Скобки в математике: их виды и предназначение
В данной статье рассказывается о скобках в математике, делается своеобразный их анализ, объясняется, зачем они нужны, рассматриваются виды и применения, термины и методы использования при решении или для описания материала. В заключение будем решать подобные математические примеры с подробными комментариями.
Основные виды скобок, обозначения, терминология
Для решения задач или заданий в математике (алгебре и геометрии) и дискретной математике используются три вида скобок: ( ) , [ ] , < >. И это, на самом деле, немало. Реже встречаются скобки такого вида ] и [ , называемые обратными, или < и > , то бывают в виде уголка или треугольные, угловые скобки (первая пара обозначает, в какую сторону пишется знак меньше). Что означает такой знак в математике и в чем их разница? Их применение всегда парное (двойное), то есть имеется открывающаяся и закрывающаяся скобка в любом выражении, тогда оно имеет смысл. Скобки позволяют разграничить и определить последовательность действий.
Скобки для указания порядка выполнения действий
Что означает скобка в принципе? Основное предназначение скобок – указание порядка, в котором нужно сделать действия. Тогда выражение может иметь одну или несколько пар круглых скобок. По правилу всегда выполняется первым действие в скобках, после чего умножение и деление, а позже сложение и вычитание.
Рассмотрим на примере заданное выражение. Если дан пример вида 5 + 3 — 2 , тогда очевидно, что действия выполняются последовательно. Когда это же выражение необходимо записать со скобками, тогда их последовательность меняется. То есть при ( 5 + 3 ) — 2 первое действие выполняется в скобках. В данном случае изменений не будет. Если выражение будет записано в виде 5 + ( 3 — 2 ) , тогда в начале производятся вычисления в скобках (их нужно раскрывать), после такого раскрытия пример должен решаться математиком путем сложения с числом 5 . На исходное значение в этом случае оно не повлияет.
Рассмотрим пример, который покажет, как при изменении положения скобок может перевертываться результат. Если дано выражение 5 + 2 · 4 , видно, что вначале выполняется умножение, после чего сложение. Когда выражение будет иметь вид ( 5 + 2 ) · 4 , то вначале выполнится действие в скобках, после чего произведется умножение. Результаты выражений будут отличаться.
Выражения могут содержать несколько пар скобок, тогда выполнения мат-х действий начинаются с первой. В выражении вида ( 4 + 5 · 2 ) − 0 , 5 : ( 7 − 2 ) : ( 2 + 1 + 12 ) видно, что первым делом выполняются действия в скобках, после чего деления, а в конце вычитание.
Существуют примеры, где имеются вложенные сложные скобки вида 4 · 6 — 3 + 8 : 2 и 5 · ( 1 + ( 8 — 2 · 3 + 5 ) — 2 ) ) — 4 . Тогда начинается выполнение действий с внутренних скобок. Далее производится продвижение к внешним.
Если имеется выражение 4 · 6 — 3 + 8 : 2 , тогда очевидно, что в первую очередь выполняются действия в скобках. Значит, следует отнять 3 от 6 , умножить на 4 и прибавить 8 . В конце следует разделить на 2 . Только так можно получить верный ответ.
На письме могут быть использованы скобки разных размеров, а не только разновидностей. Это делается для удобства и возможности различия или отличия одной пары от другой. Внешние скобки всегда большего размера, чем внутренние. То есть получаем выражение вида 5 — 1 : 2 + 1 2 + 3 — 1 3 · 2 · 3 — 4 . Редко встречается применение выделенных скобок ( 2 + 2 · ( 2 + ( 5 · 4 − 4 ) ) ) · ( 6 : 2 − 3 · 7 ) · ( 5 − 3 ) или применяют квадратные скобки, например, [ 3 + 5 · ( 3 − 1 ) ] · 7 или фигурные скобки < 5 + [ 7 − 12 : ( 8 − 5 ) : 3 ] + 7 − 2 >: [ 3 + 5 + 6 : ( 5 − 2 − 1 ) ] .
Перед тем, как приступить к решению, важно правильно определить порядок действий и разобрать все необходимые пары скобок. Для этого следует добавлять разные виды скобок или менять их цвет. Пометка скобки другим цветом удобна для решения, но занимает много времени, поэтому на практике чаще всего применяют круглые скобки, фигурные и квадратные скобки.
Отрицательные числа в скобках
Если необходимо изобразить отрицательные числа, тогда применяют круглые скобки в выражении. Такая запись, как 5 + ( − 3 ) + ( − 2 ) · ( − 1 ) , 5 + — 2 3 , 2 5 7 — 5 + — 6 7 3 · ( — 2 ) · — 3 , 5 предназначена для того, чтобы упорядочить отрицательные числа в выражении.
