но в любом случае воспользовавшись обоими вариантами решения оба алгоритма легко можно проверить.

Алгоритм с векторным произведением рассмотрен нами ниже для этой же задачи, из него становится понятно, каким образом получена используемая выше формула.

Найдите расстояние между параллельными прямыми из задачи, изложенной выше, через векторное произведение.

В этом случае вычисление расстояния между прямыми осуществляется по формуле:

где $M_0M_1$ — вектор, соединяющий 2 произвольных точки на двух параллельных прямых

Нормальные вектора для первой и второй прямых соответственно будут $\<3;-1;2\>$ и $\<-1; 2;-4\>$.

Направляющий вектор для обеих прямых совпадает, его координаты $s=\<1;3;5\>$

Найдём векторную разность между нормальными векторами, которая будет координатами вектора $M_0M_1$

Теперь необходимо высчитать векторное произведение вектора $\overline$ на вектор $\overline$:

$\overline ×\overline = \begin <|ccc|>i & j & k \\ 4 & -3 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end = i \begin <|cc|>-3 & 6\\ 3 & 5 \\ \end + j \begin <|cc|>4 & 6\\ 1 & 5 \\ \end + k \begin <|cc|>4 & -3\\ 1 & 3 \\ \end = -33i + 14j + 15k = \<-33; 14; 15\>$

Расстояние между параллельными прямыми

Рассмотрим параллельные прямые и .

Отметим точку А на прямой и проведем из этой точки перпендикуляр АВ к прямой .

Отметим точку Х на прямой и докажем, что расстояние от точки Х до прямой равно АВ. Проведем из точки Х перпендикуляр ХУ к прямой .

ХУ , следовательно, ХУ (т.к. прямая перпендикулярная к одной из параллельных прямых перпендикулярна и ко второй из них).

Рассмотрим АВУ и АХУ: В =Х = 90 0 , т.е. АВУ и АХУ прямоугольные, АУ — общая гипотенуза, 1 = 2 (т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых и секущей АУ), следовательно, АВУ =АХУ (по гипотенузе и острому углу), ХУ = АВ.

Точка Х находится на расстоянии АВ от прямой , а так как эту точку мы выбрали произвольно, все точки каждой из двух параллельных прямых и равноудалены от другой прямой. Что и требовалось доказать.

Из доказанной выше теоремы следует, что расстояние между параллельными прямыми — это наименьшее расстояние (перпендикуляр) от каждой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Замечание 1

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой параллельной данной.

Доказательство:

Дано: прямая , А, С, АВ, СE, АВ = СЕ.

Доказать: А, С и .

Доказательство:

По аксиоме параллельных прямых через точку А проходит единственная прямая параллельная прямой . Проведем через точку А прямую параллельную .

По теореме, доказанной выше, все точки, лежащие на прямой равноудалены от точек прямой .

Предположим, что точка С не лежит на прямой , тогда расстояние от точки С до прямой будет больше или меньше, чем расстояние АВ.

Но по условию АВ = СЕ, следовательно, получили противоречие, значит, наше предположение неверно и А, С, при этом по построению . Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая, параллельная данной прямой.

Доказательство:

Пусть — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на прямой произвольную точку А и проведем отрезок АВ длины d так, что АВ, через точку В по аксиоме параллельных прямых проходит единственная прямая параллельная прямой . Проведем через точку В прямую параллельную .

По доказанной выше теореме все точки прямой находятся на расстоянии d от прямой , т.е. все эти точки принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой . Значит, прямая является геометрическим местом всех точек, удовлетворяющих данному условию. Что и требовалось доказать.

Геометрическое место точек, удовлетворяющих данному условию — множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию.

Похожие публикации:

1. Isobuster что это за программа
2. Как в тильде сделать переход из меню на другую страницу
3. Как скопировать несколько страниц из pdf файла
4. Сколько процентов от общего числа участников составили ученики центрального района