Найти расстояние между центрами окружностей: х²+y²=9 и x²+y²-8x+12=0
1. В общем виде центр окружности, заданной уравнением (x-a)»^»2 + (y-b)’^»2 = r»^»2, имеет координаты x = a, y = b.
2. Из этого определения координаты центра первой окружности — x1 = 0, y1 = 0.
3. Для определения координат центра второй окружности преобразуем ее уравнение к виду, приведенному в п. 1.
4. Прибавим и вычтем в левой части уравнения 4. Получим:
(x»^»2 — 8 * x + 12 + 4) — 4 + y»^»2 = 0.
5. Заметим, что выражение в скобках есть квадрат разности x и 4, то есть
(x»^»2 — 8 * x + 16) = (x — 4)»^»2.
6. Тогда уравнение второй окружности примет вид: (x — 4)»^»2 + y»^»2 = 4. То есть центр второй окружности имеет координаты x2 = 4, y2 = 0.
7. Расстояние L между центрами окружностей определится по формуле:
L»^»2 = (x1 — x2)»^»2 + (y1 -y2)»^»2.
8. Подставим значения, получим:
L»^»2 = (0 — 4)»^»2 + (0 — 0)»^»2 = 16. То есть, L = 4.
Взаимное расположение двух окружностей
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Взаимное расположение двух окружностей»
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, каким уравнением задается окружность с центром в точке 
и радиусом r.
Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.
Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.
;
;
– угловой коэффициент прямой.
Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.
Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения. Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать, Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух точках.
Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей равны, то окружности совпадают.
Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией центров данной пары окружностей.
В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от соотношения между величиной d и величинами радиусов окружностей. Для того, чтобы было понятно о какой окружности идет речь, радиус одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй окружности – за R. И будем считать, что 
.
Если 
, то очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.
Если 
, то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются.
Если 
, тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие окружности называют внутренне касающимися.
Если 
, то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися.
Если 
, то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.
Решим несколько задач.
Задача. Как располагаются окружности, если:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
.
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Рассмотрим еще одну задачу.
Задача. Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно 
, а наибольшее равно 
. Найдите радиусы этих окружностей.
Ответ: 
.
Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 
. Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна 
см.
(см)
Ответ: 
.
Задача. Даны два круга – один внутри другого. Через их центры проведен в большем круге диаметр, который делится окружностью меньшего круга на три части, равные 
. Найти расстояние между центрами кругов.
,
, 
.
Найдем радиусы окружностей.
Ответ: 
.
Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между центрами окружностей и их радиусами.
Уроки математики и физики для школьников и родителей
Возьмём круглый стакан, поставим его на лист бумаги и обведём его карандашом.
Если мы возьмём циркуль и установим неподвижно одну его ножку (с острым концом) в точку, а другую (с карандашом) будем вращать по плоскости вокруг неподвижной точки, не меняя раствора циркуля, то карандаш опишет замкнутую кривую линию, все точки которой будут находиться на одинаковом расстоянии от указанной неподвижной точки. Мы получим кривую линию, которая называется окружностью .
Окружность – геометрическая фигура, которая состоит из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки – центра окружности.
Внутренняя область окружности называется кругом . Граница круга его окружность.
Другими словами, окружность – это контур круга (то, что мы рисуем циркулем). Круг – та часть листа бумаги, которая остаётся внутри.
Точка, оставленная циркулем острым концом, называется центром окружности. Расстояние от центра до любой точки окружности называется её радиусом . Из построения следует, что все радиусы одной окружности равны между собой. Отрезок прямой линии, соединяющий две любые точки окружности и проходящий через её центр, называется диаметром . Диаметр равен двум радиусам. Следовательно, все диаметры одной окружности равны между собой. Диаметр окружности обычно обозначают буквой d или D . Диаметр равен двум радиусам:
d = 2r, D = 2R .
Если обвязать стакан ниткою, а потом разровнять её, то длина нитки будет приближённо равна длине нарисованной окружности.
Если обозначить длину окружности буквою С , а длину диаметра буквою d , то длину окружности находят по следующей формуле:
C = πd.
Так как диаметр окружности вдвое больше чем его радиус, то длина окружности с радиуса r равна 2πr . Получим другую формулу для длины окружности:
C = 2πr,
То есть, чтобы найти длину окружности, надо его диаметр умножить на π , или два радиуса умножить на π .
Расчёты показали, что с точностью до десятичных π ≈ 3,1415… . Если значение числа π округлить до сотых, то получим значение 3,14 . Примерно такую точность даёт значение π ≈ 22 / 7 .
Определить радиус окружности, если она длиннее своего диаметра на 107 см.
Обозначим длину окружности как С , а диаметр как D . Таким образом
С – D = 107.
Длина окружности равна
Полуокружность – дуга, концы которой являются концами диаметра окружности.
∪ СТ – полуокружность, так как отрезок СТ – диаметр.
Дуги окружности измеряются в градусах.