Скобки или кавычки не ставятся для отрицательного числа того, когда оно располагается в начале любого выражения или дроби. Если имеем пример вида − 5 · 4 + ( − 4 ) : 2 , то очевидно, что символ минуса перед 5 можно не заключать в скобки, а при 3 — 0 , 4 — 2 , 2 · 3 + 7 + 3 — 1 : 2 число 2 , 2 записано вначале, значит скобки являются нужными. Со скобками может писаться выражение ( − 5 ) · 4 + ( − 4 ) : 2 или 3 — 0 , 4 — 2 , 2 · 3 + 7 + 3 — 1 : 2 . Запись, где имеются скобки, считается более строгой.
Знак минуса может находиться не только перед числом, но и перед переменными, степенями, корнями, дробями, функциями, тогда их следует заключить в скобки. Это такие записи, как 5 · ( − x ) , 12 : ( − 22 ) , 5 · — 3 + 7 — 1 + 7 : — x 2 + 1 3 , 4 3 4 — — x + 2 x — 1 , 2 · ( — ( 3 + 2 · 4 ) , 5 · ( — log 3 2 ) — ( — 2 x 2 + 4 ) , sin x · ( — cos 2 x ) + 1
Скобки для выражений, с которыми выполняются действия
Использование круглых скобок с высокой вероятностью связано с указанием в выражении действий, где имеется возведение в степень, взятие производной, функции. Они позволяют упорядочивать выражения для удобства дальнейшего решения.
Скобки в выражениях со степенями
Выражение со степенью не всегда следует заключать в скобки, так как степень располагается надстрочно. Если имеется запись вида 2 x + 3 , то очевидно, что х + 3 – это показатель степени. Когда степень записывается в виде знака ^, тогда остальное выражение следует записывать с добавлением скобок, то есть 2 ^ ( x + 3 ) . Если записать это же выражение без скобок, то получится совсем другое выражение. При 2 ^ x + 3 на выходе получим 2 x + 3 .
Основание степени не нуждается в скобках. Поэтому запись принимает вид 0 3 , 5 x 2 + 5 , y 0 , 5 . Если в основании имеется дробное число, тогда будут использоваться круглые скобки. Получаем выражения вида ( 0 , 75 ) 2 , 2 2 3 32 + 1 , ( 3 · x + 2 · y ) — 3 , log 2 x — 2 — 1 2 x — 1 .
Если выражение основания степени не взять в скобки, тогда показатель может относиться ко всему выражению, что повлечет за собой неправильное решение. Когда имеется выражение вида x 2 + y , а — 2 – это его степень, то запись примет вид ( x 2 + y ) — 2 . При отсутствии скобок выражение приняло бы вид x 2 + y — 2 , что является совершенно другим выражением.
Если основанием степени является логарифм или тригонометрическая функция с целым показателем, тогда запись приобретает вид sin , cos , t g , c t g , a r c sin , a r c cos , a r c t g , a r c c t g , log , ln или l g . При записи выражения вида sin 2 x , a r c cos 3 y , ln 5 e и log 5 2 x видим, что скобки перед функциями не меняют значения всего выражения, то есть они равноценны. Получаем записи вида ( sin x ) 2 , ( a r c cos y ) 3 , ( ln e ) 5 и log 5 x 2 . Допустимо опущение скобок.
Скобки в выражениях с корнями
Использование скобок в подкоренном выражении бессмысленно, так как выражение вида x + 1 и x + 1 являются равнозначными. Скобки не дадут изменений при решении.
Скобки в выражениях с тригонометрическими функциями
Если имеются отрицательные выражения у функций типа синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, тогда необходимо использовать круглые скобки. Это позволит правильно определить принадлежность выражения к имеющейся функции. То есть получим записи вида sin ( − 5 ) , cos ( x + 2 ) , a r c t g 1 x — 2 2 3 .
При записи sin , cos , t g , c t g , a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g при имеющемся числе скобки не используют. Когда в записи присутствует выражение, тогда имеет смысл их поставлять. То есть sin π 3 , t g x + π 2 , a r c sin x 2 , a r c t g 3 3 с корнями и степенями, cos x 2 — 1 , a r c t g 3 2 , c t g x + 1 — 3 и подобные выражения.
Если в выражении содержатся кратные углы типа х , 2 х , 3 х и так далее, скобки опускаются. Разрешено записывать в виде sin 2 x , c t g 7 x , cos 3 α . Во избежание двусмысленности скобки можно добавить в выражение. Тогда получаем запись вида sin ( 2 · x ) : 2 вместо sin 2 · x : 2 .
Скобки в выражениях с логарифмами
Чаще всего все выражения логарифмической функции заключаются в скобки для дальнейшего правильного решения. То есть получаем ln ( e − 1 + e 1 ) , log 3 ( x 2 + 3 · x + 7 ) , l g ( ( x + 1 ) · ( x − 2 ) ) . Опущение скобок разрешено в том случае, когда однозначно понятно, к какому выражению относится сам логарифм. Если есть дробь, корень или функция можно записывать выражения в виде log 2 x 5 , l g x — 5 , ln 5 · x — 5 3 — 5 .
Скобки в пределах
При имеющихся пределах стоит использовать скобки для представления выражения самого предела. То есть при суммах, произведениях, частных или разностях принято записывать выражения в скобках. Получаем, что lim n → 5 1 n + n — 2 и lim x → 0 x + 5 · x — 3 x — 1 x + x + 1 : x + 2 x 2 + 3 . Опущение скобок предполагается, когда имеется простая дробь или очевидно, к какому выражению относится знак. Например, lim x → ∞ 1 x или lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x .
Скобки и производная
При нахождении производной часто можно встретить применение круглых скобок. Если имеется сложное выражение, тогда вся запись берется в скобки. Например, ( x + 1 ) ‘ или sin x x — x + 1 .
Подынтегральные выражения в скобках
Если необходимо проинтегрировать выражение, то следует записать его в круглых скобках. Тогда пример примет вид ∫ ( x 2 + 3 x ) d x , ∫ — 1 1 ( sin 2 x — 3 ) d x , ∭ V ( 3 x y + z ) d x d y d z .
Скобки, отделяющие аргумент функции
При наличии функции чаще всего применяются круглые скобки для их обозначения. Когда дана функция f с переменной х , тогда запись принимает вид f ( x ) . Если имеются несколько аргументов функций, то такая функция получит вид F ( x , y , z , t ) .
Скобки в периодических десятичных дробях
Использование периода обусловлено применением скобок при записи. Сам период десятичной дроби заключается в скобки. Если дана десятинная дробь вида 0 , 232323 … тогда очевидно, что 2 и 3 мы заключаем в круглые скобки. Запись приобретает вид 0 , ( 23 ) . Это характерно для любой записи периодической дроби.
Скобки для обозначения числовых промежутков
Для того чтобы изобразить числовые промежутки применяют скобки четырех видов: ( ) , ( ] , [ ) и [ ] . В скобках прописываются промежутки, в каких функция существует, то есть имеет решение. Круглая скобка означает, что число не входит в область определения. Что означает квадратная скобка в математике в таком случае? Что число входит в область определения. При наличии бесконечности принято изображать круглую скобку.
То есть при изображении промежутков получим, что ( 0 , 5 ) , [ − 0 , 5 , 12 ) , — 10 1 2 , — 5 2 3 , [ 5 , 700 ] , ( − ∞ , − 4 ] , ( − 3 , + ∞ ) , ( − ∞ , + ∞ ) . Не вся литература одинаково использует скобки. Есть случаи, когда можно увидеть запись такого вида ] 0 , 1 [ , что означает ( 0 , 1 ) или [ 0 , 1 [ , что значит [ 0 , 1 ) , причем смысл выражения не меняется.
Обозначения систем и совокупностей уравнений и неравенств
Использование фигурных скобок относится к изображению пересечения множеств. При решении системы с фигурной скобкой фактически приходим к пересечению заданных уравнений. Квадратная скобка служит для объединения.
Уравнения и неравенства обозначаются [ скобкой в том случае, если необходимо изобразить совокупность. Тогда получаем примеры вида ( x — 1 ) ( x + 7 ) = 0 x — 2 = 12 + x 2 — x + 3 и x > 2 x — 5 y = 7 2 x + 3 y ≥ 1
Можно встретить выражения, где имеются и система, и совокупность:
x ≥ 5 x < 3 x > 4 , 5
Фигурная скобка для обозначения кусочной функции
Кусочная функция изображается при помощи одиночной фигурной скобки, где имеются формулы, определяющие функцию, содержащие необходимые промежутки. Посмотрим на примере формулы с содержанием промежутков типа x = x , x ≥ 0 — x , x < 0 , где имеется кусочная функция.
Скобки для указания координат точки
Для того, чтобы изобразить координатные точки в виде промежутков, используют круглые скобки. Они могут быть расположены как на координатной прямой, так и в прямоугольной системе координат или n-мерном пространстве.
Когда координата записывается как А ( 1 ) , то означает, что точка А имеет координату со значением 1 , тогда Q ( x , y , z ) говорит о том, что точка Q содержит координаты x , y , z .
Скобки для перечисления элементов множества
Множества задаются при помощи перечисления элементов, входящих в его область. Это выполняется при помощи фигурных скобок, где сами элементы прописываются через запятую. Запись выглядит таким образом А = < 1 , 2 , 3 , 4 >. Видно, что множество состоит из значений, перечисленных в скобках.
Скобки и координаты векторов
При рассмотрении векторов в системе координат используется понятие координат вектора. То есть при обозначении используют координаты, которые записаны в виде перечисления в скобках.
Учебники предлагают два вида обозначения: a → 0 ; — 3 или a → 0 ; — 3 . Обе записи равнозначны и имеют значение координат 0 , — 3 . При изображении в трехмерном пространстве добавляется еще одна координата. Тогда запись выглядит так: A B → 0 , — 3 , 2 3 или A B → 0 , — 3 , 2 3 .
Обозначение координат может быть как со значком вектора на самом векторе, так и без. Но запись координат производится через запятую в виде перечисления. Запись принимает вид a = ( 2 , 4 , − 2 , 6 , 1 2 ) , где вектор обозначается в пятимерном пространстве. Реже можно увидеть обозначение двумерного пространства в виде a = 3 — 7
Скобки для указания элементов матриц
Частое применение скобок предусмотрено в матрицах. Все элементы фиксируются при помощи круглых скобок вида A = 4 2 3 — 3 0 0 12 .
Реже можно увидеть использование квадратных скобок в математике в таких примерах.
Тогда матрица приобретает вид A = 4 2 3 — 3 0 0 12 .
Научный форум dxdy
ипользование квадратной скобки в значении »или"
С детства в школе использовали квадратные и фигурные скобки в случаях когда хотя бы одно из или все условия выполнены. Например, 
такие что
такие что
.
Я думаю, если это кому-то надо, он может оговорить эти обозначения в начале статьи, и свободно использовать. Читатели вряд ли пожалуются на неудобства.
Вообще, похоже, мало кто любит формулировать совокупности условий, а не системы.
Кроме того, в одном-двух случаях принято писать фигурную скобку, хотя подразумевается совокупность:
xor
» <" 
and
«[» or
В некоторых случаях удобно использовать «[«, но я ни разу не встречал.
последняя формула xor
Ну, это уж не так важно, в данном случае, что or, что xor — одно и то же, т. к. либо 
, либо 
.
Последний раз редактировалось bot 27.10.2012, 09:51, всего редактировалось 1 раз.
Статьи пишут не роботы, а человеки — формализация логических связок им не нужна, она не сулит ничего, кроме нагромождения этих скобок.
Вычисление простейших неопределённых интегралов
Чтобы грамотно ориентироваться во всём интегральном многообразии и не заблудиться, нам потребуется всего четыре вещи:
1) Таблица интегралов. Все подробности о ней — в предыдущем материале. Как именно с ней работать — в этом.
2) Свойства линейности неопределённого интеграла (интеграл суммы/разности и произведения на константу).
3) Таблица производных и правила дифференцирования.
Да-да, не удивляйтесь! Без умения считать производные, в интегрировании ловить совершенно нечего. Согласитесь, бессмысленно, например, учиться делению, не умея умножать. 🙂 И очень скоро вы увидите, что без отточенных навыков дифференцирования не посчитать ни один сколь-нибудь серьёзный интеграл, выходящий за рамки элементарных табличных.
4) Методы интегрирования.
Их очень и очень много. Для конкретного класса функций — свой. Но среди всего их богатого разнообразия выделяется три базовых:
О каждом из них — в отдельных уроках.
А теперь, наконец, приступим к решению долгожданных примеров. Чтобы не скакать из раздела в раздел, я продублирую ещё разок весь джентльменский набор, который пригодится для нашей дальнейшей работы. Пусть весь инструментарий будет под рукой.)
Прежде всего, это таблица интегралов:
Кроме того, нам понадобятся базовые свойства неопределённого интеграла (свойства линейности):
Что ж, необходимая снаряга подготовлена. Пора в путь! 🙂
Прямое применение таблицы
В данном параграфе будут рассматриваться самые простые и безобидные примеры. Алгоритм здесь прост до ужаса:
1) Смотрим в таблицу и ищем нужную формулу (формулы);
2) Применяем свойства линейности (где требуется);
3) Осуществляем превращение по табличным формулам и прибавляем в конце константу С (не забываем!) ;
4) Записываем ответ.
Пример 1
Такой функции в нашей таблице нет. Зато есть интеграл от степенной функции в общем виде (вторая группа). В нашем случае n = 5. Вот и подставляем пятёрку вместо n и аккуратно считаем результат:
Разумеется, этот пример совсем примитивный. Чисто для знакомства.) Зато умение интегрировать степени позволяет легко считать интегралы от любых многочленов и прочих степенных конструкций.
Пример 2
Под интегралом сумма. Ну и ладно. У нас на этот случай есть свойства линейности. 🙂 Разбиваем наш интеграл на три отдельных, выносим все константы за знаки интегралов и считаем каждый по таблице (группа 1-2):
Прошу обратить внимание: константа С появляется именно в тот момент, когда исчезают ВСЕ знаки интеграла! Конечно, после этого приходится её постоянно таскать за собой. А что делать…
Разумеется, так подробно расписывать обычно не требуется. Это чисто для понимания сделано. Чтобы суть уловить.)
Например, очень скоро, особо не раздумывая, вы в уме будете давать ответ к монстрам типа:
Многочлены — самые халявные функции в интегралах.) А уж в диффурах, в физике, в сопромате и прочих серьёзных дисциплинах интегрировать многочлены придётся постоянно. Привыкайте.)
Следующий примерчик будет чуть покруче.
Пример 3
Надеюсь, всем понятно, что наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:
Подынтегральная функция отдельно, а множитель dx (значок дифференциала) — отдельно.
Замечание: в этом уроке множитель dx в процессе интегрирования пока никак не участвует, и мы на него пока что мысленно «забиваем». 🙂 Работаем только с подынтегральной функцией. Но забывать про него не будем. Совсем скоро, буквально на следующем уроке, посвящённом подведению функции под знак дифференциала , мы про него вспомним. И ощутим всю важность и мощь этого значка в полную силу!)
А пока наш взор обращён на подынтегральную функцию
Не очень похоже на степенную функцию, но это она. 🙂 Если вспомнить школьные свойства корней и степеней, то вполне можно преобразовать нашу функцию:
А икс в степени минус две трети — это уже табличная функция! Вторая группа, n=-2/3. А константа 1/2 нам не помеха. Выносим её наружу, за знак интеграла, и прямо по формуле считаем:
В этом примере нам помогли элементарные свойства степеней. И так надо делать в большинстве случаев, когда под интегралом стоят одинокие корни или дроби. Посему пара практических советов при интегрировании степенных конструкций:
Заменяем дроби степенями с отрицательными показателями;
Заменяем корни степенями с дробными показателями.
А вот в окончательном ответе переход от степеней обратно к дробям и корням — дело вкуса. Лично я перехожу обратно — так эстетичнее, что ли.
И, пожалуйста, аккуратно считаем все дроби! Внимательно следим за знаками и за тем, что куда идёт — что в числитель, а что знаменатель.
Что? Надоели уже скучные степенные функции? Ну ладно! Берём быка за рога!
Пример 4
Если сейчас привести всё под интегралом к общему знаменателю, то можно застрять на этом примере всерьёз и надолго.) Но, присмотревшись повнимательнее к подынтегральной функции, можно заметить, что наша разность состоит из двух табличных функций. Так что не будем извращаться, а вместо этого разложим наш интеграл на два:
Первый интеграл — обычная степенная функция, (2-я группа, n = -1): 1/x = x -1 .
Традиционная наша формула для первообразной степенной функции
здесь не работает, но зато у нас для n = -1 есть достойная альтернатива — формула с натуральным логарифмом. Вот эта:
Тогда, согласно этой формуле, первая дробь проинтегрируется так:
А вторая дробь — тоже табличная функция! Узнали? Да! Это седьмая формула с «высоким» логарифмом:
Константа «а» в этой формуле равна двойке: a=2.
Важное замечание: Обратите внимание, константу С при промежуточном интегрировании я нигде не приписываю! Почему? Потому что она пойдёт в окончательный ответ всего примера. Этого вполне достаточно.) Строго говоря, константу надо писать после каждого отдельного интегрирования — хоть промежуточного, хоть окончательного: так уж неопределённый интеграл требует…)
Например, после первого интегрирования я должен был бы написать:
После второго интегрирования:
Но вся фишка в том, что сумма/разность произвольных констант — это тоже некоторая константа! В нашем случае для окончательного ответа нам надо из первого интеграла вычесть второй. Тогда у нас получится разность двух промежуточных констант:
И мы имеем полное право эту самую разность констант заменить одной константой! И просто переобозначить её привычной нам буквой «С». Вот так:
Вот и приписываем эту самую константу С к окончательному результату и получаем ответ:
Да-да, дроби они такие! Многоэтажные логарифмы при их интегрировании — самое обычное дело. Тоже привыкаем.)
Запоминаем:
При промежуточном интегрировании нескольких слагаемых константу С после каждого из них можно не писать. Достаточно включить её в окончательный ответ всего примера. В самом конце.
Следующий пример тоже с дробью. Для разминки.)
Пример 5
В таблице, понятное дело, такой функции нет. Но зато есть похожая функция:
Это самая последняя, восьмая формула. С арктангенсом. 🙂
И нам сам бог велел подстроить наш интеграл под эту формулу! Но есть одна проблемка: в табличной формуле перед х 2 никакого коэффициента нету, а у нас — девятка. Не можем пока что напрямую воспользоваться формулой. Но в нашем случае проблема вполне решаема. Вынесем эту девятку сначала за скобки, а потом вообще уведём за пределы нашей дроби.)
А новая дробь — уже нужная нам табличная функция под номером 8! Здесь а 2 =4/9. Или а=2/3.
Всё. Выносим 1/9 за знак интеграла и пользуемся восьмой формулой:
Вот такой ответ. Этот пример, с коэффициентом перед х 2 , я специально так подобрал. Чтобы ясно было, что делать в таких случаях. 🙂 Если перед х 2 никакого коэффициента нет, то такие дроби тоже будут в уме интегрироваться.
Здесь а 2 = 5, поэтому само «а» будет «корень из пяти». В общем, вы поняли.)
А теперь немного видоизменим нашу функцию: напишем знаменатель под корнем.) Вот такой интеграл теперь будем брать:
Пример 6
В знаменателе появился корень. Естественно, изменилась и соответствующая формула для интегрирования, да.) Опять лезем в таблицу и ищем подходящую. Корни у нас есть в формулах 5-й и 6-й групп. Но в шестой группе под корнями только разность. А у нас — сумма. Значит, работаем по пятой формуле, с «длинным» логарифмом:
Число А у нас — пятёрка. Подставляем в формулу и получаем:
И все дела. Это ответ. Да-да, так просто!)
