Как доказать что функция дифференцируема в точке

11. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=Ax + x, где А — некоторое число, не зависящее от x, а — функция аргументаx, является бесконечно малой при x0.

Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=Ax + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+. Из этого равенства вытекает существование производной, т.е.lim(x0)=A

2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim(x0) =f ’(x)

В силу определения предельного значения функция =-f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x0, т.е. y= f’’(x) x +x, где lim(x0)=0. Это представление совпадает с представлениемy=Ax + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

[ u(x) ]’ = u’(x)v’(x),

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

Док-во: По условию теоремы существует конечная производная f ‘(с). Так как функция y=f(x) имеет в точке с локальный экстремум, то она не может в этой точке с не возрастать, ни убывать. Значит в силу леммы о достаточном условии возрастания и убывания функции в точке ( Если функция y=f(x) дифференцируема в точке с и f ’(c) >0 ( f ‘(c)<0 ), то функция y=f(x) возрастает (убывает) в точке с ), f ‘(c) не может быть ни положительной, ни отрицательной. Следовательно, f ‘(c)=0. ч.

Геометрически теорема Ферма утверждает, что если в той точке кривой y=f(x), в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Оx.

Опр., которые встречаются в теореме Ролля:

Опр непрерывности: Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если предельное значение этой функции в точке а существует и равно частному значению f(a).

Опр производной функции: Производная функции y=f(x) в данной фиксированной точке x называется предел при x0 разностного отношения

(при условии, что этот предел существует).

Опр: Функция f(x) называется ограниченной сверху(снизу), на множестве , если найдется такое вещественное число М(число m), что для всех значений аргумента x на множестве справедливо неравенство: f(x)M (f(x)m) при этом М — верхняя грань (m-нижняя грань) функции f(x).

Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши)

Теорема Коши. Если каждая из двух функций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная g ‘(x) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a,b], то внутри этого сегмента найдется точка ζ, такая, что — обобщенная формула конечных приращений или формула Коши.

Док-во: Докажем, что g(a)g(b). В самом деле, если бы это было не так, то для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Роля и по этой теореме внутри сегмента [a,b]нашлась бы точка ζ : g ‘(ζ)=0. А это противоречит условию теоремы. Итак, g(a) g(b), поэтому можно рассмотреть следующую вспомогательную функцию:

. В силу требований, наложенных на функции f(x) и g(x), функция F(x) непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках сегмента. Кроме того, очевидно, что F(a)=F(b)=0. Т.е. для F(x) выполнены все условия теоремы Роля. Согласно этой теореме внутри сегмента найдется точка ζ : F(ζ)=0. Т.к. имеем. Учитывая, чтоg’(ζ) 0 получим формулу Коши.

11.2. Свойства дифференцируемых функций

Будет ли функция иметь предел в точке, в которой существует ее производная? Будет ли непрерывной дифференцируемая функция? Эти вопросы возникают сразу же, потому что и понятие производной, и понятие непрерывности имеют общую первооснову – понятие предела.

ТЕОРЕМА 1. Если функция имеет производную на множестве X, то она непрерывна на этом множестве.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из условия теоремы следует, что отношение имеет конечный предел для любого X из множества X при , то есть:

По теореме, определяющей необходимое и достаточное условие существования предела, будем иметь:

Где – бесконечно малая функция при , стремящемся к нулю.

Находим приращение функции:

Оно складывается из двух бесконечно малых функций при , поэтому их сумма бесконечно мала, что и доказывает непрерывность функции .

Дифференцируемая функция непрерывна, значит, она имеет и предел в соответствующих точках.

Рис. 11.2. Пример функции, недифференцируемой

В отдельной точке.

Если непрерывная функция не имеет производную в некоторой точке, то можно ли эту функцию переопределить в этой точке так, чтобы она стала дифференцируемой?

Непрерывность функции является, однако, лишь необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости. Например, рассмотрим функцию (рис. 11.2). Она может быть представлена в виде

Дайте определение бесконечной производной.

Изобразите схематично графики непрерывных функций, имеющих бесконечную производную.

Если взять приращение аргумента в окрестности нуля

Может ли функция, у которой производная обращается в бесконечность, иметь в этой точке:

А) устранимый разрыв;

Б) разрыв первого рода;

В) разрыв второго рода?

То слева от этой точки

Если производная функции конечна для , то может ли сама функция быть бесконечно большой в этой точке?

При как слева, так и справа от точки 0, , то есть, непрерывна в нуле, однако

Это означает, что

Не существует, следовательно, при эта функция не является дифференцируемой.

Докажем теорему, позволяющую обосновать вычисление производных суммы, разности, произведения и частного двух функций.

ТЕОРЕМА 2. Если и дифференцируемы на множестве X, то производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных

(11. 1)

Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой из них на вторую функцию, и первой функции на производную второй функции.

(11. 2)

Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной делимого на делитель и производной делителя на делимое, а знаменатель есть квадрат делителя.

(11. 3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Можно ли представить дифференцируемую функцию в виде суммы двух недифференцируемых?

Пусть аргумент x получает приращение . Тогда функции и будут иметь приращения и соответственно. Пользуясь определением производной, находим:

Это правило позволяет в случае необходимости выносить числовой множитель за знак производной, разбивать функцию на слагаемые, если производная каждого из них существует. В частности, при и имеем:

Так как предел последнего слагаемого равен нулю, потому что

.

Почему при и ?

ТЕОРЕМА 3. Если для функции существует обратная функция и в рассматриваемой точке Х производная , то обратная функция в соответствующей точке дифференцируема, причем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Придадим значению у приращение , тогда функция получит приращение , которое также отлично от нуля. Действительно, если бы , то , что невозможно. Следовательно, можно записать:

Пусть , тогда, в силу непрерывности обратной функции, и , поэтому

(11. 4)

ТЕОРЕМА 4. Если функция дифференцируема в точке T, а функция дифференцируема в точке X, то сложная функция дифференцируема в точке T, причем

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Дадим аргументу t приращение . Тогда функция Получит приращение . Оно, в свою очередь, вызовет приращение функции , равное . Согласно определению, при будем иметь:

Доказать, что производная четной функции – нечетна, а нечетной – четна.

Возможность перехода от предела при к пределу при оправдана тем, что дифференцируема, а значит, непрерывна, поэтому бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . Это и доказывает теорему.

Рассмотренные свойства дифференцируемых функций приблизили нас к возможности непосредственного вычисления производных.

ФизМат

Теорема
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке , т.е. . Разделив обе части данного равенства на , получим: .

Из определения производной функции в точке: .

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке и .

Достаточность. Пусть существует конечная производная . Покажем дифференцируемость функции. .

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство

Справедливость утверждения следует из и , а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Обратное утверждение не верно.

Например, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

1. Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

2. Дифференциальная функции, его геометрический смысл.

3. Свойства дифференциала, инвариантность его формы.

4. Дифференциал высших порядков.

Введение.

Дифференцирование функции есть одна из важнейших операций математического анализа, которую мы должны поэтому тщательно изучить. Учение о правилах дифференцирования и о свойствах производных называется дифференциальным исчислением и составляет собой один из основных разделов математического анализа. В первую очередь мы должны овладеть рядом как общих правил, так и специальных приемов дифференцирования, которые в конечном счете позволят нам находить производные и дифференциалы весьма широкого класса функций, в том числе – всех элементарных функций.

Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке можно представить в виде

где А – некоторое число, не зависящее от , а — функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.

Теорема1. Для того чтобы функция была дифференцируема в необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной – понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Установим связь между понятием дифференцируемости и непрерывности.

Теорема2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке.

Например, функция непрерывна в точке , но производной в этой точке не имеет. Действительно, .

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то будем говорить, что функция дифференцируема на данном промежутке.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: