Сколько окружностей можно вписать в сегмент круга

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Disk_pack11.svg

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Окружности, вписанные в сегменты, и касательные

Задача 0.1 В окружности w проведена хорда AB , точка M — середина одной из дуг AB . В сегмент s окружности w , стягиваемый хордой AB и не содержащий точку M , вписана окружность w 1 , касающаяся хорды AB и окружности w в точках P и Q соответственно (рис.1). Докажите, что прямая PQ проходит через M .

Задача 0.2 Докажите, что в условиях задачи 0.1 точка M имеет одну и ту же степень относительно всевозможных окружностей w 1 , вписанных в сегмент s . Эта степень равна MA 2 .

Напомним, что степень точки относительно окружности — это произведение отрезков секущей от данной точки до двух точек пересечения с окружностью, взятое со знаком «+», если точка лежит вне окружности, и со знаком «-«, если внутри. Как известно, указанное произведение не зависит от выбора секущей. Далее, множество точек плоскости, имеющих одинаковые степени относительно двух различных окружностей есть прямая, перпендикулярная линии центров этих окружностей (докажите). Эта прямая называется радикальной осью двух данных окружностей. Если окружности пересекаются, то радикальная ось проходит через точки пересечения окружностей. Предыдущая задача утверждает, таким образом, что радикальная ось любой пары окружностей, вписанных в сегмент s , проходит через M .

1. Параллельные касательные.

Задача 1.1 Треугольник ABC вписан в окружность w . A 0 , B 0 — середины сторон BC и CA соответственно; A ‘, B ‘ — середины дуг BC и CA , не содержащих A и B соответственно. Построим на отрезках A 0 A ‘ и B 0 B ‘ как на диаметрах окружности w A и w B . Докажите, что общая касательная к окружностям w A , w B , «ближайшая» к AB , параллельна AB .

Задача 1.2 Задачу 1.1 можно обобщить следующим образом. Пусть треугольник ABC вписан в окружность w . A 0 , B 0 — точки на сторонах BC и CA соответственно, такие что прямая A 0 B 0 параллельна AB . В сегменты, стягиваемые хордами BC и CA окружности w , не содержащие A и B соответственно, вписаны окружности w A , w B , касающиеся хорд BC и CA в точках A 0 , B 0 . Докажите, что общая касательная к окружностям w A , w B , «ближайшая» к AB , параллельна AB (рис.2).

Задача 1.3 Пусть в обозначениях задачи 1.2 A ‘, B ‘ — точки касания окружностей w 1 , w 2 с окружностью w , C ‘ — середина дуги AB , не содержащей C . Обозначим K A , K B точки пересечения отрезков AC и B ‘ C ‘, CB и C ‘ A ‘ соответственно. Докажите, что прямая K A K B параллельна AB . Если точки A 0 , B 0 — середины сторон BC и CA , то прямая K A K B проходит через центр вписанной окружности D ABC .

2. Равные касательные.

Задача 2.1 Пусть треугольник ABC вписан в окружность w , точки A 0 , B 0 , C 0 — середины его сторон, точки A ‘, B ‘, C ‘ — середины дуг BC , CA , AB окружности w , не содержащих соответственно A , B , C . Построим на отрезках A 0 A ‘, B 0 B ‘ и C 0 C ‘ как на диаметрах окружности w A , w B и w C . Для каждой пары из этих трех окружностей проведем общую внешнюю касательную, «ближайшую» к соответствующей стороне D ABC . Обозначим эти касательные l A , l B , l C . Пусть прямая l A касается окружности w B в точке T AB . Аналогичным образом определим точки касания T BA , T BC , T CB , T CA , T AC . Докажите, что отрезки касательных T AB T AC , T BC T BA и T CA T CB равны (рис.3).

Задача 2.2 В обозначениях задачи 2.1 докажите, что точки T AB , T BA , T BC , T CB , T CA , T AC лежат на одной окружности. Какая точка является центром этой окружности?

Задача 2.3 В обозначениях задачи 2.1 пусть A » B » C » — треугольник, получающийся в пересечении прямых l A , l B , l C ( A » — точка пересечения l B и l C , и т. д.). Докажите, что T AC C »= T BC C »= A » B »= AB /4.

Таким образом, отрезки касательных T AB T AC , T BC T CB и T CA T AC равны «покусочно», а D A » B » C » всегда гомотетичен D ABC с коэффициентом -1/4. Длина каждого из отрезков T AB T AC , T BC T BA , T CA T CB равна четверти периметра D ABC .

Задача 2.4 В обозначениях задачи 2.1 пусть p A — прямая, проходящая через A ‘ перпендикулярно линии центров окружностей w B , w C . Аналогично определим прямые p B , p C . Докажите, что прямые p A , p B , p C проходят соответственно через точки A », B », C » и пересекаются в одной точке.

Задача 2.5 В окружность w вписан четырехугольник ABCD . В сегменты, стягиваемые хордами AB , BC , CD , DA вписываются окружности, касающиеся соответствующей хорды в ее середине. К парам окружностей, касающихся последовательных сторон четырехугольника, проведены внешние касательные, «ближайшие» к диагоналям (рис 4). Докажите, что в пересечении этих касательных получается ромб тогда и только тогда, когда ABCD — равнобокая трапеция.

3. Схема решения задач.

Приводим схему геометрического решения

Задачи 1.1-1.2 а) Пусть I 0 — центр вписанной окружности треугольника A 0 B 0 C . Если T CA — ближайшая к прямой AB точка окружности w A , то середина дуги AB (точка C ‘), T CA и A ‘ лежат на одной прямой (задача 0.1). Также T CA , A 0 и I 0 лежат на одной прямой.

б) Если A 0 , B 0 — середины сторон D ABC , то точки C ‘, T CB , T CA , I 0 лежат на одной окружности. Подсчет углов дает параллельность T CA T CB и AB

в) Пусть A 0 , B 0 таковы, что A 0 B 0 параллельна AB . A 0 A ‘ проходит через середину дуги BAC . Отсюда подсчетом углов получаем, что точки A 0 , A ‘, I 0 , C лежат на одной окружности.

г) Треугольники C ‘ I 0 T CA и C ‘ A ‘ I 0 подобны, и значит C ‘ T CA * C ‘ A ‘= ( C ‘ I 0 ) 2 . Следовательно, C ‘ имеет одну и ту же степень относительно окружностей w A , w B .

Задача 1.3 Применим теорему Дезарга к треугольникам I 0 A 0 B 0 и C ‘ K A K B . Если A 0 , B 0 — середины сторон D ABC , то K A K B проходит через центр вписанной окружности по теореме Паскаля (рис.5).

Задача 2.1 а) Точки B ‘, T CB , T BC , C ‘ лежат на одной прямой.

б) Из подсчета углов вытекает, что D A » T CB T BC равнобедренный: A » T CB = A » T BC .

Задача 2.2 Центр окружности совпадает с центром вписанной окружности D A » B » C ». Нетрудно показать, что он равноудален от всех точек касания.

Задача 2.3 Пусть O C — центр окружности w C . Тогда треугольники C » T AC O C и AC 0 C ‘ подобны с коэффициентом 1/2. Отсюда T AC C »= T BC C »= AB /4. Аналогично T BA A »= T CA A »= BC /4 и T CB B »= T AB B »= CA /4. Из задачи 2.1 следует, что A » B »=(1/4) AB + c , B » C »=(1/4) BC + c , C » A »=(1/4) CA + c , где c — некоторая константа. Но A » B »: AB = B » C »: BC = C » A »: CA из подобия, отсюда c =0 в случае неравностороннего D ABC . Случай равностороннего D ABC легко разобрать отдельно; также можно рассмотреть его как предел неравносторонних треугольников.