Если закрадываются сомнения, то всегда можно (и нужно) проверить результат обратным дифференцированием. Проверим? А то вдруг, лажа какая-нибудь?
Дифференцируем (на модуль внимания не обращаем и воспринимаем его как обычные скобки):
Кстати, если в подынтегральной функции под корнем поменять знак с плюса на минус, то формула для интегрирования останется той же самой. Не случайно в таблице под корнем стоит плюс/минус. 🙂
Важно! В случае минуса, на первом месте под корнем должно стоять именно х 2 , а на втором — число. Если же под корнем всё наоборот, то и соответствующая табличная формула будет уже другая!
Пример 7
Под корнем снова минус, но х 2 с пятёркой поменялись местами. Похоже, но не одно и то же… На этот случай в нашей таблице тоже есть формулка.) Формула номер шесть, с ней мы ещё не работали:
А вот теперь — аккуратно. В предыдущем примере у нас пятёрка выступала в роли числа A. Здесь же пятёрка будет выступать уже в роли числа а 2 !
Поэтому для правильного применения формулы не забываем извлечь корень из пятёрки:
И теперь пример решается в одно действие. 🙂
Вот так вот! Всего лишь поменялись местами слагаемые под корнем, а результат интегрирования изменился существенно! Логарифм и арксинус… Так что, пожалуйста, не путайте эти две формулы! Хотя подынтегральные функции и очень похожи…
В табличных формулах 7-8 перед логарифмом и арктангенсом присутствуют коэффициенты 1/(2а) и 1/а соответственно. И в тревожной боевой обстановке при записи этих формул даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где просто 1/а, а где 1/(2а). Вот вам простой приёмчик для запоминания.
в знаменателе подынтегральной функции стоит разность квадратов х 2 — а 2 . Которая, согласно боянной школьной формуле, раскладывается как (х-а)(х+а). На два множителя. Ключевое слово — два. И эти две скобки при интегрировании идут в логарифм: с минусом вверх, с плюсом — вниз.) И коэффициент перед логарифмом тоже 1/(2а).
А вот в формуле №8
в знаменателе дроби стоит сумма квадратов. Но сумма квадратов x 2 +a 2 неразложима на более простые множители. Поэтому, как ни крути, в знаменателе так и останется один множитель. И коэффициент перед арктангенсом тоже будет 1/а.
А теперь для разнообразия проинтегрируем что-нибудь из тригонометрии.)
Пример 8
Пример простой. Настолько простой, что народ, даже не глядя в таблицу, тут же радостно ответ пишет и… приехали. 🙂
Следим за знаками! Это самая распространённая ошибка при интегрировании синусов/косинусов. Не путаем с производными!
Но!
Поскольку производные народ обычно худо-бедно помнит, то, чтобы не путаться в знаках, приём для запоминания интегралов тут очень простой:
Интеграл от синуса/косинуса = минус производная от тех же синуса/косинуса.
Например, мы ещё со школы знаем, что производная синуса равна косинусу:
Тогда для интеграла от того же синуса будет справедливо:
И всё.) С косинусом то же самое.
Исправляем теперь наш пример:
Предварительные элементарные преобразования подынтегральной функции
До этого момента были самые простенькие примеры. Чтобы прочувствовать, как работает таблица и не ошибаться в выборе формулы.)
Конечно, мы делали кое-какие простенькие преобразования — множители выносили, на слагаемые разбивали. Но ответ всё равно так или иначе лежал на поверхности.) Однако… Если бы вычисление интегралов ограничивалось только прямым применением таблицы, то вокруг была бы сплошная халява и жить стало бы скучно.)
А теперь разберём примеры посолиднее. Такие, где впрямую, вроде бы, ничего и не решается. Но стоит вспомнить буквально пару-тройку элементарных школьных формул или преобразований, как дорога к ответу становится простой и понятной. 🙂
Продолжим развлекаться с тригонометрией.
Пример 9
Такой функции в таблице и близко нет. Зато в школьной тригонометрии есть такое малоизвестное тождество:
Выражаем теперь из него нужный нам квадрат тангенса и вставляем под интеграл:
Зачем это сделано? А затем, что после такого преобразования наш интеграл сведётся к двум табличным и будет браться в уме!
А теперь проанализируем наши действия. На первый взгляд, вроде бы, всё проще простого. Но давайте задумаемся вот над чем. Если бы перед нами стояла задача продифференцировать ту же самую функцию, то мы бы точно знали, что именно надо делать — применять формулу производной сложной функции:
И всё. Простая и безотказная технология. Работает всегда и гарантированно приводит к успеху.
А что же с интегралом? А вот тут нам пришлось порыться в тригонометрии, откопать какую-то малопонятную формулу в надежде, что она нам как-то поможет выкрутиться и свести интеграл к табличному. И не факт, что помогла бы она нам, совсем не факт… Именно поэтому интегрирование — более творческий процесс, нежели дифференцирование. Искусство, я бы даже сказал. 🙂 И это ещё не самый сложный пример. То ли ещё будет!