Отрезок прямой линии, соединяющий две любые точки окружности и не проходящий через её центр, называется хордой окружности.
Взаимное расположение прямой и окружности.
Известны три случая взаимного размещения прямой и окружности, если эта прямая и окружность лежат в одной плоскости:
– прямая и окружность не имеют общих точек ;
– прямая и окружность имеют одну общую точку ;
– прямая и окружность имеют две общие точки.
Перечислим условия, определяющие все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, в зависимости от расстояния между центром окружности и прямой.
– если расстояние от центра окружности до некоторой прямой больше радиуса, то эта прямая не имеет с окружностью общих точек, при этом окружность лежит по одну сторону от прямой ;
– касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённого в точку касания ;
– если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности ;
– если из данной точки провести две касательных к окружности, то отрезки касательных, которые соединяют данную точку с точками касания, равны.
Все точки касательной, кроме точки касания, лежат вне данной окружности. Действительно, если предположить, что на касательной имеется хотя бы одна точка, лежащая внутри окружности, то прямая должна пересекать окружность в двух точках, поэтому она не может быть касательной.
Прямая и окружность могут иметь только одну общую точку, но через эту точку может проходить бесконечное множество прямых, не лежащих с окружностью в одной плоскости.
Сколько общих точек имеет прямая и окружность, диаметр которой равен 8 см, если прямая расположена на расстоянии 5 см от центра окружности ?
Если диаметр окружности равен 8 см, тогда радиус будет равен 4 см. Расстояние от центра окружности до прямой – 5 см, значит, окружность и прямая не пересекаются.
Две окружности могут быть расположены так:
– окружности не имеют общих точек.
Они находятся: или одна вне второй окружности, в этом случае расстояние между центрами будет больше чем сумма радиусов, или одна в середине второй, в этом случае расстояние между центрами будет меньше чем разность радиусов.
– окружности имеют общую точку.
Окружности, которые имеют одну общую точку, называются касательными. Общую точку называют точкой касания. Говорят, что две окружности, которые имеют общую точку, в которой касаются, имеют и общую касательную.
Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей находятся по одну сторону от общей касательной.
Две окружности диаметром 4 см и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами окружностей ?
Радиусы окружностей ОА и О 1 А перпендикулярны их общей касательной, проходящей через точка А .
ОО 1 = ОА + О 1 А = 6 см .
Две окружности касаются внешне. Найти длину общей внешней касательной, если радиусы окружностей равны 16 см и 25 см.
O 2 E = R 2 – R 1 = 9 ( см ) ,
O 1 O 2 = R 2 + R 1 = 41 ( см ) .
Какое взаимное расположение двух окружностей с диаметрами 10 см и 20 см, если расстояние между их центрами равно 15 см ?
– окружности имеют две общие точки.
В этом случае расстояние между центрами будет меньше чем сумма их радиусов или больше чем их разность.
Прямую, которая проходит через центры двух окружностей, называют линией центров. Две окружности находящиеся в одной плоскости и имеющие общий центр, называются концентрическими окружностями.
Окружность – геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки. Круг радиуса r – геометрическое место точек, расстояние от которых до данной точки не превышает r .
Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке S , то
АS × В S = СS × DS.
Если из точки Р до окружности проведено две секущие, которые пересекают окружность соответственно в точках А , В и С , D , то
АР × ВР = СР × DР.
На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбивать плоскость :
а ) две окружности;
б ) три окружности ?
Изобразим на рисунке соответствующие условию случаи взаимного расположения фигур. Запишем ответ :
Как вычислить расстояние между окружностями?
Одной из важных задач в геометрии является вычисление расстояния между объектами. В данной статье мы рассмотрим, как вычислить расстояние между двумя окружностями.
Определение расстояния между окружностями
Расстояние между двумя окружностями определяется как наименьшее расстояние между их центрами. Визуально это можно представить себе как длину отрезка, соединяющего центры окружностей и перпендикулярный ему отрезок, проходящий через точки касания окружностей.
Формула для вычисления расстояния
Для вычисления расстояния между окружностями можно использовать следующую формулу:
- (x1, y1) — координаты центра первой окружности
- (x2, y2) — координаты центра второй окружности
- r1 — радиус первой окружности
- r2 — радиус второй окружности
- sqrt — функция квадратного корня
Пример
Давайте рассмотрим пример вычисления расстояния между двумя окружностями.
Пусть у нас есть две окружности:
- Первая окружность с центром в точке (2, 3) и радиусом 4
- Вторая окружность с центром в точке (5, 7) и радиусом 2
Мы можем использовать формулу для вычисления расстояния:
Таким образом, расстояние между данными окружностями равно -1. Отрицательное значение означает, что окружности пересекаются.
Заключение
Вычисление расстояния между окружностями может быть полезным при решении различных задач в геометрии и программировании. Формула, которую мы рассмотрели, позволяет нам легко вычислить это расстояние, зная координаты центров окружностей и их радиусы.