Когда частное выражение равно 0 числитель должен быть равен 0

Дробь равна нулю

Дробная черта — это знак деления. При делении нуля на любое число, кроме нуля, получим нуль. На нуль делить нельзя.

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Решение многих задач в алгебре сводится к решению дробно рациональных уравнений, которые, в свою очередь, сводятся к уравнению типа «дробь равна нулю».

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

drob-ravna-nulyu

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

3) Проверить, нет ли среди корней уравнения «числитель равен нулю» значений, при которых знаменатель обращается в нуль. Если есть, их следует исключить.

4) Записать ответ.

$1)\frac{{{x^2} - 10x + 21}}{{{x^2} - 49}} = 0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x + 21 = 0\\ {x^2} - 49 \ne 0 \end{array} \right.$

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

${x^2} - 49 \ne 0$

Можно приравнять выражение, стоящее в левой части неравенства, к нулю, и решать как обычное неполное квадратное уравнение. Можно решать как уравнение, только вместо знака равенства каждый раз писать «≠».

$(x - 7) \cdot (x + 7) \ne 0$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

$x \ne 7;x \ne - 7$

При этих значениях переменной выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла (так как на нуль делить нельзя).

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

${x^2} - 10x + 21 = 0$

$a = 1;b = - 10;c = 21$

Ищем дискриминант. Так как b= -10 — чётное число, здесь удобнее воспользоваться формулой для D/4:

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 10}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot 21 = 4$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 10}}{2} \pm \sqrt 4 }}{1} = 5 \pm 2$

${x_1} = 5 + 2 = 7;{x_2} = 5 - 2 = 3.$

Первый из корней — посторонний (он не удовлетворяет условию x≠7), поэтому в ответ записывает только корень 3. Ответ: 3.

$2)\frac{{4x - 8{x^2}}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = 0$

Это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 8{x^2} = 0\\ 2{x^2} - 5x + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

$2{x^2} - 5x + 2 \ne 0$

$2{x^2} - 5x + 2 = 0$

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

$a = 2,b = - 5,c = 2$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 3}}{4}$

${x_1} = \frac{{5 + 3}}{4} = 2;{x_2} = \frac{{5 - 2}}{4} = 0,5$

$x \ne 2;x \ne 0,5.$

$4x - 8{x^2} = 0$

Общий множитель 4x выносим за скобки

$4x(1 - 2x) = 0$

$4x = 0;1 - 2x = 0$

$x = 0;x = 0,5$

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

$3)\frac{{3x - 12}}{{{x^2} - 4x}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 12 = 0\\ {x^2} - 4x \ne 0 \end{array} \right.$

${x^2} - 4x \ne 0$

$x \cdot (x - 4) \ne 0$

$x \ne 0;x \ne 4$

Переходим к решению уравнения 3x-12=0. Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известное — в другую с противоположным знаком:

$3x = 12$

$x = 4$

Полученный корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x≠4. Значит, исходное уравнение типа «дробь равна 0» корней не имеет.

решить уравнение 1:х=1:108+1:2(х+36) под делением подразумевается дробь

2) Переместим выражение в левую часть и изменим его знак.

1 / х — 1 / 108 — 1 / (2 * (х + 36)) = 0.

3) Запишем все числители над наименьшим общим знаменателем.

(108 * (х + 36) — х * (х + 36) — 54 * х) / (108 * х * (х + 36)) = 0.

4) Разделим 108 через скобки.

(108 * х + 3888 — х ^ 2 — 36 * х — 54 * х)/ (108 * х * (х + 36)) = 0.

5) Сократим подобные члены.

(18 * х + 3888 — х ^ 2) / (108 * х * (х + 36)) = 0.

6) Когда частное выражение равно 0, числитель должен быть равным 0.

18 * х + 3888 — х ^ 2 = 0.

7) Используем переместительный закон, чтобы изменить порядок членов и изменим их знак.