Пример 10
Что, внушает? Таблица интегралов пока бессильна, да. Но, если снова заглянуть в нашу сокровищницу тригонометрических формул, то можно откопать весьма и весьма полезную формулу косинуса двойного угла:
Вот и применяем эту формулу к нашей подынтегральной функции. В роли «альфа» у нас х/2.
Эффект потрясающий, правда?
Эти два примера наглядно показывают, что предварительное преобразование функции перед интегрированием вполне допускается и порой колоссально облегчает жизнь! И в интегрировании эта процедура (преобразование подынтегральной функции) на порядок более оправдана, чем при дифференцировании. В дальнейшем всё увидите.)
Разберём ещё парочку типовых преобразований.
Формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных и метод почленного деления.
Обычные банальные школьные преобразования. Но порой только они и спасают, да.)
Пример 11
Если бы мы считали производную, то никаких проблем: формула производной произведения и — вперёд. Но стандартной формулы для интеграла от произведения не существует. И единственный выход здесь — раскрыть все скобки, чтобы под интегралом получился многочлен. А уж многочлен мы как-нибудь проинтегрируем.) Но скобки раскрывать тоже будем с умом: формулы сокращённого умножения — штука мощная!
(x 2 — 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 — 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2 ) 2 — 1 2 ) 2 = (x 4 — 1) 2 = x 8 — 2x 4 + 1
А теперь считаем:
Пример 12
Опять же, стандартной формулы для интеграла от дроби не существует. Однако в знаменателе подынтегральной дроби стоит одинокий икс. Это в корне меняет ситуацию.) Поделим почленно числитель на знаменатель, сведя нашу жуткую дробь к безобидной сумме табличных степенных функций:
Особо комментировать процедуру интегрирования степеней не буду: не маленькие уже.)
Интегрируем сумму степенных функций. По табличке.)
Вот и все дела.) Кстати, если бы в знаменателе сидел не икс, а, скажем, х+1, вот так:
то этот фокус с почленным делением уже так просто не прошёл бы. Именно из-за наличия корня в числителе и единицы в знаменателе. Пришлось бы замену вводить и избавляться от корня. Но такие интегралы гораздо сложнее. О них — в других уроках.
Видите! Стоит только чуть-чуть видоизменить функцию — тут же меняется и подход к её интегрированию. Порой кардинально!) Нету чёткой стандартной схемы. К каждой функции — свой подход. Иногда даже уникальный.)
В некоторых случаях преобразования в дробях ещё более хитрые.
Пример 13
А здесь как можно свести интеграл к набору табличных? Здесь можно ловко извернуться добавлением и вычитанием выражения x 2 в числителе дроби с последующим почленным делением. Очень искусный приём в интегралах! Смотрите мастер-класс! 🙂
И теперь, если заменить исходную дробь на разность двух дробей, то наш интеграл распадается на два табличных — уже знакомую нам степенную функцию и арктангенс (формула 8):
Ну, что тут можно сказать? Вау!
Этот трюк с добавлением/вычитанием слагаемых в числителе — очень популярен в интегрировании рациональных дробей. Очень! Рекомендую взять на заметку.
Пример 14
Здесь тоже рулит эта же технология. Только добавлять/вычитать надо единичку, чтобы из числителя выделить выражение, стоящее в знаменателе:
Вообще говоря, рациональные дроби (с многочленами в числителе и знаменателе) — отдельная очень обширная тема. Дело всё в том, что рациональные дроби — один из очень немногих классов функций, для которых универсальный способ интегрирования существует. Метод разложения на простейшие дроби вкупе с методом неопределённых коэффициентов. Но способ этот очень трудоёмкий и обычно применяется как тяжёлая артиллерия. Ему будет посвящён не один урок. А пока что тренируемся и набиваем руку на простых функциях.
Подытожим сегодняшний урок.
Сегодня мы подробно рассмотрели, как именно пользоваться таблицей, со всеми нюансами, разобрали множество примеров (и не самых тривиальных) и познакомились с простейшими приёмами сведения интегралов к табличным. И так мы теперь будем поступать всегда. Какая бы страшная функция ни стояла под интегралом, с помощью самых разнообразных преобразований мы будем добиваться того, чтобы, рано или поздно, наш интеграл, так или иначе, свёлся к набору табличных.
Несколько практических советов.
1) Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе — одинокая степень икса, то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1-2.
2) В тригонометрических конструкциях в первую очередь пробуем базовые формулы тригонометрии — двойного/тройного угла, основные тригонометрические тождества:
Может очень крупно повезти. А может и нет…
3) Где нужно (особенно в многочленах и дробях), применяем формулы сокращённого умножения:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
и так далее…
4) При интегрировании дробей с многочленами пробуем искусственно выделить в числителе выражение(я), стоящее(щие) в знаменателе. Очень часто дробь упрощается и интеграл сводится к комбинации табличных.
