Циклическая группа
В алгебре циклическая группа — группа, которая произведена единственным элементом. Таким образом, это состоит из ряда элементов с единственной обратимой ассоциативной операцией, и это содержит элемент g таким образом, что любой элемент группы может быть получен, неоднократно применяя операцию группы или ее инверсию к g. Каждый элемент может быть написан как власть g в мультипликативном примечании, или как кратное число g в совокупном примечании. Этот элемент g называют генератором группы.
Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна совокупной группе Z, целых чисел. Каждая конечная циклическая группа приказа n изоморфна совокупной группе Z/nZ, модуль целых чисел n. Каждая циклическая группа — abelian группа (подразумевать, что его действие группы коммутативное), и каждая конечно произведенная abelian группа — прямой продукт циклических групп.
Определение
Группу G называют цикличной, если там существует элемент g в G, таким образом, что, Так как любая группа, произведенная элементом в группе, является подгруппой той группы, показывая, что единственная подгруппа группы G, которая содержит g, является самим G, достаточен, чтобы показать, что G цикличен.
Например, если G = <g, g, g, g, g, g> является группой, то g = g, и G цикличен. Фактически, G — по существу то же самое как (то есть, изоморфный к) набор с дополнительным модулем 6. Например, соответствует и соответствует, и так далее. Можно использовать изоморфизм χ определенный.
Имя «цикличный» может вводить в заблуждение: возможно произвести бесконечно много элементов и не сформировать любые буквальные циклы; то есть, каждый g отличен. (Это может считаться наличием одного бесконечно долгого цикла.) Группа произвела таким образом (например, первая группа бордюра, p1) назван бесконечной циклической группой и изоморфен совокупной группе целых чисел.
Примеры
Целое число и модульное дополнение
Набор целых чисел, с операцией дополнения, формирует группу. Это — бесконечная циклическая группа, потому что все целые числа могут быть написаны как конечная сумма или различие копий номера 1. В этой группе, 1 и −1 единственные генераторы. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна этой группе.
Для каждого положительного целого числа n, набор модуля целых чисел n, снова с операцией дополнения, формирует конечную циклическую группу, группу Z/n.
Элемент g является генератором этой группы, если g относительно главный к n.
Таким образом число различных генераторов — φ (n), где φ — Эйлер totient функция, функция, которая считает число модуля чисел n, которые являются относительно главными к n.
Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе Z/n, где n — заказ группы.
Целое число и модульные дополнительные операции, используемые, чтобы определить циклические группы, являются и дополнительными операциями коммутативных колец, также обозначил Z и Z/n. Если p — начало, то Z/p — конечная область и обычно вместо этого пишется как F или GF (p). Каждая область с p элементами изоморфна этому.
Модульное умножение
Для каждого положительного целого числа n, подмножество модуля целых чисел n, которые являются относительно главными к n с операцией умножения, формирует конечную группу, которая для многих ценностей n снова циклична.
Это — группа под модулем умножения n, и это циклично каждый раз, когда n равняется 1, 2, 4, власть странного начала, или дважды власть странного начала.
Его элементы — единицы кольца Z/nZ; есть φ (n) их, где снова φ — функция totient. Эта группа написана как (Z/nZ). Например, (Z/6Z) имеет как его элементы <1,5>; 6 дважды начало, таким образом, это — циклическая группа. Напротив, (Z/8Z) (с элементами <1,3,5,7>) является группой Кляйна и не цикличен. Когда (Z/nZ) цикличен, каждый генератор (Z/nZ) называют примитивным модулем корня n.
Циклическая группа (Z/pZ) для простого числа p, также написан (Z/pZ), потому что это состоит из элементов отличных от нуля конечной области приказа p. Более широко каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любой области циклична.
Вращательный symmetries
Набор вращательного symmetries многоугольника формирует конечную циклическую группу. Если есть n различные способы нанести на карту многоугольник к себе вращением (включая пустое вращение) тогда, эта группа изоморфна к Z. В три или более высокие размеры там может существовать другие конечные группы симметрии, которые цикличны, но которые не формируют набор вращений вокруг единственной оси.
Группа S всех вращений круга (группа круга) не циклична. В отличие от бесконечной циклической группы, это даже не исчисляемо. Там также существуют другие бесконечные группы вращения (такие как набор вращений рациональными углами), которые исчисляемы, но не цикличны.
Теория Галуа
Энный корень единства может считаться комплексным числом, энная власть которого равняется 1. Таким образом, это — корень полиномиала x − 1.
Энные корни единства формируют циклическую группу приказа n при умножении. Например, многочленные факторы как, где; набор <s, s, s> формирует циклическую группу при умножении. Группа Галуа полевого расширения рациональных чисел, произведенных энными корнями единства, формирует другую группу. Это изоморфно к мультипликативному модулю группы n, который имеет заказ φ (n) и цикличен для некоторых, но не всего n.
Полевое расширение называют циклическим расширением, если его группа Галуа — циклическая группа. Группа Галуа каждого конечного расширения конечной области конечна и циклична с повторением Frobenius endomorphism как его генератор. С другой стороны, учитывая конечную область Ф и конечная циклическая группа G, есть конечное полевое расширение F, группа Галуа которого — G.
Подгруппы и примечание
Все подгруппы и группы фактора циклических групп цикличны. Определенно, все подгруппы Z имеют форму mZ с m целое число ≥0. Все эти подгруппы отличны друг от друга, и кроме тривиальной группы (для) всех изоморфны к Z. Решетка подгрупп Z изоморфна к двойной из решетки натуральных чисел, заказанных делимостью. В частности потому что простые числа — числа без нетривиальных делителей, циклическая группа проста, если и только если ее заказ (число ее элементов) главный.
Так как циклические группы — abelian, они часто пишутся совокупно и обозначаются Z с идентичностью письменный 0. Однако это примечание может быть проблематичным для теоретиков числа, потому что оно находится в противоречии с обычным примечанием для колец p-адического числа или локализации в главном идеале. Примечания фактора Z/nZ, Z/n и Z / (n) являются стандартными альтернативами.
Можно вместо этого написать группе мультипликативно и обозначить его C, где n — заказ на конечные группы и C для бесконечной циклической группы. Например, в C, тогда как в Z/5Z.
Все группы фактора Z конечны, за исключением тривиального исключения. Для каждого положительного делителя d n, группа фактора у Z/nZ есть точно одна подгруппа приказа d, тот, произведенный классом остатка n/d. Нет никаких других подгрупп.
Используя формализм группы фактора, Z/nZ — стандартное примечание для совокупной циклической группы с n элементами. В кольцевой терминологии подгруппа nZ является также идеалом (n), таким образом, фактор может также быть написан Z / (n) или Z/n без злоупотребления примечанием. Эти альтернативы не находятся в противоречии с примечанием для p-adic целых чисел. Последняя форма очень распространена в неофициальных вычислениях; у этого есть дополнительное преимущество, что это читает тот же самый способ, которым группа или кольцо часто описываются устно на английском языке, «модник Зи en».
Дополнительные свойства
Каждая циклическая группа — abelian. Таким образом, его действие группы коммутативное: (для всего g и h в G). Это ясно для групп целого числа и модульного дополнения с тех пор, и это следует для всех циклических групп, так как они все изоморфны группе, произведенной дополнительной операцией.
Для конечной циклической группы приказа n и каждого элемента e группы, e — элемент идентичности группы. Это снова следует при помощи изоморфизма к модульному дополнению, с тех пор для каждого целого числа k.
Если d — делитель n, то ряд элементов в Z/n, у которых есть приказ d, является φ (d), и ряд элементов, заказ которого делит d, точно d.
Если G — конечная группа, в которой, для каждого, G содержит в большинстве n элементов заказа, делящегося n, то G должен быть цикличным.
Заказ элемента m группы является n/gcd (n, m).
Прямой продукт двух циклических групп, Z/n и Z/m цикличны, если и только если n и m — coprime. Таким образом, например, Z/12 — прямой продукт Z/3 и Z/4, но не прямой продукт Z/6 и Z/2.
Если p — простое число, то единственная группа (до изоморфизма) с p элементами является Z/p.
это называют основной циклической группой. Фундаментальная теорема abelian групп заявляет, что каждая конечно произведенная abelian группа — прямой продукт конечно многих конечных основных циклических и бесконечных циклических групп.
Номер n называют циклическим числом, если у него есть собственность, что Z/n — единственная группа приказа n, который верен точно когда GCD (n, φ (n)) = 1. Циклические числа включают все простые числа, но также и включают некоторые сложные числа такой как 15.
Определение немедленно подразумевает, что у циклических групп есть представление группы и для конечного n.
Связанные объекты
Представления
Теория представления циклической группы — критический основной случай для теории представления более общих конечных групп. В сложном случае представление циклической группы разлагается в прямую сумму линейных знаков, делая связь между теорией характера и теорией представления прозрачной. В положительном характерном случае неразложимые представления циклической группы формируют образцовое и индуктивное основание для теории представления групп с циклическими подгруппами Sylow и более широко теории представления блоков циклического дефекта.
Граф цикла
Граф цикла иллюстрирует различные циклы группы и особенно полезен в визуализации структуры малочисленных конечных групп. Граф цикла для циклической группы — просто круглый граф, где заказ группы равен числу узлов. Единственный генератор определяет группу как направленный путь на графе, и обратный генератор определяет назад путь. Тривиальные пути (идентичность) могут быть оттянуты как петля, но обычно подавляются. Z иногда оттягивается с двумя кривыми краями как мультиграф.
Циклические группы Z, приказ n, являются единственным циклом, изображенным в виде графика просто как n-sided многоугольник с элементами в вершинах. Циклическая группа Z может анализироваться в прямой продукт Z×Z, где n=ab, где a и b относительно главные (GCD (a, b) =1).
Граф Кэли
Граф Кэли — граф, определенный от пары (G, S), где G — группа, и S — ряд генераторов для группы; у этого есть вершина для каждого элемента группы и край для каждого продукта элемента с генератором. В случае конечной циклической группы, с ее единственным генератором, граф Кэли — граф цикла, и для бесконечной циклической группы с ее генератором граф Кэли — вдвойне бесконечный граф пути. Однако графы Кэли могут быть определены от других наборов генераторов также. Графы Кэли циклических групп с произвольными генераторными установками называют circulant графами. Эти графы могут быть представлены геометрически как ряд равномерно распределенных пунктов на круге или на линии с каждым пунктом, связанным с соседями с тем же самым набором расстояний друг как друг пункт. Они — точно переходные вершиной графы, группа симметрии которых включает переходную циклическую группу.
Endomorphisms
endomorphism кольцо abelian группы Z/nZ изоморфно к самому Z/nZ как кольцо. Под этим изоморфизмом номер r соответствует endomorphism Z/nZ, который наносит на карту каждый элемент к сумме r копий его. Это — взаимно однозначное соответствие, если и только если r — coprime с n, таким образом, группа автоморфизма Z/nZ изоморфна группе единицы (Z/nZ).
Точно так же endomorphism кольцо совокупной группы Z изоморфно к кольцу Z. Его группа автоморфизма изоморфна группе единиц кольца Z, т.е. к.
Связанные классы групп
Несколько других классов групп были определены их отношением к циклическим группам:
Фактически циклические группы
Группу называют фактически цикличной, если она содержит циклическую подгруппу конечного индекса (число балует это, подгруппа имеет). Другими словами, любой элемент в фактически циклической группе может быть достигнут, применив члена циклической подгруппы участнику в определенном конечном множестве. Каждая циклическая группа фактически циклична, как каждая конечная группа. Бесконечная группа фактически циклична, если и только если она конечно произведена и имеет точно два конца; пример такой группы — продукт Z/n и Z, в котором у фактора Z есть конечный индекс n. Каждая abelian подгруппа Громова гиперболическая группа фактически циклична.
В местном масштабе циклические группы
В местном масштабе циклическая группа — группа, в которой каждая конечно произведенная подгруппа циклична.
Пример — совокупная группа рациональных чисел: каждое конечное множество рациональных чисел — ряд сети магазинов целого числа единственной части единицы, инверсии их наименьшего общего знаменателя, и производит как подгруппа циклическая группа сети магазинов целого числа этой части единицы.
Группа в местном масштабе циклична, если и только если ее решетка подгрупп — дистрибутивная решетка.
Циклически приказанные группы
Циклически приказанная группа — группа вместе с циклическим заказом, сохраненным структурой группы.
Каждой циклической группе можно дать структуру как циклически приказанная группа, совместимая с заказом целых чисел (или модуль целых чисел заказ группы).
Каждая конечная подгруппа циклически приказанной группы циклична.
Метациклические и полициклические группы
Метациклическая группа — группа, содержащая циклическую нормальную подгруппу, фактор которой также цикличен.
Эти группы включают циклические группы, dicyclic группы и прямые продукты двух циклических групп.
Полициклические группы обобщают метациклические группы, позволяя больше чем один уровень расширения группы. Группа полициклична, если у нее есть конечная последовательность спуска подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей подгруппе с циклическим фактором, заканчивающимся в тривиальной группе. Каждая конечно произведенная abelian группа или нильпотентная группа полицикличны.
Циклическая группа — Cyclic group
В теории групп, ветвь абстрактной алгебры, циклическая группа или моногенная группа — это группа, которая сгенерирована одним элементом. То есть это набор из обратимых элементов с единственной ассоциативной двоичной операцией, и он содержит элемент g такой, что каждый другой элемент группы может быть получен путем многократного применения групповой операции к g или ее обратной. Каждый элемент может быть записан как степень g в мультипликативной записи или как кратное g в аддитивной записи. Этот элемент g называется генератором группы.
Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе из Z, целые числа. Каждая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе Z/nZ целых чисел по модулю n. Каждая циклическая группа является абелевой группой (что означает, что ее групповая операция коммутативна ), и каждая конечно порожденная абелева группа является прямым продуктом циклических групп.
Каждая циклическая группа порядка простого является простой группой, которая не может быть разбита на более мелкие группы. В классификации конечных простых групп один из трех бесконечных классов состоит из циклических групп простого порядка. Таким образом, циклические группы простого порядка входят в число строительных блоков, из которых могут быть построены все группы.
Содержание
- 1 Определение и обозначение
- 2 Примеры
- 2.1 Целочисленное и модульное сложение
- 2.2 Модульное умножение
- 2.3 Вращательные симметрии
- 2.4 Теория Галуа
- 5.1 Представления
- 5.2 Граф циклов
- 5.3 Граф Кэли
- 5.4 Эндоморфизмы
- 5.5 Тензорное произведение и Hom циклических групп
- 6.1 Практически циклические группы
- 6.2 Локально циклические группы
- 6.3 Циклически упорядоченные группы
- 6.4 Метациклические и полициклические группы
- 8.1 Примечания
- 8.2 Цитаты
Определение и обозначение
Шесть 6-го комплексного корня из единицы образуют циклическую группу при умножении. Здесь z — генератор, а z — нет, потому что его мощности не дают нечетных степеней z.
Для любого элемента g в любой группе G можно сформировать подгруппу всех целочисленных степеней ⟨ g⟩ =
, называемая циклической подгруппой группы g. порядок в g — это количество элементов в ⟨g⟩; то есть порядок элемента равен порядку его циклической подгруппы. Циклическая группа — это группа, которая равна одной из ее циклических подгрупп: G = ⟨g⟩ для некоторого элемента g, называемого генератором.
Для конечной циклической группы G порядка n, мы имеем G =
Например, набор комплексных корней 6-й степени из единицы
образует группу при умножении. Он циклический, так как порождается первообразным корнем z = 1 2 + 3 2 i = e 2 π i / 6: <\ displaystyle z = <\ tfrac <1><2 >> + <\ tfrac <\ sqrt <3>> <2>> i = e ^ <2 \ pi i / 6>:> то есть G = ⟨z⟩ = <1, z, z, z, z, z>с z = 1. При замене букв эта изоморфна (структурно такая же, как) стандартной циклической группе порядка 6, определяемой как C 6 = ⟨ g⟩ =
Вместо этого из частных обозначений Z/nZ, Z/ (n) или Z / n, некоторые авторы обозначают конечную циклическую группу как Zn, но это противоречит обозначению теория чисел, где Zpобозначает кольцо p-адических чисел, или локализация в первичном идеале.
Бесконечные циклические группы
p1, (* ∞∞ ) p11g, (22∞) 
. 
. 
Две группы фризов изоморфны Z . С одним генератором p1 имеет трансляции, а p11g — скользящие отражения. С другой стороны, в бесконечной циклической группе G = ⟨g⟩, степени g дают различные элементы для всех целых чисел k, так что G = <. g, g, e, g, g. >, и G изоморфна стандартной группе C = C ∞ и Z, аддитивной группе целых чисел. Пример первая группа фризов. Здесь нет конечных циклов, и название «циклический» может быть неверным
Чтобы избежать этой путаницы, Бурбаки ввел термин моногенная группа для группы с одним образующим и ограничил «циклическую группу» для обозначения конечной моногенной группы, избегая термина «бесконечная циклическая группа».
Примеры
Примеры циклических групп с вращательной симметрией
C1 C2 C3 C4 C5 C6 Целочисленное и модульное сложение
Набор целых чисел Zс операция сложения образует группу. Это бесконечная циклическая группа, потому что все целые числа могут быть записаны путем многократного добавления или вычитания единственного числа 1. В этой группе 1 и -1 являются единственными образующими. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна Z.
. Для любого положительного целого числа n набор целых чисел по модулю n, снова с помощью операции сложения, образует конечную циклическую группу, обозначенную Z/nZ. Модульное целое число i является генератором этой группы, если i относительно простого с n, потому что эти элементы могут генерировать все другие элементы группы посредством сложения целых чисел. (Число таких образующих равно φ (n), где φ — функция Эйлера.) Каждая конечная циклическая группа G изоморфна Z/nZ, где n = | G | это порядок группы.
Операции сложения целых чисел и модульных целых чисел, используемые для определения циклических групп, являются операциями сложения коммутативных колец, также обозначаемых Z и Z/nZили Z / (n). Если p является простым, то Z/pZявляется конечным полем и обычно обозначается Fpили GF (p) для поля Галуа.
Модульное умножение
Для каждого положительного целого числа n набор целых чисел по модулю n, взаимно простых с n, записывается как (Z/nZ); он образует группу при операции умножения. Эта группа не всегда циклическая, но это так, когда n равно 1, 2, 4, степень нечетного простого числа или удвоенная степень нечетного простого числа (последовательность A033948 в OEIS ). Это мультипликативная группа единиц кольца Z/nZ; имеется φ (n) из них, где φ снова функция Эйлера. Например, (Z/6Z) = <1,5>, а поскольку 6 дважды нечетное простое число, это циклическая группа. Напротив, (Z/8Z) = <1,3,5,7>является 4-группой Клейна и не является циклической. Когда (Z/nZ) является циклическим, его генераторы называются примитивными корнями по модулю n.
Для простого числа p группа (Z/pZ) всегда циклическая, состоящая из ненулевых элементов конечное поле порядка p. В более общем смысле, каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля является циклической.
Вращательные симметрии
Набор вращательных симметрий из многоугольника образует конечную циклическую группу. Если существует n различных способов перемещения многоугольника к себе посредством поворота (включая нулевое вращение), то эта группа симметрии изоморфна Z/nZ. В трех или более высоких измерениях существуют другие группы конечной симметрии, которые являются циклическими, но не все вращения вокруг оси, а вместо этого вращательные отражения.
Группа всех вращений круг S (круг группа, также обозначаемый S) не является циклическим, потому что не существует единственного вращения, целые степени которого генерируют все вращения. Фактически, бесконечная циклическая группа C ∞ счетна, а S — нет. Группа поворотов на рациональные углы счетна, но все же не циклическая.
Теория Галуа
n-й корень из единицы — это комплексное число, n-я степень которого равна 1, корень из полином x — 1. Множество всех корней n-й степени из единицы образуют циклическую группу порядка n при умножении. Например, многочлен z — 1 множится как (z — 1) (z — ω) (z — ω), где ω = e; множество <1, ω, ω>= <ω, ω, ω>образует циклическую группу относительно умножения. Группа Галуа из расширения поля рациональных чисел, порожденных корнями n-й степени из единицы, образует другую группу, изоморфную мультипликативной группе (Z/nZ) порядка φ (n), который является циклическим для некоторых, но не для всех n (см. выше).
Расширение поля называется циклическим расширением, если его группа Галуа является циклической. Для полей нулевой характеристики такие расширения являются предметом теории Куммера и тесно связаны с разрешимостью с помощью радикалов. Для расширения конечных полей характеристики p его группа Галуа всегда конечна и циклическая, порожденная степенью отображения Фробениуса. Наоборот, для данного конечного поля F и конечной циклической группы G существует конечное расширение поля F, группа Галуа которого равна G.
Подгруппы
Все подгруппы и Факторгруппы циклических групп являются циклическими. В частности, все подгруппы Z имеют форму ⟨m⟩ = m Z, где m — положительное целое число. Все эти подгруппы отличаются друг от друга, и, за исключением тривиальной группы <0>= 0 Z, все они изоморфны Z . Решетка подгрупп группы Z изоморфна двойственной решётке натуральных чисел, упорядоченных по делимости. Таким образом, поскольку простое число p не имеет нетривиальных делителей, p Z является максимальной собственной подгруппой, а фактор-группа Z/pZявляется простой ; на самом деле циклическая группа проста тогда и только тогда, когда ее порядок простой.
Все фактор-группы Z/nZконечны, за исключением Z/0Z= Z/ <0>. Для каждого положительного делителя d числа n фактор-группа Z/nZимеет ровно одну подгруппу порядка d, порожденную классом вычетов числа n / d. Других подгрупп нет.
Дополнительные свойства
Каждая циклическая группа абелева. То есть его групповая операция коммутативна : gh = hg (для всех g и h в G). Это ясно для групп целочисленного и модульного сложения, поскольку r + s ≡ s + r (mod n), и это следует для всех циклических групп, поскольку все они изоморфны этим стандартным группам. Для конечной циклической группы порядка n g является единицей для любого элемента g. Это снова следует с помощью изоморфизма модульного сложения, поскольку kn ≡ 0 (mod n) для любого целого числа k. (Это также верно для общей группы порядка n из-за теоремы Лагранжа.)
Для степени простого p группа Z/pZназывается первичная циклическая группа. Основная теорема абелевых групп утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа является конечным прямым произведением примарных циклических и бесконечных циклических групп.
Поскольку циклическая группа абелева, каждый из ее классов сопряженности состоит из одного элемента. Следовательно, циклическая группа порядка n имеет n классов сопряженности.
Если d является делителем числа n, то количество элементов в Z/nZ, имеющих порядок d, равно φ (d), а количество элементов, порядок которых делит d, равно точно d. Если G — конечная группа, в которой для каждого n>0 G содержит не более n элементов порядка, делящего n, то G должна быть циклической. Порядок элемента m в Z/nZравен n / gcd (n, m).
Если n и m являются взаимно простыми, то прямое произведение двух циклических групп Z/nZи Z/mZизоморфно циклической группе Z / nm Z, и обратное также верно: это одна из форм китайской теоремы об остатках. Например, Z / 12 Z изоморфно прямому произведению Z/3Z× Z/4Zпри изоморфизме (k mod 12) → (k mod 3, k mod 4); но он не изоморфен Z/6Z× Z/2Z, в котором каждый элемент имеет порядок не выше 6.
Если p является простым числом, то любая группа с p элементами изоморфна простому группа Z/pZ. Число n называется циклическим числом, если Z/nZявляется единственной группой порядка n, что верно именно тогда, когда gcd (n, φ (n)) = 1. Циклические числа включают в себя все простые числа, но некоторые из них являются составными, например 15. Однако все циклические числа нечетные, кроме 2. Циклические числа:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143. (последовательность A003277 в OEIS )
Из определения немедленно следует, что циклические группы имеют представление группы C∞= ⟨x |⟩ и C n = ⟨x | x⟩ для конечного n.
Ассоциированные объекты
Представления
Теория представлений циклической группы является критическим базовым случаем для теории представлений более общих конечных групп.>сложный случай, представление циклической группы разлагается в прямую сумму линейных персонажей, что делает прозрачной связь между теорией персонажей и теорией репрезентации. В положительном характеристическом случае неразложимые представления циклической группы образуют модель и индуктивную основу теории представлений групп с циклическими силовскими подгруппами и в более общем плане теории представлений блоков циклический дефект.
График циклов
A График циклов иллюстрирует различные циклы группы и особенно полезен при визуализации структуры небольших конечных групп. Граф циклов для циклической группы — это просто круговой граф , где порядок группы равен количеству узлов. Один генератор определяет группу как направленный путь на графике, а обратный генератор определяет обратный путь. Тривиальные пути (идентичность) можно нарисовать как цикл , но обычно они подавляются. Z 2 иногда рисуется с двумя изогнутыми краями как мультиграф.
Циклические группы Z n, порядок n, представляет собой один цикл, изображенный на графике просто как n-сторонний многоугольник с элементами в вершинах. Когда n = ab, где a и b являются относительно простыми (т.е. gcd (a, b) = 1), циклическая группа Z n может быть разложена в прямой продукт Za× Z b.
Графики цикла до порядка 24
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6= Z 3×Z2 Z7 Z8 Z9 Z10= Z 5×Z2 Z11 Z12= Z 4×Z3 Z13 Z14= Z 7×Z2 Z15= Z 5×Z3 Z16 Z17 Z18= Z 9×Z2 Z19 Z20= Z 5×Z4 Z21= Z 7×Z3 Z22= Z 11×Z2 Z23 Z24= Z 8×Z3 граф Кэли
граф Пэли порядка 13, циркулянтный граф, сформированный как граф Кэли of Z / 13 с образующей <1,3,4>
A Граф Кэли — это граф, определенный из пары (G, S), где G — группа, а S — множество генераторов для группы; он имеет вершину для каждого элемента группы и ребро для каждого произведения элемента с образующей. В случае конечной циклической группы с ее единственным образующим граф Кэли является графом циклов, а для бесконечной циклической группы с ее образующей граф Кэли является дважды бесконечным графом путей. Однако графы Кэли также могут быть определены из других наборов генераторов. Графы Кэли циклических групп с произвольными образующими называются циркулянтными графами. Эти графы могут быть представлены геометрически как набор равноотстоящих точек на окружности или на линии, каждая точка соединена с соседями с таким же набором расстояний, что и каждая другая точка. Это в точности те вершинно-транзитивные графы, группа симметрии которых включает транзитивную циклическую группу.
Эндоморфизмы
Кольцо эндоморфизмов абелевой группы Z/nZизоморфна самому Z/nZкак кольцо. При этом изоморфизме число r соответствует эндоморфизму Z/nZ, который отображает каждый элемент в сумму r его копий. Это биекция тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, поэтому группа автоморфизмов элемента Z/nZизоморфна единичной группе (Z/nZ).
Аналогично, кольцо эндоморфизмов аддитивной группы Z изоморфно кольцу Z . Его группа автоморфизмов изоморфна группе единиц кольца Z, т. Е. (<−1, +1>, ×) ≅ C 2.
Тензорное произведение и Hom циклических групп
Можно показать, что тензорное произведение Z/mZ⊗ Z/nZизоморфно Z / gcd (m, n) Z . Таким образом, мы можем сформировать набор гомоморфизмов группы от Z/mZдо Z/nZ, обозначенных hom (Z/mZ, Z/nZ), которые сами по себе являются группой.
Для тензорного произведения это следствие того общего факта, что R / I ⊗ R R / J ≅ R / (I + J), где R — коммутативное кольцо с единицей, а I и J — идеалы кольца. Напомним, что для группы Hom она изоморфна подгруппе в Z / n Z, состоящей элементов порядка, делящего m. Эта подгруппа cyc lic порядка gcd (m, n), что завершает доказательство.
Связанные классы групп
Несколько других классов групп были определены по их отношению к циклическим группам:
Практически циклические группы
Группа — это называется виртуально циклическим, если он содержит циклическую подгруппу с конечным индексом (количество смежных классов, которые имеет эта подгруппа). Другими словами, любой элемент в фактически циклической группе может быть получен путем применения члена циклической подгруппы к члену в некотором конечном множестве. Каждая циклическая группа практически циклическая, как и любая конечная группа. Бесконечная группа является практически циклической тогда и только тогда, когда она конечно порождена и имеет ровно два конца ; Примером такой группы является прямое произведение из Z/nZи Z, в котором коэффициент Z имеет конечный индекс n. Каждая абелева подгруппа гиперболической группы Громова является практически циклической.
Локально циклические группы
A локально циклическая группа — это группа, в которой каждая конечно порождена подгруппа циклическая. Примером может служить аддитивная группа рациональных чисел : каждый конечный набор рациональных чисел представляет собой набор целых кратных единственной единичной дроби, обратной их наименьшему общему числу. знаменатель, и генерирует как подгруппу циклическую группу целых кратных этой единичной дроби. Группа является локально циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп является дистрибутивной решеткой.
Циклически упорядоченными группами
A циклически упорядоченной группой является группой вместе с циклический порядок сохраняется структурой группы. Каждой циклической группе может быть дана структура как циклически упорядоченная группа, согласованная с порядком целых чисел (или целых чисел по модулю порядка группы). Каждая конечная подгруппа циклически упорядоченной группы является циклической.
Метациклические и полициклические группы
A метациклическая группа — это группа, содержащая циклическую нормальную подгруппу, фактор которой также является циклическим. Эти группы включают в себя циклические группы, дициклические группы и прямые продукты двух циклических групп. полициклические группы обобщают метациклические группы, допуская более одного уровня расширения группы. Группа является полициклической, если она имеет конечную убывающую последовательность подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей подгруппе с циклическим фактором, заканчивающимся тривиальной группой. Каждая конечно порожденная абелева группа или нильпотентная группа является полициклической.
Циклическая группа
Например, если G = <e, g 1 , g 2 , g 3 , g 4 , g 5 >, то G циклическая. В этом случае можно заметить, что G устроена также, как и группа <0, 1, 2, 3, 4, 5>с операцией сложения по модулю 6 (говоря формально, G изоморфна ей). Изоморфизм строится, если в соответствие g поставить 1 из второй группы.
Содержание
Свойства [ ]
- G абелева; то есть групповая операция коммутативна: ab = ba. Это верно, поскольку (a + b) mod n = (b + a) mod n.
- Если n < ∞ <\displaystyle \infty >, то g n = e <\displaystyle g^
=e> , поскольку n mod n = 0. - Если же n = ∞ <\displaystyle \infty >, то существуют только два порождающих элемента: 1 и -1 (в обозначениях ( Z , + ) <\displaystyle (\mathbb
,+)> ). - Каждая подгруппа G циклична.
- Gn изоморфна Z / n Z <\displaystyle \mathbb
/n\mathbb > (факторгруппа Z <\displaystyle \mathbb > по n Z <\displaystyle n\mathbb > ), поскольку Z / n Z <\displaystyle \mathbb /n\mathbb > = <0 + n Z <\displaystyle n\mathbb > , 1 + n Z <\displaystyle n\mathbb > , 2 + n Z <\displaystyle n\mathbb > , …, n — 1 + n Z <\displaystyle n\mathbb > > ≅ <\displaystyle \cong ><0, 1, 2, 3, 4, … n - 1>с сложением по модулю n.
Если p — простое число, то группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа Z p n <\displaystyle \mathbb
_ > . Z n <\displaystyle \mathbb
_ > также являются коммутативными кольцами (по сложению и умножению). Если p — простое число, то Z p <\displaystyle \mathbb _ > — конечное поле, также обозначаемое Fp или GF(p). Каждое конечное поле с p элементами изоморфно Fp.
Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
Примеры [ ]
нейтральный элемент группы, а остальные элементы располагаются по кругу в порядке возрастания степени образующего элемента.
2.2. Подгруппы
Определение 2.7. Подгруппой в группе ( G , ) называется всякое непустое подмножество H элементов множества G, которое в свою очередь является группой относительно той же операции.
Тот факт, что H есть подгруппа группы G отмечают так: H ≤ G или H < G , есть включение H G – строгое.
Пример 2.7. Аддитивные группы целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел образуют систему подгрупп: ( Z , +)<( Q , +)<( R , +)<( C , +).
Подмножество всех целых чисел, делящихся на натуральное число n > 1, образует подгруппу в группе целых чисел с операцией сложения. Эту подгруппу обозначают через ( nZ , +). Следовательно, имеют место бесконечные цепочки аддитивных подгрупп типа ( Z , +)>(2 Z , +)>(4 Z , +)> … .
Теорема 2.1 (критерий подгруппы). Непустое подмножество H группы ( G , ) является подгруппой тогда и только тогда, когда для произвольных эле-
ментов a , b H имеет место включение a b − 1 H .
Пример 2.8. В силу критерия в любой группе G подмножество < e >из одного нейтрального элемента e этой группы является подгруппой.
Определение 2.8. Подгруппа H группы G называется собственной, если
Пример 2.9. С помощью критерия легко убедиться, что SL n ( R ) – под-
множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным 1, образуют подгруппу в GL n ( R ) . Действительно, для произвольных матриц A , B SL n ( R )
по свойствам определителей det ( B − 1 ) = 1 и det ( AB − 1 ) = det A det ( B − 1 ) = 1. Следовательно, A , B − 1 SL n ( R ) и согласно критерию 2.3.1 SL n ( R ) является подгруппой в группе GL n ( R ) .
2.3. Циклические группы и подгруппы
Теорема 2.2. Пусть a – фиксированный элемент произвольной группы G. Пусть
a 
= < a 0 = e , a , a 2 , K , a − 1 , a − 2 , K >– множество всевозможных степеней элемента a. Тогда 
a 
– подгруппа группы G, причем абелева.Доказательство следует из критерия подгруппы: для произвольных a k , a − e
a 
произведение a k a − e = a k − e принадлежит, очевидно, множеству
a 
.Определение 2.9. Подгруппа
a 
из теоремы 2.2 называется циклическойподгруппой группы G, порожденной элементом a. Если в группе G найдется такой элемент b, что G = b , то такую группу называют циклической.
Пример 2.10. Следующие группы являются циклическими: ( Z , + ) =
1 
;( Z / nZ , + ) =
1 
.Теорема 2.3. Пусть элемент a G обладает свойством: a n = e для некоторого целого n и a k ≠ e для всех целых k , 1 ≤ k < n . Тогда циклическая подгруппа
a 
имеет порядок n и 
a 
= < a , a 2 , K , a n = e >.Доказательство. Для целых k , 1 ≤ k < n , ( a k ) − 1 = a n − k .
Определение 2.10. Величина n из теоремы 2.3 называется порядком элемента a G . Если же для элемента a G такого n не существует, то говорят, что элемент имеет бесконечный порядок.
Пример 2.11. Любое ненулевое целое число имеет бесконечный порядок в аддитивной группе целых чисел.
Пример 2.12. Возьмем матрицу
GL ( R ) . Здесь A 2 =
… . Степени матрицы A попарно различны и образуют бесконеч-
ную последовательность. Определитель матрицы A равен 1
, … . Таким образом, циклическая подгруппа, порожденная мат-
( R ) , является бесконечной.
рицей A в группе GL 2
Пример 2.13. Матрица
– единичная матрица. Соглас-
но теореме 2.3 подгруппа
H 
есть конечная подгруппа порядка четыре.Теорема 2.4. Всякая циклическая группа – абелева.
Теорема 2.5. Всякая подгруппа циклической группы является цикличе-
Итак, в любой группе много циклических подгрупп: каждый элемент порождает свою циклическую подгруппу. Тем не менее, следует заметить, что чаще группы циклическими не являются. Например, все некоммутативные
группы не могут быть циклическими. Циклическими не являются аддитивные и мультипликативные группы вещественных и комплексных чисел в силу их несчетности. Множество рациональных чисел счетно, то есть равномощно множеству целых чисел. Однако абелева группа ( Q , +) в отличие от группы ( Z , +) из примера 2.10 также не циклична, т.к. для каждого рационального числа
не содержит рациональных
несократимых дробей r s , r Z , s N , у которых знаменатель s > m , следова-
тельно,
q 
≠ ( Q , + ) .Теорема 2.6. Для каждого простого числа p мультипликативная группа Z / pZ * содержит p – 1 элементов и является циклической.
Проблема нерешенная [16]: конечно или бесконечно множество простых чисел p , для которых Z / pZ * =
2 
, т.е. мультипликативная группа Z / pZ * совпадает с циклической подгруппой, порожденной классом вычетов2.4. Смежные классы по подгруппе
Определение 2.11. Пусть H – собственная подгруппа группы ( G , ) . Пусть a G . Через aH обозначим множество элементов < ah | h H >и назо-
вем его левым смежным классом группы G по подгруппе H.
Если существует b G , b H aH , можно построить новый левый
смежный класс bH и так далее. Аналогично строят правые смежные классы. Если каждый левый смежный класс совпадает с правым: aH = Ha , то тогда смежные классы называют двусторонними. Такими являются смежные классы в любой абелевой группе G . Смежные классы обладают рядом важных свойств, которые отражает
Теорема 2.7. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Тогда:
1) каждый элемент g G принадлежит какому-нибудь левому смежно-
му классу по подгруппе H;
2) два элемента a , b G принадлежат одному левому смежному классу
тогда и только тогда, когда a − 1 b H ;
3) любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают;
4) для всякого a G мощности множеств aH и H совпадают;
5) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смежных классов по подгруппе H.
Пример 2.14. Пусть G = M 1 × 4 ( Z / 2 Z ) – множество всевозможных строк-
матриц с четырьмя координатами из Z / 2 Z . Это группа по сложению. Обычно ее обозначают через V 4 . Легко проверить, что множество
0 0 )( , 1 0 1 1 ) , ( 0
образует подгруппу в
14 2 43 14243 1 4 243 14243
группе V 4 . Очевидно, G = 24 = 16, H = 4 . Согласно теореме 2.7 группа G пред-
ставляет собой объединение четырех смежных классов по подгруппе H . Эти классы представлены в таблице.
Смежные классы группы G по подгруппе H
Лемма 2.3. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Мощности множеств всех левых и соответственно правых смежных классов группы G по подгруппе H равны.
Доказательство. Построим соответствие между названными множествами по правилу gH ↔ Hg . Очевидно, такое соответствие является взаимно одно-
значным, что и доказывает лемму.
Доказанное утверждение позволяет ввести следующее
Определение 2.12. Индексом подгруппы H в группе G называется мощность множества всех смежных классов группы G по данной подгруппе и обозначается через G : H .
Пример 2.15. Индекс подгруппы ( nZ , +) в группе ( Z , +) равен n . Действительно, в данном случае множество всех смежных классов есть множество
Замечание. Таблицы смежных классов играют важную роль в теории и практике помехоустойчивого кодирования. Простейший метод коррекции ошибок базируется на основе таблиц смежных классов, аналогичных приведенной выше. В современных цифровых каналах связи принято информацию передавать в виде двоичных блоков с определенной фиксированной длиной n , то есть n -мерных векторов с координатами из Z / 2 Z . Они получаются разбиением исходной информации, уже преобразованной в двоичный текст, на блоки по k двоичных символов, k < n . К каждому k -мерному блоку присоединяется специальным образом n − k проверочных разрядов. В результате предназначенные для передачи слова принадлежат некоторому k -мерному подпространству H пространства V n всех n -мерных векторов. С точки зрения теории групп H –
подгруппа аддитивной группы V n . Ее называют группой кодовых слов. В про-
цессе передачи по каналу связи конкретного кодового слова h может наложиться «шум» – некоторый n -мерный двоичный вектор e V n . Тогда принятое
по каналу связи слово-сообщение x = h + l является одним из элементов таблицы смежных классов группы V n , образующая смежного класса и есть наложив-