Периодичность функции как определить онлайн

Периодичность функции

Онлайн калькулятор для определения периодичности функции. Периодическая функция — это функция повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.

Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них называется основным.

$\left(a=\operatorname<const>\right)» /></p> <ul> <li><img decoding=$ : x^a

Узнать ещё

${T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}}$

где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.

Найти период функции:

Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции

${T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| 3 \right|}} = \frac{{2\pi }}{3}.$

$2)y = \frac{2}{7}\cos (\frac{\pi }{5} - \frac{x}{{11}})$

А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то

${T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{{2\pi }}{{\left| { - \frac{1}{{11}}} \right|}} = 2\pi \cdot 11 = 22\pi .$

$3)y = 0,3tg(\frac{{5x}}{9} - \frac{\pi }{7})$

А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции

${T_1} = \frac{T}{{\left| k \right|}} = \frac{\pi }{{\left| {\frac{5}{9}} \right|}} = \frac{{9\pi }}{5}.$

$4)y = 9ctg(0,4x - 7)$

А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть

Калькулятор периода и частоты

Инструкции: Используйте этот калькулятор периода и частоты, чтобы найти период и частоту заданной тригонометрической функции, а также амплитуду, сдвиг фазы и вертикальный сдвиг, когда это необходимо. Пожалуйста, введите периодическую функцию (Например: $f(x) = 3\sin(\pi x)+4$)

Калькулятор периода и частоты

При работе с периодическими функциями необходимо вычислить несколько важнейших параметров, которыми являются период ($P$) и частота ($f$).

Период $P$ периодической функции соответствует числу, удовлетворяющему следующему свойству:

для всех значений $x$. Обратите внимание, что не все функции имеют период. Те, которые имеют, называются периодические функции .

Период некоторых общих функций

Тригонометрические функции являются примерами периодических функций. Например, если мы рассмотрим функцию $f(x) = \sin x$, ее период равен $2\pi$, как показано на графике ниже:

Калькулятор Периода

Для $\cos x$ мы также имеем период $2\pi$. Посмотрите на график ниже:

Косинус - пример расчета периода

Период других тригонометрических функций

Вспомните, что косекант функции $\csc x$ является обратной к $\sin x$, это $\csc x = \frac<1><\sin x>$, поэтому период $\csc x$ также равен $2\pi$.

Аналогично, секущая функция $\sec x$ является обратной к $\cos x$, это $\sec x = \frac<1><\cos x>$, поэтому период $\sec x$ также равен $2\pi$.

Как насчет тангенса? Функция тангенса $\tan x$ немного отличается, потому что ее период равен $\pi$. Действительно, ее график выглядит иначе, чем график синуса и косинуса, но тангенс также периодичен. Одно из отличий заключается в том, что $\tan x$ имеет разрывы. Проверьте это:

Функция тангенса - пример расчета периода

Как и раньше, котангенс функции $\cot x$ является обратной к $\tan x$, с $\cot x = \frac<1><\tan x>$, поэтому период $\cot x$ также равен $\pi$.

Расчет частоты

Другим важным элементом, который необходимо учитывать для периодической функции, является частота ($f$), которая рассчитывается по периоду $P$ как:

Таким образом, частота является обратной величиной периода. И наоборот, период является обратной величиной частоты.

Например, какова частота $\sin x$? Следуя приведенной выше формуле, поскольку мы знаем, что для синуса период равен $P = 2\pi$:

\[f = \frac<1>

= \frac<1> <2\pi>\approx 0.1592\]

Этот калькулятор также вычислит амплитуду, сдвиг фазы и вертикальный сдвиг, если функция определена правильно. Эти параметры в значительной степени определяют поведение тригонометрической функции.

Если вам нужно построить график тригонометрической функции, используйте следующее построитель тригонометрических графиков .

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Пример №1 . Провести полное исследование функции $Провести полное исследование функции$ и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x) , и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая – вертикальная асимптота.

6) Находим и приравниваем ее к нулю: , откуда x₁ = -3, x₂ = 0, x₃ = 3. На экстремум надо исследовать только точку x=3 (точку x₂=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x₃=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x₃ функция имеет максимум, y_max(3)=-9/2. Найти первую производную функции

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0, следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке (0, ) и y”<0 на (, +∞), следовательно, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ∞). Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты установлено выше. Ищем горизонтальные: , следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , следовательно, y=-x – наклонная двусторонняя асимптота.

$Алгоритм исследования построения графика функции$

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:
Построить график функции

Пример №2 . Построить график функции .
Решение.
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞).
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем
; .
4. Точки разрыва x=0 , причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика.
Найдем наклонные асимптоты:
;
.
Наклонная асимптота имеет уравнение y=x .
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x =2. В промежутках x∈(-∞ ;0)∪(2; +∞) y’>0, следовательно, функция возрастает; в промежутке x∈(0;2) y'<0, функция убывает. Далее, находим ; y»(2)>0, следовательно, x=2 – точка минимума y_min=3.
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет.
Строим график функции.