Задача 2.4 Прямые p A , p B , p C — радикальные оси пар окружностей из w A , w B , w C .

Задача 2.5 Из предыдущих задач следует, что указанный четырехугольник всегда параллелограмм. Если четырехугольник — ромб, то легко видеть (рис.4), что T AB T AD + T CB T CD — T BA T BC — T DA T DC =0 или (1/4)( p ABD + p CBD — p ABC — p DBC )=0, откуда следует равенство диагоналей AC и BD .

Сколько окружностей поместится в круге

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Круги в круге

Задача

Чему равен наименьший радиус круга, в котором можно разместить без наложений 7 единичных кругов? Обоснуйте ваш ответ.

Примечание. Единичный круг — круг радиуса 1. «Без наложений» означает, что круги могут касаться, но не должны иметь общих внутренних точек.

Подсказка 1

Радиус равен 3, а «оптимальная картинка» выглядит именно так, как вы ее себе, скорее всего, и представили (рис. 1).

Подсказка 2

Удобно избавиться от понятия «наложение», перейдя от этой задачи к такой:
Рассмотрим вместо кругов только их центры. В круг какого наименьшего радиуса можно их все уместить?

В «оптимальной картинке» все центры являются вершинами и центром правильного шестиугольника со стороной 2 (рис. 2). При этом расстояние между любыми двумя вершинами и центром такого шестиугольника тоже равно 2, поэтому все точки лежат в круге радиуса 2. Нужно обосновать, что все эти точки нельзя уместить в круг меньшего радиуса. Для этого попробуйте рассмотреть случаи, сколько именно (из шести отличных от центра) точек образуют выпуклый многоугольник.

Решение

Будем действовать методом «от противного». Предположим, что шесть точек с попарным расстоянием 2 (или большим двух), удалось поместить в круг радиуса R BA и CH > CA. То есть при сдвиге A в H расстояния до точек B и C увеличились.

Наконец, если все точки лежат на единичной окружности, то они делят ее на 6 дуг, поэтому длина наименьшей из дуг не больше, чем 1/6 длины окружности, то есть не больше 2π/6. Это значит, что величина центрального угла этой дуги также не превышает 2π/6, а значит, расстояние между двумя точками, являющимися концами этой дуги, не больше 2sin(π/6) = 1.

Послесловие

Эта задача является примером огромного класса так называемых «минимаксных» задач вычислительной геометрии. В минимаксных задачах ищется наибольшее возможное значение какой-то величины, которая сама определена как наименьшее значение другой величины. В нашем случае минимаксная задача (к которой мы свели исходную) была такой: сначала среди всех 15 попарных расстояний между шестью точками в единичном круге выбирается наименьшее, а затем ищется такая конфигурация шести точек, для которой это расстояние будет максимальным из возможных.

Приведенное нами утверждение и его доказательство принадлежат замечательному американскому математику Рональду Грэхему (Ronald Graham), они опубликованы в 1968 году. Грэхем доказал даже более общую оценку для наименьшего расстояния d между какими-то из k точек, лежащих в единичном круге. Эта оценка имеет вид

(то есть d не превышает наибольшего из двух чисел — единицы и удвоенного синуса). Оценка Грэхема является оптимальной для 2 ≤ k ≤ 7, то есть существуют картинки, для которых достигаются значения из правой части этого неравенства. Для больших значений k указанная оценка неточна, поскольку она дает d ≤ 1, а на самом деле наибольшее из возможных значений минимального расстояния между точками строго меньше 1.

Естественное обобщение нашей задачи — поиск кругов наименьшего радиуса, в которые можно поместить N единичных кругов (или, что то же самое, поиск решения минимаксной задачи об N точках в единичном круге). В этом поиске усилия математиков сконцентрировались на двух направлениях — компьютерном моделировании и доказательствах оптимальности. Ниже на рис. 5 показаны несколько очевидных оптимальных картинок.

Оптимальность первых трех из них следует из приведенного выше результата Р. Грэхема. Оптимальность последней (для 8 кругов) была доказана в 1963 году голландцем Boele L. J. Braaksma в его диссертации под труднопроизносимым названием «Асимптотические расширения и аналитические продолжения для одного класса интегралов Барнса». Следующее продвижение, а также оптимальность вот такой вот картинки (рис. 6) с двумя внутренними кругами (для 10 кругов)

было получено немцем U. Pirl в 1969 году. Оптимальность аналогичной картинки для 11 кругов доказана еще на 25 лет позже, а для 12, 13 и 19 кругов — еще позже (последний из результатов — в 2003 году).

И. всё. Остальные результаты об упаковке кругов в круг на сегодняшний день находятся в состоянии «оптимальность предполагается, но не доказана». Так что просто полюбуйтесь на картинки (рис. 7) с доказанной оптимальностью (N = 12 и N = 19) и оцените: всего каких-то 15 лет назад это была терра инкогнита, обе задачи еще ждали своего решателя.

А следующие две картинки (для N = 14 и N = 15 соответственно) являются этой самой «инкогнитой» и сейчас (рис. 8). Дерзайте.

См. также:
1) Circle packing in a circle («Упаковка кругов в круг»). Достаточно детальная статья английской Википедии.
2) Circles in Circles. Страничка Эрика Фридмана, откуда мы позаимствовали большую часть иллюстраций. Там же на соседних страницах packing center рассказано о других задачах упаковки.
3) K. A. Dowsland, M. Gilbert, G. Kendall. A local search approach to a circle cutting problem arising in the motor cycle industry (PDF, 346 Кб). Статья в научном журнале Operational Research Society — международного сообщества, занимающегося исследованием операций, то есть научной дисциплиной, чья основная задача — обоснование оптимальности применения каких-либо научных достижений на практике.
В статье объясняется, как можно оптимизировать изготовление «звездочек» и других профилированных колёс (для зубчатых передач и др.) при производстве велосипедов и мотоциклов. С точки зрения математики — абсолютно ничего нового, но связь с практикой очень забавна. Интересно, появится ли когда-нибудь подобная статья для домохозяек — об оптимизации раскладывания котлет на сковородке?

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Но на деле она точно простая.

Разберём свежую задачу с канала MindYourDecisions. Это не про программирование, но развивает логическое мышление.

Дано: есть три одинаковых круга с диаметром в 1 метр. Круги соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута эластичная лента.

Что нужно: найти длину этой ленты.

Кажется, что это очень сложная задача, где нужно знать сложные формулы расчёта кривизны и точек натяжения, но на деле всё будет гораздо проще. Если знаете английский — посмотрите оригинальный ролик, там классная анимация:

Строим внутренний треугольник

Первое, что мы сделаем, — соединим центры всех кругов в один треугольник:

В геометрии есть такое правило, что если круги касаются друг друга, то через их центры можно провести прямую линию, и точка касания кругов будет лежать на этой линии. Раз у нас диаметр равен 1, то радиус каждого круга равен 0,5. Обозначим это на рисунке:

Получается, что длина каждой стороны треугольника равна 0,5 + 0,5 = 1. Запомним это и идём дальше.

Строим проекцию

От каждой вершины треугольника проведём под прямым углом линии к ленте:

Получились прямоугольники. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому раз стороны треугольника равны единице, то и эти отрезки на ленте тоже будут равны единице:

Осталось найти длину оставшихся секций:

Вычисляем длину секций

Здесь нам поможет знание о том, что полный оборот внутри круга — это 360 градусов.

Так как во внутреннем треугольнике все стороны равны, то это равносторонний треугольник. А раз так, то углы в нём равны 60 градусов. Добавим сюда по два прямых угла по 90 градусов из прямоугольников:

Решаем уравнение: 90 + 60 + 90 + X = 360 → X = 120 градусов.

Но 120 градусов — это ровно треть круга, а у нас таких частей как раз три:

Это значит, что из них можно составить один целый круг. При этом мы знаем, что у этого круга радиус 0,5, а диаметр тогда равен единице. Этого достаточно, чтобы посчитать длину окружности: L = π × d → L = 3,14.

Складываем это число с длинами трёх отрезков и получаем полную длину: 3 + π

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

сколько малых окружностей можно вписать в большую

Задача: сколько можно вписать одинаковых окружностей радиуса r в большую окружность радиуса R.

Решить в общем случае эту задачу никак не получается. Это вообще возможно ?
Я пока пришел к выводу что нет .
Тогда частный случай этой задачи: есть 30 ( +-10) окружностей радиуса r (пусть даже все численно известено). Вопрос: какого радиуса R нужно взять большую окружность, чтоб все эти маленькие в нее вписались?
Возникает вопрос а как компановать окружности? Я как ни размышлял, пришел к выводу что сначала заполнять с максимального удаления от центра и так кругами все ближе и ближе к центру. Но это хорошо если известен большой радиус и нужно посмотреть количество. А если радиус найти надо? Как будет правильно ?

Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. «Наука», Москва, 1974.

Эта задача рассматривается в книжке под номером 110. Там есть и ссылки на другую литературу. К моменту написания книги задача была решена для числа окружностей, не превосходящего 19.

Последний раз редактировалось age 21.08.2009, 18:34, всего редактировалось 1 раз.

Задача сводится к нахождению описанной окружности вокруг правильного n-угольника такого, что каждая его сторона будет равна двойному радиусу . Тогда радиус искомой окружности будет радиус описанной окружности вокруг данного n-угольника + r.
Пусть радиус данных окружностей $r$ . Тогда для количества окружностей равного $n$ получаем правильный n-угольник со стороной . Радиус описанной около него окружности будет:
$$R_n=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><n>>\right)$» /><br />Откуда радиус искомой окружности:<br /><img decoding=$ , когда расстояние между внутренними дугами двух вписанных противоположенных окружностей превысит , внутрь можно будет поместить еще окружность. Причем по тому же самому принципу. Поэтому можно рассчитать для любого $n$ .
Единственно, что надо потрудиться рассчитать сколько будет вложений. Тут согласен, что универсальная формула будет трудоемкой.
В частности, первую дополнительную окружность можно будет поместить начиная со значения $n$ такого, что $R\geq3r$ . Откуда
$R_n\geq2r$ или

$$\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><n>>\right)>\geq2r$» />. Откуда</p> <p><img decoding=$ .

Таким образом, начиная с $n=6$ для заданного радиуса уже поместится внутрь не $6$ , а $7$ окружностей.
Далее принцип тот же. Две окружности внутрь первого кольца окружностей поместить нельзя, только три. Расчет аналогичен. Когда число внтутренних окружностей достигнет $6$ внутрь них снова можно будет поместить новую окружность и так далее! Количество вложений колец может расти до бесконечности.
Является ли данный алгоритм единственным, сказать не могу. Но скорее всего, да.

— Пт авг 21, 2009 19:05:34 —

Для сорока окружностей необходимо будет посчитать число колец и как следствие число окружностей, которое в данное число колец уместится. Если число окружностей в первом (внешнем) кольце будет $p$ , то радиус внутреннего кольца, образованного вписанной в это кольцо окружности будет:
$$R_1=R_n-r=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><p_1>>\right)>-r$» />.<br />В свою очередь, в эту окружность поместится кольцо из окружностей с количеством, не большим:<br /><img decoding=$ и окружности в каждом. Таким образом, искомый радиус составил:
$$R_<40>=\dfrac<r><sin\left(\frac<\pi><20>>\right)>+r=7,392 r$» /></p> <div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>  <div>Похожие публикации:</div><ol> <li><a href=$ Введите данные для входа в почтовый ящик что делать