когда частное выражение равно 0 числитель должен быть равен 0 объяснение

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

0 12a9c6 2fa9d193 orig

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

quicklatex.com 8163517e900c48d258b7ee50dcc767b7 l3

quicklatex.com d88f8c9b00b4c9d75364017dc041178a l3

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

quicklatex.com b4989f87411ad4e2e680e4a3fb6ae739 l3

quicklatex.com d0886b6201494f2e6aae9bb65eb16ef3 l3

quicklatex.com 05b522ff5d7faf92e746cfe9829fa3a5 l3

quicklatex.com e64cfa00c59c092e8910df2daf80630c l3

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

quicklatex.com 263c9ef2d581ef8d714fd58b3cde4ee5 l3

quicklatex.com 230b4d41faf4d021191d8ebc4a47f89f l3

quicklatex.com 500f624c4d7fdac41a284f9d9a736ff2 l3

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

quicklatex.com c66fcdb385aba7dab88dc31766eaed19 l3

quicklatex.com c18f0f3933d9ea18d1c5eb9d221399eb l3

quicklatex.com a29897aef45cd6fe76db2eb34c386fc0 l3

Это уравнение равносильно системе

quicklatex.com 3cd196ba94026a17e0b7a1f1367ea54d l3

quicklatex.com 919b942127b416fb9be21215dd02d23f l3

quicklatex.com ee38c5cdf18484e7efd889f8894c32ef l3

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

quicklatex.com fc83f13bc8262899b694623d4c0e3411 l3

quicklatex.com ff7adbbd9fe0269f859b1a3166038bb7 l3

quicklatex.com 70df05e5e99ae03a486627703dace224 l3

quicklatex.com bcc5b4fac733e7956a64885e8fb46623 l3

quicklatex.com eff6b063284737c95f2aa752a00ced54 l3

quicklatex.com 554274a4f0538f4df0b2d91c47a0113f l3

Общий множитель 4x выносим за скобки

quicklatex.com bb9eae8b5e6b24f6b4ea9f22d1b1b643 l3

quicklatex.com 397a7e72bb7082015a0c81cd40fec2fb l3

quicklatex.com ae7ce006061cf6a9f1d0560c4823b8a0 l3

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

quicklatex.com 380c456d02e0a8b2bb84185db0e8addc l3

quicklatex.com 28721386f5b416d69128f262dad9e10d l3

quicklatex.com c5f6aaaad12b709268e5e9f2df040f75 l3

quicklatex.com 2b86437a9fad8f666c42703cd1b7b83f l3

quicklatex.com 666bbcfbc55150a512bbdf71524e4427 l3

quicklatex.com 66f1952e5ecbb291e74f7aa6016e6d24 l3

quicklatex.com 865f6a296fde54d4a2fd75ea66948f02 l3

quicklatex.com 4fdc2644cc828426a55e2eeaa7477d54 l3

quicklatex.com 45d9528dcda5bec756d92261aa65e131 l3

quicklatex.com 52678782d97cd78bcdce5582e94693aa l3

Решаем квадратное уравнение

quicklatex.com 095bfa9218b9f15484e657a91cef5f7f l3

quicklatex.com be23be10459a9efa526bf76c5d5f929c l3

quicklatex.com 7c52e47eb3d5039656b1462ab9ab8f89 l3

Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

quicklatex.com c75c9ecc1c2d163a005eef5bdf004d82 l3

quicklatex.com 6f508dea938e00a23954353c857f47de l3

Теперь решаем уравнение

quicklatex.com b14f55a7d7377f1e4091e06406fb19cf l3

quicklatex.com 544c091a5af34c793054871771c3d058 l3

quicklatex.com 6933a7f3a6b89ce05c6231120148e251 l3

quicklatex.com 6c055db248797d21f0f3d342e06817f2 l3

quicklatex.com e3c2e948c323d70393833df5f39e3159 l3

Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

402a6c35f2fb4890905528eee4bcea45

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Screenshot 1 3

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Screenshot 2 3

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Screenshot 3 2

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Screenshot 4 2

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

XZOT7QFScus

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Screenshot 5 1

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Screenshot 6 2

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Screenshot 7 1

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

i 1

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Screenshot 8 1

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Screenshot 9

Сократим и получим:

Screenshot 10

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

6 1

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Screenshot 11

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Screenshot 12

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Screenshot 13

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Когда частное выражение равно 0 числитель должен быть равен 0

drob-ravna-nulyu

— 10x + 21 = 0\\ — 49 \ne 0 \end \right.\]» width=»158″ height=»44″ />

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

$x \ne 7;x \ne - 7$

> = \frac \pm \sqrt > >> = \frac > \pm \sqrt 4 >> = 5 \pm 2\]» width=»313″ height=»51″ />

>> — 5x + 2>> = 0\]» width=»150″ height=»41″ />

— 5x + 2 \ne 0\]» width=»130″ height=»21″ />

> = \frac > > = \frac > > = \frac > \]» width=»318″ height=»40″ />

$4x = 0;1 - 2x = 0$

$x = 0;x = 0,5$

3x — 12 = 0\\ — 4x \ne 0 \end \right.\]» width=»135″ height=»43″ />

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

4) Записать ответ.

$1)\frac{{{x^2} - 10x + 21}}{{{x^2} - 49}} = 0$

$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 10x + 21 = 0\\ {x^2} - 49 \ne 0 \end{array} \right.$

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

${x^2} - 49 \ne 0$

$(x - 7) \cdot (x + 7) \ne 0$

$x - 7 \ne 0;x + 7 \ne 0$

$x \ne 7;x \ne - 7$

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

${x^2} - 10x + 21 = 0$

$a = 1;b = - 10;c = 21$

Ищем дискриминант. Так как b= -10 — чётное число, здесь удобнее воспользоваться формулой для D/4:

$\frac{D}{4} = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac = {\left( {\frac{{ - 10}}{2}} \right)^2} - 1 \cdot 21 = 4$

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

${x_{1,2}} = \frac{{ - \frac{b}{2} \pm \sqrt {\frac{D}{4}} }}{a} = \frac{{ - \frac{{ - 10}}{2} \pm \sqrt 4 }}{1} = 5 \pm 2$

${x_1} = 5 + 2 = 7;{x_2} = 5 - 2 = 3.$

$2)\frac{{4x - 8{x^2}}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = 0$

Это уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 8{x^2} = 0\\ 2{x^2} - 5x + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

$2{x^2} - 5x + 2 \ne 0$

$2{x^2} - 5x + 2 = 0$

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

$a = 2,b = - 5,c = 2$

$D = {b^2} - 4ac = {( - 5)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} = \frac{{ - ( - 5) \pm \sqrt 9 }}{{2 \cdot 2}} = \frac{{5 \pm 3}}{4}$

${x_1} = \frac{{5 + 3}}{4} = 2;{x_2} = \frac{{5 - 2}}{4} = 0,5$

$x \ne 2;x \ne 0,5.$

$4x - 8{x^2} = 0$

Общий множитель 4x выносим за скобки

$4x(1 - 2x) = 0$

$4x = 0;1 - 2x = 0$

$x = 0;x = 0,5$

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

$3)\frac{{3x - 12}}{{{x^2} - 4x}} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 12 = 0\\ {x^2} - 4x \ne 0 \end{array} \right.$

${x^2} - 4x \ne 0$

$x \cdot (x - 4) \ne 0$

$x \ne 0;x \ne 4$

$3x = 12$

$x = 4$

когда частное выражение равно 0 числитель должен быть равен 0 объяснение

Таким образом, дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Схематически решение уравнения типа «дробь равна нулю» можно изобразить так:

Таким образом, чтобы решить уравнение типа «дробь равна нулю», надо:

1) Найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2) Приравнять к нулю числитель и решить получившееся уравнение.

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль:

Решаем уравнение, в котором числитель равен нулю.

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

Это уравнение равносильно системе

Его корни — значения переменной, при котором выражение, стоящее в левой части уравнения, не имеет смысла.

Общий множитель 4x выносим за скобки

Второй корень не подходит (он не удовлетворяет условию x≠0,5).

Решаем квадратное уравнение

Так как D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

Теперь решаем уравнение

Посторонних корней нет (оба корня удовлетворяют условию x≠1/4).

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.