Как пересекаются биссектрисы в треугольнике?
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
В каком отношении пересекаются биссектрисы в треугольнике?
Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Где пересекаются биссектрисы треугольника?
Теоремы о точке пересечения биссектрис Формулировка звучит так: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности.
Почему биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке?
Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то сумма двух углов не может быть равна 360°, а значит, биссектрисы не могут быть параллельны. Следовательно, они пересекаются. Точку пересечения двух биссектрис обозначим буквой О.
Как пересекаются биссектрисы В равнобедренном треугольнике?
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего против основания, является медианой и высотой. Три биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.
В каком отношении пересекаются биссектрисы В равнобедренном треугольнике?
Равнобедренный треугольник уникален равенством двух сторон и двух углов. Именно этим обеспечивается основное свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой.
Как называется точка пересечения высот?
. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле).
Как делятся биссектрисы в равностороннем треугольнике?
В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Следовательно, биссектрисы равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
Как пересекаются биссектрисы в треугольнике? Ответы пользователей
Биссектриса угла треугольника — это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол на две равные части.
Теорема о пересечении биссектрис в треугольнике. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Инцентр – точка пересечения биссектрис.
Для доказательства теоремы изобразим две биссектрисы треугольника. Понятно, что они пересекаются в одной точке и других точек пересечения быть не может (т. к.
Рассмотрим в треугольнике точку пересечения биссектрисы углов и . Тогда, пользуясь свойством биссектрисы угла, получаем, что точка равноудалена от сторон и .
Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника и является центром окружности, .
В треугольнике есть три характерные линии: высоты, медианы и биссектрисы. Для каждой из этих линий есть своя точка пересечения, характеризующая треугольник.
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от .
Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2). Свойства высот треугольника. В прямоугольном треугольнике высота, .
Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
ТЕОРЕМА 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается сторон этого угла.
ТЕОРЕМА 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
что и требовалось доказать.
ЗАМЕЧАНИЕ . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
ТЕОРЕМА 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .
СЛЕДСТВИЕ . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через площадь и полупериметр
a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через полупериметр и стороны
a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через основание и боковую сторону
a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через сторону
a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности через катеты и гипотенузу
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
ТЕОРЕМА 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
ТЕОРЕМА 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
то в случае равнобедренного треугольника, когда
что и требовалось.
ТЕОРЕМА 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
то в случае равностороннего треугольника, когда
что и требовалось.
ЗАМЕЧАНИЕ . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
ТЕОРЕМА 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Рассмотрим рисунок 9.
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
ЗАМЕЧАНИЕ . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.
Треугольник
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По катету и острому углу.
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180(n-2).
4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360 градусов.
5. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90.
6. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Неравенство треугольника и следствия из него.
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр м наклонные, то
1)перпендикуляр короче наклонных
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Средняя линия треугольника
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
Теоремы о медианах треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
Теорема о высотах треугольника
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам.
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
В прямоугольном треугольнике
1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
4. R=c:2; r=(a+b-c):2=p-с, где a,b-катеты, а с-гипотенуза; R-радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности, p- полупериметр.
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Следствие из теоремы косинусов
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Обобщенная теорема синусов
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Формулы площади треугольника
Четырехугольник
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма
1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
6. Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны,то этот четырехугольник — параллелограмм.
7. Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам,то этот четырехугольник — параллелограмм.
Свойство середин сторон четырехугольника
Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника
1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства и признаки ромба
1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это параллелограмм-ромб.
4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм-ромб.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны ( основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
Теорема о средней линии трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Замечательное свойство трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Равнобедренная трапеция
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.
Формулы площади четырехугольника
1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2.Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
6. Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
7. Формула Герона для четырехугольника, около которого можно описать окружность
Подобные фигуры
1. Отношение соответствующих линейных размеров подобных фигур равно коэффициенту подобия.
2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Правильный многоугольник
Окружность
Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же расстояние.
Основные свойства окружности
1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5. Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.
6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
Касательная к окружности
Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1. Касательная перепндикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Если прямая а , проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая а -касательная к окружности.
3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках А и В, то МА=МВ, и угол АМО равен углу ВМО, где О-центр окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Касающиеся окружности
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).
1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2. Окружности радиусов r и R с центрами А и В касаются внешним образом тогда и только тогда, когда r+R=AB.
3. Окружности радиусов r и R (r<R) с центрами А и В касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R-r=AB.
4. Окружности с центрами M и N касаютя внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда углы АКВ и MCN равны по 90 градусов.
Углы, связанные с окружностью
1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на нее опирающегося.
2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Свойства хорд окружности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ*ЕВ=СЕ*ЕD.
Вписанные и описанные окружности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
2.Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника-середина гипотенузы.
3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
4. Если четырехугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
5. Если сумма противоположных улов четырехугольника равна 180 градусов, то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
Теорема о касательной и секущей и следствие из нее.
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
2. Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке которая является центром окружности вписанной в
Первые две теоремы Вам хорошо известны, две другие – докажем.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр вписанной окружности.
основано на том факте, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла.
Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая есть центр описанной окружности.
основано на том, что серединный перпендикуляр отрезка есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
Через вершины треугольника `ABC` проведём прямые, параллельные противолежащим сторонам (рис. 6).
В пересечении образуется треугольник `A_1 B_1 C_1`.
По построению `ABA_1C` — параллелограмм, поэтому `BA_1 = AC`. Аналогично устанавливается, что `C_1B = AC`, следовательно `C_1B = AC`, точка `B` — середина отрезка `C_1A_1`.
Совершенно так же показывается, что `C` — середина `B_1A_1` и `A` — середина `B_1 C_1`.
Пусть `BN` — высота треугольника `ABC`, тогда для отрезка `A_1 C_1` прямая `BN` — серединный перпендикуляр. Откуда следует, что три прямые, на которых лежат высоты треугольника `ABC`, являются серединными перпендикулярами трёх сторон треугольника `A_1B_1C_1`; а такие перпендикуляры пересекаются в одной точке (теорема 2).
Если треугольник остроугольный, то каждая из высот есть отрезок, соединяющий вершину и некоторую точку противолежащей стороны. В этом случае (см. рис. 6) точки `B` и `N` лежат в разных полуплоскостях, образуемых прямой `AM`, значит отрезок `BN` , пересекает прямую `AM`, точка пересечения лежит на высоте `BN`, т. е. лежит внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике точка пересечения высот есть вершина прямого угла.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и каждая медиана делится точкой пересечении в отношении `2:1`, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести (или центром масс) треугольника.
Есть различные доказательства этой теоремы. Приведём то, которое основано на теореме Фалеса.
Пусть `E`, `D` и `F` — середины сторон `AB`, `BC` и `AC` треугольника `ABC` (рис. 7а).
Проведём медиану `AD` и через точки `E` и `F` параллельные ей прямые `EK` и `FL`. По теореме Фалеса `BK = KD` `(/_ABC`, $$ EK\Vert AD)$$ и `DL = LC` `(/_ACB`, $$ AD\Vert FL)$$. Но `BD = DC = a//2`, поэтому `BK = KD = DL = LC = a//4`. По тойже теореме `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, $$ NK\Vert MD\Vert FL)$$, поэтому `BM = 2MF`.
Это означает, что медиана `BF` в точке `M` пересечения с медианой `AD` разделились в отношении `2:1` считая от вершины.
Докажем, что и медиана `AD` в точке `M` разделилась в том же отношении. Рассуждения аналогичны, иллюстрация на рисунке 7б.
Если рассмотреть медианы `BF` и `CE` то также можно показать, что они пересекаются в той точке, в которой медиана `BF` делится в отношении `2:1` т. е. в той же точке `M`. И этой точкой медиана `CE` также разделится в отношении `2:1`, считая от вершины.
Две стороны треугольника равны соответственно `6` и `8`. Медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом. Найти третью сторону треугольника.
1. Пусть `AC = 6`, `BC = 8` и медианы `AN` и `BM` пересекаются в точке `O` и перпендикулярны (рис. 8).
Положим `AN = n` и `BM = m`. Из доказанной теоремы следует, что `AO = 2/3 n` и `BO = 2/3 m`.
2. Медианы перпендикулярны, поэтому треугольники `AOM` и `BON` прямоугольные.
Применим теорему Пифагора (ещё учтём, что `AM = 1/2 AC = 3` и `BN = 1/2 BC = 4`),
получим: $$
\left\<
\begin
16=\frac49 m^2+\frac19 n^2,\\
9=\frac19 m^2 + \frac49 n^2.\\
\end
\right.
$$
Сложив эти равенства, найдём, что `m^2 + n^2 = 45`.
3. Длина стороны `AB` находится из прямоугольного треугольника `AOB:`