Ну что, друзья? Я вижу, интегралы вам начинают нравиться. 🙂 Тогда набиваем руку и решаем примеры самостоятельно.) Сегодняшнего материала вполне достаточно, чтобы успешно с ними справиться.
Что? Не знаете, как интегрировать арксинус/арккосинус ? Да! Мы этого ещё не проходили.) Но здесь их напрямую интегрировать и не нужно. И да поможет вам школьный курс!)
Ответы (в беспорядке):
Для лучших результатов настоятельно рекомендую приобрести сборник задач по матану Г.Н. Бермана. Классная штука!
I. Табличное интегрирование
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам называется непосредственным интегрированием.
Таблица интегралов (u=u(x)):
Пример I.1. Вычислить интеграл
Пример I.1а. Вычислить интеграл
II. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала
Если известен интеграл , то следующие интегралы могут быть вычислены с помощью линейного преобразования выражения под знаком дифференциала:
Пример II.1. Вычислить интеграл
III. Подведение (внесение) под знак дифференциала.
Один из множителей подынтегральной функции можно подвести под знак дифференциала. Для этого необходимо вычислить первообразную этого множителя и записать ее под знаком дифференциала. В дальнейшем все дополнительные вычисления и рассуждения будем записывать между двумя вертикальными чертами.
!Совет. Если после внесения одного из множителей под знак дифференциала возникли затруднения в дальнейших действиях, смело заменяйте полученное выражение под знаком дифференциала на новую переменную.
Пример III.1. Вычислить интеграл
IV. Замена переменной под знаком интеграла (подстановка)
В неопределенном интеграле переменную интегрирования можно заменить на непрерывную и дифференцируемую функцию от другой переменной:
Пример IV.1. Вычислить интеграл
V. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
При интегрировании выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе:
необходимо использовать подстановку: .
Пример V.1. Вычислить интеграл
Пример V.1а. Вычислить интеграл
VI. Интегрирование по частям.
Формула интегрирования по частям
Случаи применения формулы интегрирования по частям:
1. Через Tr(x) обозначена тригонометрическая функция, Pn(x) означает многочлен степени n, а в квадратных скобках перечислены функции, к которым применима данная формула.
2. Во втором пункте вместо многочлена можно подставлять и степенную функцию.
Пример VI.1. Вычислить интеграл
Пример VI.2. Вычислить интеграл
Пример VI.3. Вычислить интеграл
VII. Интегрирование рациональных дробей.
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов: R(x) = , где Pm(x) – многочлен степени m, а Qn(x) – многочлен степени n.
Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе m < n, и неправильной, если m ≥ n.
Теорема. Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), если разделить числитель на знаменатель.
Например, дробь — неправильная. Разделим числитель на знаменатель:
Здесь целая часть равна (х — 1) , остаток деления равен (2х + 1) и, следовательно,
наша рациональная дробь представляется в следующем виде:
Определение. Правильные рациональные дроби вида
где A, B, C, E, L, K, a, p, q — действительные числа, называются простейшими рациональными дробями.
Теорема. Всякий многочлен с действительными коэффициентами Qn(x), степень которого выше двух (n > 2), можно разложить на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, то есть многочлен можно представить в виде:
Здесь k1+k2+…+ks +l1 +l2 +…+ lr = n и все квадратные трёхчлены не имеют действительных корней, то есть их дискриминанты меньше нуля.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители :
можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей:
Алгоритм разложения:
Привести дробь к правильному виду (в дальнейшем будем рассматривать только правильную дробь).
Найти корни знаменателя правильной дроби и разложить его на линейные и квадратные множители.
Представить дробь в виде суммы всевозможных различных простейших дробей, в знаменателях которых стоят всевозможные множители знаменателя, а в числителях соответствующей степени многочлены с неопределенными коэффициентами.
! Контроль. Число неопределенных коэффициентов должно равняться степени многочлена в знаменателе исходной дроби.
Привести сумму простейших дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем является знаменатель исходной дроби.
Приравнять числители получившейся и исходной дроби. Вычислить неопределённые коэффициенты. Для этого можно воспользоваться двумя способами: 1) приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х в числителях многочленов в правой и левой частях равенства; 2) подставить вместо х конкретные числовые значения (в первую очередь – корни знаменателя). Лучше всего комбинировать эти два способа.
Общее правило интегрирования рациональных дробей:
Если под знаком интеграла стоит неправильная дробь, то путём деления числителя на знаменатель, её нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рациональных дробей.
Вычислить интеграл от многочлена и каждой из простейших рациональных дробей.
Пример VII.1. Вычислить интеграл
Находим неопределённые коэффициенты: подставляя х = -1, получим 2 = D; сравнивая коэффициенты при х 3 , имеем А = 0. Выписываем коэффициенты при х 2 : 1 = 3A + B, следовательно, В = 1. При х = 0 имеем: 1 = A + B + C + D и С = 2.
Подставляем полученные коэффициенты в разложение:
Находим интегралы от простейших дробей
Пример VII.2. Вычислить интеграл
Решение: Так как дробь является неправильной, разделим числитель на знаменатель: