1)В какой прямоугольник можно вписать окружность?
3) Можно ли описать окружность около четырехугольника, у которого только один прямой угол ; Только 2 прямых угла?
4) Можно ли описать окружность около прямоугольной трапеции?
1) Только в квадрат
2) Около четырехугольника
3) При условии противоположные углы должны равняется 180 градусов а если один равен 90 то противоположный тоже равен 90 следовательно описать окружность нельзя.
Можно ли описать окружность около четырёхугольника АВСD, если что углы А, В, С, и D соответственно пропорциональны числа : 4, 5, 4, 2?
Можно ли описать окружность около четырёхугольника АВСD, если что углы А, В, С, и D соответственно пропорциональны числа : 4, 5, 4, 2?
Тема : Описанная и вписанная окружности четырехугольника.
Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4см больше радиуса вписанной окружности?
Радиус окружности , описанной около правильного треугольника , на 4см больше радиуса вписанной окружности.
Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.
Около правильного треугольника со стороной 5см описана окружность?
Около правильного треугольника со стороной 5см описана окружность.
а) радиус описанной окружности ;
в) сторону правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность.
Докажите, что ромб, около которого можно описать окружность, является квадратом?
Докажите, что ромб, около которого можно описать окружность, является квадратом.
Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника?
Начертите окружность описанную около прямоугольного треугольника.
Срочно помогите ?
Укажите номера верных утверждений .
1)Если в четырехугольнике две противоположных стороны равны и параллельны , то этот четырехугольник является параллелограммом .
2)Если у четырехугольника сумма противоположных углов не равна 180 * , то около этого четырехугольника нельзя описать окружность .
3)Около любого параллелограмма можно описать окружность .
4)В любой прямоугольник можно вписать окружность .
В трапеции три стороны равны?
В трапеции три стороны равны.
Можно ли около такой трапеции описать окружность.
Что значит вписать окружность в треугольник?
Что значит вписать окружность в треугольник?
Описать окружность около треугольника?
Дать определение вписанной и описанной окружности (указать где лежит центр окружности , вписанный в треугольник, и описанный около треугольника)?
Дать определение вписанной и описанной окружности (указать где лежит центр окружности , вписанный в треугольник, и описанный около треугольника).
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен медиане, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе?
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен медиане, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе?
На этой странице сайта, в категории Геометрия размещен ответ на вопрос 1)В какой прямоугольник можно вписать окружность?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой параллельна. Значит, наименьшая средняя линия треугольника будет напротив меньшего катета. Найдем длину меньшего катета по т. Пифагора х = ✓(29² — 21²) = ✓400 = 20 ½ * 20 = 10 см Ответ : 1..
AB + BC + CM + MD + DK = (AB + BC) + (CM + MD) + DK = AC + CD + DK = AK.
Теорема4. 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема4. 2. Второй признак равенс..
Середина сторони ВС є точка М, яка має координати М(1 ; 2), а відстань між точками А і М дорівнює 5 .
Вписанная окружность
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Вписанная окружность»
Сегодня на уроке мы узнаем, что такое вписанная окружность. Докажем, что в любой треугольник можно вписать окружность. А также покажем, что не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Ранее мы с вами рассматривали касание прямой и окружности. Напомню, что если задана окружность с центром в точке O и радиусом r, и точка A – общая точка прямой и окружности, то такая точка единственная. Прямая p, которая проходит через точку касания, называется касательной. Радиус OA, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной p.
Напомним теорему: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Значит, точка O– центр окружности – лежит на биссектрисе угла. Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол.
Как мы уже знаем, многоугольник имеет несколько углов и несколько сторон.
Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
На рисунке вы видите четырехугольник ABCD, треугольник STF и четырехугольник MNPQ. Заметим, что четырехугольник ABCD и треугольник STF описаны около окружности с центрами в точке о. Что нельзя сказать о четырехугольнике MNPQ. Он не является описанным около окружности с центром O, так как его сторона NP не касается окружности.
Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство.
.
.
Окружность касается всех трех сторон 
.
Окружность вписана в треугольник .
Теорема доказана.
1. В треугольник можно вписать только одну окружность.
Доказательство.
Допустим, в треугольник можно вписать две окружности.
Тогда центр второй окружности был бы равноудален от всех сторон треугольника и лежал бы на пересечении его биссектрис.
Но так как все биссектрисы пересекаются в единственной точке – в точке />– и радиус равен расстоянию от точки />до сторон треугольника, то и вписанная в треугольник окружность единственная.
2. В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
Доказательство.
Рассмотрим прямоугольник, у которого смежные стороны не равны.
В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.е. нельзя вписать окружность.
Что и требовалось доказать.
Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Доказательство.
Рассмотрим четырехугольник 
.
Следовательно, суммы противоположных сторон в описанном четырехугольнике равны.Что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение:
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство.
Рассмотрим выпуклый четырехугольник .
Пусть .
Докажем, что эта окружность касается также стороны 
. Будем доказывать от противного. Предположим, что это не так. Тогда возможны два случая.
1) Прямая 
не имеет общих точек с окружностью.
2) Прямая пересекает окружность в двух точках, т.е. является секущей.
Так как 
– описанный четырехугольник, то
.
, 
.
Значит, в четырехугольнике C’CDD’ одна сторона равна сумме трех других сторон. Этого же не может быть. А тогда наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD. Что и требовалось доказать.
Давайте ответим на вопрос: можно ли описать около окружности ромб, квадрат и прямоугольник. Почему?
Итак, рассмотрим ромб. У ромба все стороны равны, отсюда суммы его противоположных сторон равны. Значит, в ромб можно вписать окружность. Напомним, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Следовательно, каждая диагональ является биссектрисой соответствующего угла. А так как все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке – в точке O – то точка O – центр вписанной окружности.
Следующая фигура квадрат. Квадрат – это частный случай ромба. У него все стороны равны, значит и суммы противоположных сторон также равны. Следовательно, в квадрат можно вписать окружность.
Что касается прямоугольника, то в него нельзя вписать окружность. Так как суммы его противоположных сторон не равны.
Задача. В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 
см и 
см, считая от основания. Найдите площадь треугольника.
(см)
(см)
Рассмотрим 
.
– прямоугольный.
(см)
(см).
(см)
Ответ: 
.
На этом уроке мы узнали, что если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник описанным около этого многоугольника. Доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность. А вот, что касается четырехугольника, то не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. И также узнали, что в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
В какой прямоугольник можно вписать окружность
Вписанная и описанная окружность
Например, на рисунке 8.106 
.
Например, на рисунке 8.107 
Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают 
, а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают 
:
1) для равностороннего треугольника со стороной 
:
и площадью 
:
и гипотенузой 
:
и диагональю 
:
:
:
, при условии, что в трапецию можно вписать окружность:
и площадью , по формуле :
, (8.45)
является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.
Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна 
.
Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32 , а площадь квадрата со стороной находят по формуле 
Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и 
находят по формуле 
.
Пусть 
, тогда 
(рис. 8.118).
Получим: 
, 
, следовательно, 
, 
.
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: 
.
По формуле 
, а так как 
, то 
. Тогда 
, а 
.
Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна 
находят по формуле: 
.
По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: 
находят по формуле 8.38 . Тогда 
.
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора 
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник 
. Точка 
является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат 
со стороной 3. Если катет 
, а сторона квадрата 
, то 
.
Пусть отрезок 
. По свойству касательных 
и 
.
Тогда по теореме Пифагора 
, 
.
Найдем катет 
: 
.
Найдем площадь треугольника: 
Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: 
.
В свою очередь по формуле Герона 
, то 
Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: 
, 
.
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: 
, 
, 
.
Согласно формуле 
, а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.
Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию 
(рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции 
.
Радиус окружности, описанной около треугольника 
, найдем по формуле 8.36 :
и вводя коэффициент пропорциональности 
, получим 
, 
.
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то 
. Тогда 
, 
.
Поскольку четырехугольник 
является прямоугольником, то 
, тогда 
, а, следовательно, и около трапеции :
.
Ответ: 
.
Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна 
.
Длину окружности радиуса находят по формуле:
. (8.30)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
Рис. 1. Описанный четырехугольник CEDF
Окружность называется вписанной в многоугольник , если она касается всех его сторон (т.е. прямые, содержащие стороны многоугольника, касаются окружности в точках, лежащих на сторонах). При этом многоугольник называется описанным около окружности .
На рис. 1 четырехугольник C E D F описан около окружности с центром O , а четырехугольник C A G F не является описанным около этой окружности, так как сторона A G не касается окружности. На рис. 2 треугольник A B C описан около окружности с центром O .
Докажем теорему об окружности, вписанной в этот треугольник.
Теорема
В любой треугольник можно вписать окружность, и притом единственную.
Доказательство
Рассмотрим треугольник A B C . Пусть его биссектрисы пересекаются в точке O (рис. 2). Тогда по теореме о биссектрисе угла точка O равноудалена от сторон треугольника. Таким образом, три перпендикуляра, проведенные из точки O к сторонам данного треугольника, равны, O D = O E = O F . Следовательно, существует окружность с центром O , которая касается всех сторон треугольника A B C в точках D , E , F , так как они перпендикулярны к радиусам O D , O E , O F .
Докажем методом от противного, что эта окружность единственная.
Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда ее центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с O — точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.
Теорема доказана.
Пример 1
В треугольник A B C со сторонами A B = 5 м , B C = 7 м , A C = 10 м вписана окружность. Прямая, пересекающая стороны A B и B C в точках M и K , касается этой окружности. Найдите периметр треугольника M B K .
Решение
Пусть стороны A B , B C и A C касаются окружности в точках E , F и G соответственно, отрезок M K касается окружности в точке D . Тогда, по свойству отрезков касательных, ( B E = B F , A E = A G , C F = C G ) ,
A E + C F = A G + G C = A C = 10 м ,
M K = M D + D K = M E + K F .
Периметр треугольника M B K :
P M B K = B M + B K + M K = B M + B K + M E +
+ K F = B E + B F = A B + B C — A C =
Ответ: 2 м .
Вписанная в четырехугольник окружность
Четырехугольник называется описанным около окружности , если все его стороны касаются этой окружности.
Четырехугольник A B C D на рис. 4 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник . Оказывается, не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.
Теорема (свойство описанного четырехугольника)
В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Доказательство
Пусть стороны четырехугольника A B C D касаются вписанной окружности в точках K , L , M и N (рис. 4).
По свойству отрезков касательных A K = A N , B K = B L , C L = C M , D M = D N .
С учетом обозначений на рис. 4
A B + C D = a + b + c + d = A D + B C .
Теорема доказана.
Теорема (признак описанного четырехугольника)
Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство
Пусть в четырехугольнике A B C D с наименьшей стороной A B A B + C D = A D + B C . Поскольку по теореме о биссектрисе угла точка O (точка пересечения биссектрис углов A и B ) равноудалена от сторон A B , B C и A D , то можно построить окружность с центром O , которая касается этих трех сторон (рис. 5, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны C D .
Предположим, что это не так. Тогда прямая C D либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 5, б). Проведем через точку C касательную к окружности, которая пересекает сторону A D в точке D 1 . Тогда по свойству описанного четырехугольника A B C D 1 B C + A D 1 = A B + C D 1 . Но по условию A D + B C = A B + C D . Вычитая из второго равенства первое, имеем:
A D — A D 1 = C D — C D 1 , т. е. D D 1 = C D — C D 1 , что противоречит неравенству треугольника для треугольника C D 1 D . Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая C D не может быть секущей окружности. Итак, окружность касается стороны C D , т.е. четырехугольник A B C D описанный.
Теорема доказана.
Замечание. Напомним, что в данных теоремах рассматриваются только выпуклые четырехугольники.
Следствие
В любой ромб можно вписать окружность.
Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом.
Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 6. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба.
Действительно, диагонали ромба являются биссектрисами углов ромба, следовательно, точка пересечения диагоналей равноудалена от сторон ромба.
Формула площади описанного многоугольника
Теорема
Если в многоугольник вписана окружность, то площадь многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус этой окружности:
где p – полупериметр многоугольника, r – радиус вписанной окружности.
Доказательство
Рис. 7. К доказательству теоремы о площади описанного многоугольника
Рассмотрим многоугольник A 1 A 2 A 3 … A n , в который вписана окружность с центром O и радиусом r (рис. 7).
Соединим центр окружности с вершинами многоугольника, разделив многоугольник на n треугольников. В треугольнике A 1 O A 2 высота O H 1 равна радиусу окружности, поэтому S A 1 O A 2 = 1 2 A 1 A 2 · r .
Площадь каждого из n треугольников равна половине произведения стороны многоугольника на радиус окружности, тогда площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников:
S A 1 A 2 A 3 … A n = S A 1 O A 2 + S A 2 O A 3 + ⋯ + S A n O A 1 =
= 1 2 A 1 A 2 · r + 1 2 A 2 A 3 · r + ⋯ + 1 2 A 1 A n · r =
= 1 2 r A 1 A 2 + A 2 A 3 + ⋯ + A 1 A n = 1 2 P A 1 A 2 A 3 … A n · r = p r .
Теорема доказана.
Пример 2
Основание равнобедренного треугольника равно 6 м, а высота, проведенная к нему, — 4 м. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение
Рассмотрим равнобедренный треугольник A B C , A B = 6 м , высота C D равна 4 м (рис. 8). Пусть r – радиус окружности, вписанной в A B C .
По свойству равнобедренного треугольника C D – медиана, A D = 3 м . По теореме Пифагора A C = A D 2 + C D 2 = 5 м .
Применим метод площадей.
S A B C = 1 2 A B · C D , S A B C = A B + B C + A C 2 · r .
1 2 · 6 · 4 = 6 + 5 + 5 2 · r ,
r = 12 8 = 1 , 5 м .
Ответ: 1,5 м.
Упражнения
1. В треугольнике A B C биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O . Найдите угол B A C , если A B = B C , ∠ A B O = 35 ° .
2. Найдите периметр:
а) описанного четырехугольника, три последовательные стороны которого равны 7 см, 9 см и 8 см;
б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3 см и 11 см.
3. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Найдите:
а) боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 7 см;
б) среднюю линию трапеции, если ее периметр равен 16 см.
4. Найдите среднюю линию прямоугольной трапеции, в которой большая боковая сторона равна 10 см, а радиус вписанной окружности равен 3 см.
Контрольные вопросы
1. Даны треугольник и окружность. Определите, является ли данная окружность вписанной в треугольник, если:
а) центр окружности равноудален от всех сторон треугольника;
б) центр окружности равноудален от всех вершин треугольника;
в) все стороны треугольника — хорды окружности;
г) все стороны треугольника касаются окружности.
2. Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник A B C . Означает ли это, что:
б) ∠ A B O = ∠ C B O ;
в) точка O может лежать вне данного треугольника?
3. В какой прямоугольник можно вписать окружность? Около какого ромба можно описать окружность?
4. Трапеция A B C D ( A B ∥ B C ) описана около окружности. Как построить точку M такую, чтобы треугольник A M D был описан около той же окружности?