Частица в момент времени t 0 находится в состоянии где а и а некоторые постоянные

Частица в момент времени t 0 находится в состоянии где а и а некоторые постоянные

IV. Среднее значение динамических переменных. Операторы.

26. (к.р. 4.2) Найти результат действия оператора px на волновую функцию Psi(x,y,z,t)=exp(ipx/h)*Ф(y,z,t), где Ф – произвольная функция.

27. (к.р. 4.3) Проверить операторное тождество dx/dx=1+xd/dx

28. (к.р. 4.4) Частица совершает одномерное движение и в момент времени t=0 находится в квантовом состоянии Psi(x)=A*exp(-x^2/a^2+ikx), где k,A и a – некоторые постоянные. Найти <x>, <px>, <T>.

29. (д.р. 4.1) Выражение [A,B]=AB-BA называется коммутатором операторов А и В. Доказать, что [x,py]=0, [x,px]=ih, [Lx, Ly]=ihLz.

30. (д.р. 4.2) Частица совершает одномерное движение на интервале 0 < x < l и её волновая функция имеет вид Psi(x)=A*sin(pi*x/l). Найти:
а) постоянную А
б) средние значения <x>, <px>, <T>

43. (з.р 6.2-6.4). Вычислить коммутаторы операторов
а) (з.р 6.2) [px,Lz]
б) (з.р 6.3) [x^2,px]
в) (з.р 6.4) [y,T] , где T=p^2/2m – оператор кинетической энергии частицы

44. (з.р 8). Частица движется в центральном силовом поле с потенциальной энергией U(r). Доказать, что оператор квадрата момента импульса L^2 и оператор Lz коммутируют с гамильтонианом частицы. Какие отсюда следуют выводу относительно стационарных состояний частицы?

Moi_zadachi_po_KMSF

Оценить промежуток времени , за который равномерно движущийся вокруг ядра атома водорода по окружности радиуса r₀=0.5310 -8 см., упал бы на ядро из-за потери энергии на излучение.

Ответ:

()

Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с длинами волн де Бройля ₁ и ₂. Найти длины волн этих частиц в системе их центра масс.

Ответ:

Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером

Ответ: (при условии )

Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими “стенками”. Оценить силу давления частицы на стенки при минимально возможном значении её энергии Е_мин.

Ответ: = 2Е_мин/, (при условии ).

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

Ответ: , = 0.53 (при условии ).

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию в поле U(x) = ax (a>0).

Ответ:

Найти собственное значение оператора , принадлежащее волновой функции .

Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра атома водорода в состоянии 2р.

Ответ: ₀ = 4a₀ (, , – первый боровский радиус)

Определить энергию электрона атома водорода в стационарном состоянии:

, где A, b и α – некоторые постоянные.

Так как волновая функция зависит только от r, то уравнение Шредингера в сферической системе координат имеет вид

, (1.1)

где . Удобно представить волновую функцию в виде

(1.2)

В результате получаем уравнение

(1.3)

(1.4)

Приравнивая коэффициенты при степенях r, получаем:

(1.5a)

(1.5b)

k = 0 (1.5c)

Из первого равенства следует, что

(1.6)

А) Если b=0, то из (1.5c) мы получаем энергию основного состояния

(= — 13.6 eV) (1.7)

(1.8)

Значение , отвечающее условию b≠0 находится из решения квадратного уравнения (1.5b). Постоянная , а энергия (отвечающая значению n=2) в соответствии с (1.6) равна

(1.9)

Найти возможные значения энергии частицы массы m, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме (U(r)=0 при r < r₀ и U(r) = ∞ при r > r₀) для случая, когда волновая функция зависит только от r.

Ответ: (Указание: воспользоваться подстановкой и учесть, что волновая функция должна оставаться конечной при ).

Волновая функция частицы в сферически-симметричном центральном поле имеет вид , где a — некоторая постоянная. Найти

Ответ:

Частица находится в сферически-симметричном центральном поле в состоянии , где r – расстояние от центра, a- некоторая постоянная. Найти

Ответ:

Частица в момент времени t=0 находится в состоянии , где A и a- некоторые постоянные. Найти: .

Ответ: .

Найти вероятность D прохождения частицы с массой и энергией Е сквозь потенциальный барьер .

Ответ:

Определите среднее значение координаты электрона в одномерной яме шириной с бесконечно высокими “стенками”.

Ответ:

Найти среднее значение кинетической энергии K электрона в одномерной яме шириной />с бесконечно высокими “стенками”, если волновая функция имеет вид

.

Ответ:

Найти плотность состояний электрона в двумерной яме с размерами и b с бесконечно высокими “стенками”.

Ответ:

Найти максимально возможный полный механический момент и спектральный символ терма атома с электронной конфигурацией 1s 2 2p3d

Ответ: 3 F₄

Найти кратность вырождения основного терма атома с единственной незаполненной подоболочкой d 6 .

Ответ: J = 4, 2J+1 = 9

Вычислить модуль магнитного момента атома в состоянии с квантовыми числами

S=1, L=2 и фактором Ланде g =4/3.

Ответ:

Вычислить фактор Ланде для термов: а) 3 P₀ ; б) 4 D_1/2 ; в) 6 F_1/2; г) 5 P₁.

Ответ: а) g = 0/0; б) g = 0; в) g = — 2/3; г) g = 5/2.

Элементы квантовой статистики

Покажите, что при очень малом параметре вырождения распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в распределение Максвелла-Больцмана.

Определите значение функции распределения для электронов, находящихся на уровне Е для случая E — E_F << kT, пользуясь: а) статистикой Ферми-Дирака; б) статистикой Максвелла-Больцмана.

Частица в момент времени t 0 находится в состоянии где а и а некоторые постоянные

Задача № 5.152.

Частица в момент находится в состоянии , где и — постоянные . Найти:

б) — среднее значение проекции импульса.

Волновая функция имеет вид:

В квантовой механике среднее значение физической величины в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией , определяется следующим выражением:

где — оператор физической величины . интегрирование производится по всей области возможного нахождения частицы.

а) Найдём среднее значение координаты . В этом случае , тогда получим:

Этот интеграл равняется нулю, так как под интегралом стоит нечётная функция. Таким образом, мы получили, что среднее значение координаты равняется .

б) Найдём среднее значение проекции импульса . В этом случае оператор проекции импульса равняется:

Здесь учитывается, что , согласно условию нормировки. Таким образом, получили, что среднее значение проекции импульса равняется .

Частица в момент времени t 0 находится в состоянии где а и а некоторые постоянные

В некоторый момент времени частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет вид , где и — некоторые постоянные, а — заданный параметр, имеющий размерность обратной длины. Найдите для данного состояния средние значения координаты и проекции импульса частицы .

Из постулатов квантовой механики следует, что среднее значение некоторой физической величины в состоянии, описываемом пси-функцией , определяется следующим образом:

где — оператор физической величины , а — функция, сопряжённая к пси-функции . Операторы физических величин, средние значения которых необходимо определить, имеют вид:

Определим постоянную в выражении для пси-функции, описывающей состояние частицы, используя условие нормировки:

Тогда пси-функция, описывающая состояние частицы, имеет вид:

Сопряженная к пси-функции (4) функция имеет следующий вид:

Подставляя в выражение (1) операторы физических величин, средние значения которых необходимо найти, и пси-функцию, описывающую состояние частицы, получим: