КС. Свободное падение
Вы знаете, что при падении любого тела на Землю его скорость увеличивается. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это.
Но только Галилею удалось опытным путем доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы. Для проверки своего предположения Галилей, по преданию, наблюдал падение со знаменитой наклонной Пизанской башни различных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д.). Все эти тела достигали поверхности Земли практически одновременно.
Особенно прост и убедителен опыт с так называемой трубкой Ньютона. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если теперь перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего промелькнет дробинка, за ней кусочки пробки и, наконец, плавно опустится пушинка (рис. 1, а). Но если выкачать из трубки воздух, то все произойдет совершенно иначе: пушинка будет падать, не отставая от дробинки и пробки (рис. 1, б). Значит, ее движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением.
- Свободным падением называется движение тела только под влиянием притяжения к Земле (без сопротивления воздуха).
Ускорение, сообщаемое всем телам земным шаром, называют ускорением свободного падения. Его модуль мы будем обозначать буквой g. Свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнет падать вниз.
Движение тела по вертикали
- Уравнение проекции скорости на ось 0Y\[
уравнение движения вдоль оси 0Y\[
где y0 — начальная координата тела; υy — проекция конечной скорости на ось 0Y; υ0y — проекция начальной скорости на ось 0Y; t — время, в течение которого изменяется скорость (с); gy — проекция ускорения свободного падения на ось 0Y.
- Если ось 0Y направить вверх (рис. 2), то gy = –g, и уравнения примут вид
- «тело падает» или «тело упало» — υ0у = 0.
Если за начало отсчета принять поверхность Земли, то:
- «тело упало на землю» — h = 0.
- «тело достигло максимальной высоты» — υу = 0.
Если за начало отсчета принять поверхность Земли, то:
- «тело упало на землю» — h = 0;
- «тело бросили с земли» — h0 = 0.
- Время подъема тела до максимальной высоты tпод равно времени падения с этой высоты в исходную точку tпад, а общее время полета t = 2tпод.
- Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх c нулевой высоты (на максимальной высоте υy = 0)
Движение тела, брошенного горизонтально [1]
Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально. Траекторией является парабола с вершиной в точке бросания (рис. 3).
Такое движение можно разложить на два:
-
уравнение проекции скорости\[
Для описания движения вдоль оси 0Y применяются формулы равноускоренного движения по вертикали:
-
уравнение проекции скорости\[
- Если ось 0Y направить вверх, то gy = –g, и уравнения примут вид:
-
Дальность полета определяется по формуле\[
l=\upsilon _ <0>\cdot t_
*Скорость тела в любой момент времени »t» будет равна (рис. 4): <math>
где υх = υ0x, υy = gy•t или υх = υ∙cos α, υy = υ∙sin α.
При решении задач на свободное падение
1. Выберите тело отсчета, укажите начальное и конечное положения тела, выберите направление осей 0Y и 0Х.
2. Изобразите тело, укажите направление начальной скорости (если она равна нулю, то направление мгновенной скорости) и направление ускорения свободного падения.
3. Запишите исходные уравнения в проекциях [2] на ось 0Y (и, при необходимости, на ось 0X)
4. Найдите значения проекций каждой величины
Примечание. Если ось 0Х направлена горизонтально, то gx = 0.
5. Подставьте полученные значения в уравнения (1) — (4).
6. Решите полученную систему уравнений.
Примечание. По мере наработки навыка решения таких задач, пункт 4 можно будет делать в уме, без записи в тетрадь.
1.7. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх
[latexpage]Перейдем к рассмотрению частных видов равноускоренного движения. Отметим сразу, что все формулы, которые мы получили ранее для равноускоренного движения, будут верны и этих случаях. Начнем с движения, которое носит название — свободное падение. Под таким движением понимается движение с постоянным ускорением свободного падения, т.е. тогда, когда при движении тела можно пренебречь сопротивлением воздуха (понятно, что сопротивление воздуха при движении тел в атмосфере присутствует всегда, но в некоторых случаях его влияние не столь существенно по сравнению с действием силы притяжения). Помимо свободного падения мы будем рассматривать движение тела с постоянным ускорением свободного падения в случаях, когда тело:
а) брошено вертикально вверх;
б) брошено горизонтально;
в) брошено под углом к горизонту.
То есть все эти случаи объединяет то, что известно ускорение с которым движутся тела. Напомним, что модуль ускорения свободного падения равен 9,8 м/с 2 , однако, чаще всего, в задачах принимается $g \approx 10$ м/с 2 , а направлен вектор ускорения свободного падения — вертикально вниз (хотя на самом деле нужно помнить, что вектор ускорения свободного падения направлен к центру Земли, это важно, например, при решении тех задач, когда тело вращается вокруг Земли, но ввиду того, что обычно движение тел происходит в масштабах не сопоставимых с размерами Земли, его изображают направленным вертикально вниз). Рассмотрим кинематику свободного падения.
Формулы, описывающие движение:
$v_x=v_<0x>+g_x t \Rightarrow v=v_0+gt$,
Чаще всего в задачах встречаются формулировки при которых начальная скорость равна нулю (например, тело падает свободно, тело начинает падать, сосулька оторвалась от крыши и т.д.). Тогда вид формул значительно упрощается
В этом случае $H$ — высота с которой падает тело, а время падения можно найти так: $t=\sqrt<\frac<2H>
Движение тела, брошенного вертикально вверх. Заметим, что движение тела в этом случае можно разбить на два участка. На первом участке тело будет двигаться вверх, а на втором — свободно падать (тогда можно применять формулы написанные выше). Рассмотрим кинематику вертикального движения тела.
Формулы, описывающие движение:
$v_x=v_<0x>+g_x t \Rightarrow v=v_0-gt$,
Заметим, что данные формул отличаются от предыдущих только знаком проекции ускорения.
Рассмотрим несколько примеров решения задач. При решении легких задач достаточно применение моделей, описанных выше и применение соответствующих формул. При решении задач более сложных задач, когда, например, происходит движение двух или более тел, будем придерживаться алгоритма, описанного нами в п. 1.6.1. Решение задач на равноускоренное движение. Алгоритм решения задач по кинематике. В дальнейшем, также, будем полагать, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Пример. Мячик бросают вертикально вверх со скоростью 19,6 м/с. Через какое время мячик окажется: а) в наивысшей точке движения; б) в точке броска?
Решение. На первом участке движения мячик движется вертикально вверх, значит можем воспользоваться моделью, описанной нами выше, полагая, что $x_0=0$. Тогда движение мячика описывается формулами
Из формулы скорости найдем время подъема. Поскольку в наивысшей точке движения мяч остановится, то его скорость будет равна нулю
Значит, $t=\frac<19,6><9,8>=2$ с. Найдем и высоту подъема из формулы координаты для найденного момента времени $x=19,6\cdot 2-\frac<9,8\cdot 2^2><2>=19,6$ м.
Теперь рассмотрим второй участок движения — на нем тело свободно падает без начальной скорости, а значит $t=\sqrt<\frac<2H>
Из этой задачи можно сделать важное наблюдение — если подбросить тело вертикально вверх, то время его подъема вверх будет равно времени его падения (на такую же высоту) вниз.
Пример. Свободно падающее тело в некоторый момент времени находилось на высоте 1100 м, а спустя 10 с — на высоте 120 м над поверхностью земли. С какой высоты падало тело?
Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тело начало движение.
Запишем уравнение движения в выбранной системе отсчета
Тело, с интервалом времени в 10 с, побывало в точках с координатами $x_1$ и $x_2$, причем $x_2-x_1=h_1-h_2$. Обозначим время движения тела до точки с координатой $x_1$ за $t$, а время которое прошло пока тело падало с высоты 1100 м на высоту 120 за $\Delta t$, тогда
Найдем время движения до высоты 1100 м
или $x_2-x_1=gt\Delta t+\frac
Найдем перемещение свободно падающего тела за 5 с
Тогда $h_0=s+h_1=122,5+1100=122,5$ м.
Пример. С воздушного шара, опускающегося вертикально вниз со скоростью 2 м/с, бросили вертикально вверх камень со скоростью 10 м/с относительно земли. Каким будет максимальное расстояние между шаром и камнем?
Решение. В данном типе задач особое внимание следует обратить на то, относительно чего задана скорость тела отделившегося от другого движущегося тела. В нашем случае обе скорости указаны относительно неподвижной системы отсчета, связанной с землей, что упрощает решение задачи (иначе бы вначале пришлось применять закон сложения скоростей). Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вертикально вверх. За начало координат примем точку в которой произошел бросок камня.
Движение первого тела — равномерное, значит его уравнение движения $x_1=x_0+v_<1x>t=-v_1 t$.
Движение второго тела — равноускоренное, известное нам уже движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_2=10$ м/с. Запишем уравнение координаты и скорости
$v_x=v_<2x>+g_x t \Rightarrow v=v_2-gt$,
Согласно условию расстояние между телами должно быть максимальным. Это расстояние будет увеличиваться по мере того, как камень будет подниматься вверх, пока не остановится. После этого он начнет падать и расстояние между телами начнет сокращаться. Значит расстояние между телами будет максимально в тот момент времени, когда скорость камня станет равна нулю
$v_<2>-g t =0\Rightarrow t=\frac
Координата первого тела в момент времени $t$
$x_1=-2 \cdot 1,02=-2,04$ м.
Координата второго тела в момент времени $t$
$x_2=10 \cdot 1,02 -\frac<9,8 \cdot 1,02^2> <2>\approx 5,1$ м.
Искомое расстояние $l=x_2-x_1=5,1-(-2,04)=7,14$ м.
Пример. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время t1 = 4 с, а такой же последний — за время t2 = 2 с. Найдите высоту и время падения тела. Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с 2 .
Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тело начало движение, т.е. $x_0=0$.
Так как тело свободно падает, то $v_0=0$. Значит координата имеет вид
По условию, за время 4 с и 2 с тело проходит одинаковые пути, найдем их
Поскольку нам известно время движения на последнем участке, то найдем время, через которое тело откажется в точке с координатой $x_2$, обозначим его через $t$, тогда
После преобразований (попробуйте выполнить их самостоятельно, подобно тому как это делалось выше), получим
Итого, общее время движения $t_o=t+t_2=3+2=5$ с.
Так как общее время меньше, чем сумма времен на заданных в условии участках, делаем вывод, что эти участки «пересекались». Таким образом, рисунок должен выглядеть следующим образом:
Но вид рисунка не имеет значения, не влияет на результат, а только помогает написать правильные уравнения.
Пример. С какой начальной скоростью нужно бросить вертикально вниз тело с высоты h = 39,2 м, чтобы оно упало на ∆t = 2 с быстрее тела, свободно падающее с этой высоты?
Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тела начали движение, т.е. $x_0=0$.
Запишем уравнения движения для первого и второго тела соответственно
Из второго уравнения, учитывая, что в момент падения $x_1=h$, найдем время движения второго тела
Значит, время движения первого тела $t_1=t_2-\Delta t=0,8$ с. Из уравнения движения выразим начальную скорость
Пример. Тело начинает падать с высоты $H=45$ м. В тот же момент из точки, расположенной на высоте $h=24$ м, бросают другое тело вертикально вверх. Оба тела падают на землю одновременно. Определить начальную скорость второго тела, приняв ускорение свободного падения равным 10 м/с 2 .
Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку из которой тела начинает свободно падать.
Уравнения движения первого и второго тела соответственно, учитывая, что начальная координата движения второго тела равна $x_<02>=H-h$
Из первого уравнения найдем время, в течении которого тела движутся, учитывая, что в момент падения $x_<1>=H$
Так как в момент падения второго тела его координата также будет равна $H$, а время движения также составляет 3 с, получим
Пример. С воздушного шара, опускающегося с постоянной скоростью 4 м/с, бросили вертикально вверх груз со скоростью u = 20 м/с относительно шара. Определите расстояние между грузом и шаром в тот момент, когда груз достигает высшей точки подъема. Спустя какое время после броска груз пролетит мимо шара? Ускорение свободного падения равно 10 м/с 2 .
Решение. Выполним чертеж. Систему отсчета свяжем с землей. Координатную ось направим вниз. Начало координат поместим в точку где происходит бросок камня.
В условии задачи сказано, что скорость груза указана относительно шара, т.е. движущейся системы отсчета (относительно неподвижной, выбранной нами, системы отсчета — земли). Применим закон сложения скоростей:
- $\overrightarrow$ — скорость тела относительно движущейся системы отсчета (относительно шара);
- $\overrightarrow
$ — скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета (шара относительно земли); - $\overrightarrow
$ — скорость тела в неподвижной системе отсчета, она же начальная скорость при вертикальном движении тела вверх.
Напишем уравнения движения, учитывая, что первое тело движется равномерно, а второе тело — движется вертикально вверх и начальные координаты у них равны нулю
$x_1=v_<1x>t \Rightarrow x_1=v_1 t$,
В момент времени, когда груз будет пролетать мимо шара их координаты будут равны, а значит
Теперь найдем расстояние между телами в момент времени, когда груз будет находиться в наивысшей точке подъема. Скорость груза определяется уравнением
$v_x=v_<0x>+g_x t \Rightarrow v_x=u_x+v_<1x>_g_x t = v_1-u+gt$.
В наивысшей точке подъема скорость груза будет равна нулю, значит время подъема
$ v_1-u+gt=0 \Rightarrow t= \frac
Расстояние между телами можно определить как разницу координат между телами в интересующий нас момент времени
$l=\left | x_1 — x_2 \right |= \left | v_1 t- (v_1-u)t-\frac
Задачи для самостоятельного решения.
1. С крыши дома оторвалась сосулька и за 0,2 с пролетела мимо окна, высота которого 1,5 м. С какой высот относительно верхнего конца окна она оторвалась? Размерами сосульки пренебречь.
2. Мячик, отскочивший от поверхности земли со скоростью 10 м/с, пролетел мимо окна, высота которого 1,5 м, за время 0,2 с. На какой высоте относительно земли находится подоконник?
3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0 = 19,6 м/с. Сколько времени оно будет находиться на высоте, большей h = 14,7 м?
3. С вертолета, находящегося на высоте h = 300 м, сброшен груз. Спустя какое время груз достигнет земли, если вертолет: а) неподвижен; б) опускается со скоростью v = 5 м/с; в) поднимается со скоростью v = 5 м/с?
а) 7,8 с; б) 7,3 с; в) 8,3 с.
4. Одно тело свободно падает с высоты h = 392 м. Одновременно другое тело брошено с земли вертикально вверх со скоростью v = 78,4 м/с. Когда и на какой высоте тела встретятся?
5. Два парашютиста сделали затяжной прыжок с одной и той же высоты, один вслед за другим через t = 6 с. В какой момент времени, считая от прыжка первого парашютиста, расстояние между ними по вертикали будет h = 294 м?
6. Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью v = 5 м/с в момент, когда находится на высоте H = 100 м над поверхностью земли, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью v0 = 10 м/с относительно себя. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и парашютиста?
7. Аэростат поднимается вверх с ускорением 2 м/с2. Через 5 с от начала его движения из него выпадает предмет. Через сколько времени предмет упадет на землю?
8. Ракета стартует и движется вертикально вверх 20 с с ускорением $a=2g$. Через 20 с двигатели ракеты отключаются. Через какое время с момента старта ракета упадет на землю?
9. С каким промежутком времени оторвались две капли от крыши, если спустя 2 с после начала движения второй капли расстояние между ними было 25 м?
Почему время подъема равно времени падения
Движение тела, брошенного под углом к горизонту в физике — формулы и определение с примерами
Если рассмотреть движение тела, брошенного под углом относительно горизонта, можно увидеть, что тело отдаляется горизонтально от точки броска и одновременно поднимается в вертикальном направлении. Значит, тело, брошенное под углом к горизонту, участвует в двух (горизонтальном и вертикальном) видах движения. В горизонтальном направлении тело движется равномерно. В вертикальном направлении до точки максимальной высоты тело будет двигаться равнозамедленно, затем вниз будет двигаться равноускоренно (рис. 1.11).
Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, имеет вид параболы. Учитывая, что в процессе полета тело одновременно двигается в горизонтальном и вертикальном направлениях, разделим начальную скорость 
Для упрощения расчетов пренебрежем сопротивлением воздуха. В произвольный момент времени 
перемещение тела в горизонтальном направлении находим из следующего уравнения:
В произвольный момент времени t скорость тела в горизонтальном и вертикальном направлениях можно найти из следующих уравнений:
На протяжении движения тела, брошенного под углом к горизонту, горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная составляющая при подъеме является равнозамедленной и на максимальной высоте подъема равняется нулю. Значит, тело, брошенное под углом к горизонту, имеет минимальную скорость в высшей точке траектории:
Затем из этой точки тело движется как тело, брошенное горизонтально со скоростью 
.
Из соотношения 
или 
на максимальной высоте траектории находим время подъема:
Максимальная высота подъема тела определяется следующим соотношением:
Время движения тела вниз (падение) равно времени подъема, т.е. 
. Отсюда, общее время полета:
Тело, брошенное под углом к горизонту, в горизонтальном направлении движется равномерно. По этой причине длина полета тела зависит только от горизонтальной составляющей скорости. Для определения дальности полета подставим выражение 
времени полета в выражение 
и получим:
Из этого выражения видно, что длина полета тела, брошенного под углом к горизонту, зависит от угла броска. На рис. 1.12 приведена зависимость длины полета и высоты подъема от угла броска. Из рисунка видно, что с увеличением угла броска увеличивается высота подъема.
Длина полета тела вначале растет с ростом угла броска и достигает максимального значения при 45 0 . Затем с дальнейшим увеличением угла броска длина полета уменьшается.
Выведем уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту. Для этого в уравнение:
подставляем выражение для времени полета 
из уравнения (1.29) и получаем уравнение траектории в следующем виде:
Таким образом, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе, проходящей через начало координат при 
. В этом уравнении коэффициент перед 
отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.
В реальных условиях сопротивление воздуха сильно влияет на дальность полета. К примеру, снаряд, пущенный со скоростью 100 км/ч, в вакууме пролетает расстояние в 1000 м, а в воздухе 700 м. Из экспериментов следует, что при угле броска 30-40 0 тело пролетает наибольшее расстояние.
Образец решения задачи:
Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 30° к горизонту. На какую высоту поднимется мяч?
Дано:
Решение:
Ответ: 1,27 м.
Основные понятия, правила и законы
| Научное наблюдение | Метод научного исследования системный, активный, направленный на цель. |
| Гипотеза | Предположение о каком-либо процессе, явлении. |
| Опыт (эксперимент) | Проводится для проверки гипотезы в специальных условиях. |
| Модель | Упрощенная версия физического процесса, сохраняющая его главные черты. |
| Научная идеализация | Предсказание получаемого результата в идеальных условиях по ранее полученным результатам. |
| Научная теория | Набор законов, объясняющий широкую область явлений. |
| Принцип соответствия | В определенных рамках соответствие новой и старой теорий. |
| Криволинейное равномерное движение |
Движение, траектория которого представляет собой кривую линию, величина скорости не меняется, а направление изменяется по касательной к траектории. |
| Принцип независимости или суперпозиция движения |
Движения, в которых участвует тело, независимы друг от друга, и скорости (ускорение) их движения не зависят друг от друга. |
| Вертикальное движение вверх |
Движение, противоположное силе притяжения Земли. Уравнение движения:  . |
| Вертикальное движение вниз |
Движение в направлении силы притяжения Земли. Уравнение движения:  . |
| Переменное вращательное движение |
Вращательное движение, при котором с течением времени меняется угловая скорость. |
| Угловое ускорение | Величина, определяемая отношением изменения угловой скорости ко времени этого изменения  |
| Формула определения угловой скорости в произвольный момент времени при вращательном равнопеременном движении |
 |
| Тангенциальное ускорение | Ускорение, получаемое в связи с изменением величины скорости  . |
| Полное ускорение при криволинейном движении |
 |
| Передача движения фрикционным способом |
Движение, передаваемое с помощью действующих поверхностей двух колес с разными радиусами. |
| Ременная передача движения | Движение передается от одного колеса к другому через туго натянутый ремень. |
| Передача движения через зубчатые колеса |
Передача вращательного движения путем объединения двух зубчатых колес с разными диаметрами. |
| Дальность полета и скорость при падении горизонтально брошенного тела. |
 |
| Минимальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Время полета тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
| Уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально |
 |
| Уравнение траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту |
 |
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Падение тел
Свободное падение представляет собой частный случай равномерно ускоренного движения без начальной скорости. Ускорение этого движения равно ускорению свободного падения, называемого также ускорением силы тяжести. Для этого движения справедливы формулы:
u — скорость падения тела спустя время t
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с?)
h — высота с которой падает тело
t — время, в течение которого продолжалось падение
- Сопротивление воздуха в данных формулах не учитывается.
- Ускорение свободного падения имеет приведенное значение (9.81 (м/с?)) вблизи земной поверхности. Значение g на других расстояниях от поверхности Земли изменяется!
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Тело, брошенное вертикально вверх, движется равномерно замедленно с начальной скоростью u0 и ускорением a = -g. Перемещение тела за время t представляет собой высоту подъема h.Для этого движения справедливы формулы:
U0 — начальная скорость движения тела
U — скорость падения тела спустя время t
g — ускорение свободного падения, 9.81 (м/с?)
h — высота на которую поднимется тело за время t
t — время
Скорость тела на некоторой высоте:
Максимальная высота подъёма тела:
Время подъёма на максимальную высоту:
Сложение движений, направленных под углом друг к другу.
Тело может одновременно участвовать в нескольких поступательных движениях. Поскольку ускорение, скорость и перемещение являются векторными величинами, их можно складывать по законам векторного (геометрического) сложения. Т.е. по правилу параллелограмма.
Величину результирующей любой характеристики движения можно вычислить.
Если:
Up — результирующая мгновенная скорость,
U1 — мгновенная скорость первого движения,
U2 — мгновенная скорость второго движения,
? — угол, образуемый векторами скоростей u1 и u2,
То по теореме косинусов получим:
Если движения 1 и 2 происходят под прямым углом друг к другу, то формула упрощается поскольку
Движение тела, брошенного горизонтально.
Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другу:
— горизонтального (равномерного) движения,
— вертикального (свободного падения)
Уравнение траектории тела, брошенного горизонтальн
Если построить траекторию движения тела, брошенного горизонтально, в системе координат xy, приняв за начало отсчета координат точку бросания, а направление оси ординат совпадающим с направлением вектора ускорения свободного падения, то координаты каждой точки траектории представляют собой перемещение тела в горизонтальном направлении (движение с постоянной скоростью U0) и в вертикальном направлении (равномерно ускоренное движение с ускорением g)
x, y — координаты тела,
u0 — начальная скорость тела (м/с),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
t — время движения (c)
Уравнение траектории тела, брошенного горизонтальновыглядит следующим образом:
Так как ускорение свободного падения g и начальная скорость тела u0 — постоянные величины, то координата yпропорциональна квадрату x, т.е. траектория движения представляет собой параболу, вершина которой находится в начальной точке движения.
Вектор положения тела брошенного горизонтально, формула
Положение каждой точки траектории тела брошенного горизонтально можно задать вектором положения r, который представляет собой результирующее перемещение:
или Вектор положения:
Координата по оси x:
Координата по оси y:
Примечание: Сопротивление воздуха в формулах не учитывается.
Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Координаты точки траектории описываются уравнениями:
x, y — координаты тела
U0 — начальная скорость тела (м/с)
? — угол, под которым брошено тело к горизонту (°)
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2)
t — время движения (c)
Из формул через параметр t выводится общее уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту
Так как ускорение свободного падения g, ? — угол, под которым брошено тело к горизонту и начальная скорость тела u0 —постоянные величины, то координата y пропорциональна квадрату x, т.е. траектория движения представляет собой параболу, начальная точка находится на одной из ее ветвей, а вершина параболы, есть точка максимального подъема тела.
Время подъема на максимальную высоту, тела, брошенного под углом к горизонту.
Время подъема на максимальную высоту определяется из условия, что вертикальная составляющая мгновенной скорости равна нулю
из этого уравнения получаем:
U0 — начальная скорость тела (м/с),
? — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
thmax — время подъема на максимальную высоту (c)
Дальность броска тела, брошенного под углом к горизонту.
Дальность броска или радиус поражения определяется по формулам общего времени движения и формулы координат тела
подставив tsmax в выражение и упростив получим:
U0 — начальная скорость тела (м/с),
? — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
tsmax — общее время движения(c)
Почему время подъема равно времени падения
Свободным падением тел называют падение тел на Землю в отсутствие сопротивления воздуха (в пустоте). В конце XVI века знаменитый итальянский ученый Г. Галилей опытным путем с доступной для того времени точностью установил, что в отсутствие сопротивления воздуха все тела падают на Землю равноускоренно, и что в данной точке Земли ускорение всех тел при падении одно и то же . До этого в течение почти двух тысяч лет, начиная с Аристотеля, в науке было принято считать, что тяжелые тела падают на Землю быстрее легких.
Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением свободного падения . Вектор ускорения свободного падения обозначается символом он направлен по вертикали вниз. В различных точках земного шара в зависимости от географической широты и высоты над уровнем моря числовое значение оказывается неодинаковым, изменяясь примерно от на полюсах до на экваторе. На широте Москвы . Обычно, если в расчетах не требуется высокая точность, то числовое значение у поверхности Земли принимают равным или даже .
Простым примером свободного падения является падение тела с некоторой высоты без начальной скорости. Свободное падение является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную ось вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли, то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу (*) §1.4, положив , , . Обратим внимание на то, что если тело при падении оказалось в точке с координатой , то перемещение тела равно . Эта величина отрицательна, так как тело при падении перемещалось навстречу выбранному положительному направлению оси . В результате получим:
Скорость отрицательна, так как вектор скорости направлен вниз.
Время падения тела на Землю найдется из условия :
Скорость тела в любой точке составляет:
В частности, при скорость падения тела на Землю равна
Пользуясь этими формулами, можно вычислить время падения тела с данной высоты, скорость падения тела в любой момент после начала падения и в любой точке его траектории и т. д.
Аналогичным образом решается задача о движении тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью . Если ось по-прежнему направлена вертикально вверх, а ее начало совмещено с точкой бросания, то в формулах равноускоренного прямолинейного движения следует положить: , , . Это дает:
Через время скорость тела обращается в нуль, т. е. тело достигает высшей точки подъема. Зависимость координаты от времени выражается формулой
Тело возвращается на землю () через время , следовательно, время подъема и время падения одинаковы. Во время падения на землю скорость тела равна , т. е. тело падает на землю с такой же по модулю скоростью, с какой оно было брошено вверх.
Максимальная высота подъема
На рис. 1.5.1 представлены графики скоростей для трех случаев движения тела с ускорением . График I соответствует случаю свободного падения тела без начальной скорости с некоторой высоты . Падение происходило в течение времени . Из формул для свободного падения легко получить: (все числа в этих примерах округлены, ускорение свободного падения принято равным 10 м/с 2 ).
График II – случай движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью . Максимальная высота подъема . Тело возвращается на землю через время .
График III – продолжение графика I. Свободно падающее тело при ударе о землю отскакивает (мячик), и его скорость за очень короткое время меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела не отличается от случая II.
Задача о свободном падении тел тесно связана с задачей о движении тела, брошенного под некоторым углом к горизонту. Для кинематического описания движения тела удобно одну из осей системы координат (ось ) направить вертикально вверх, а другую (ось ) – расположить горизонтально. Тогда движение тела по криволинейной траектории можно представить как сумму двух движений, протекающих независимо друг от друга – движения с ускорением свободного падения вдоль оси и равномерного прямолинейного движения вдоль оси . На рис. 1.5.2 изображен вектор начальной скорости тела и его проекции на координатные оси.
Таким образом, для движения вдоль оси имеем следующие условия:
а для движения вдоль оси
Приведем здесь некоторые формулы, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Максимальная высота подъема:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, происходит по параболической траектории. В реальных условиях такое движение может быть в значительной степени искажено из-за сопротивления воздуха, которое может во много раз уменьшить дальность полета тела.
Формулы свободного падения
Если тело около поверхности Земли движется только под воздействием силы тяжести ($\overline
Модуль ускорения свободного падения на расстоянии $h$ от поверхности Земли вычисляется при помощи формулы:
где $\gamma $- гравитационная постоянная; $M$ — масса Земли; $R$ — радиус Земли.
Величина ускорения свободного падения около поверхности Земли ($\ при\ h\ll R$) равна:
Направлено ускорение свободного падения к центру Земли. В задачах о движении тел около поверхности Земли ускорение свободного падения считают постоянной величиной, которую вычисляют с помощью формулы (2), так как в сравнении с радиусом Земли рассматриваемые расстояния много меньше, чем $R$. Обычно, ускорение свободного падения на Земле считают равным $g=9,8\ \frac<м><с^2>$.
Кинематические уравнения движения материальной точки в поле тяжести
Свободное падение происходит с постоянным ускорением, что было установлено еще Галилеем, поэтому в кинематике это движение описывают при помощи уравнений:
Первое уравнение системы (3) записано для перемещения тела в поле тяжести Земли ($<\overline>_0$ — смещение тела из начала отсчета в момент начала наблюдения ($t=0c$)). Второе уравнение системы (3) показывает изменение вектора скорости ($<\overline
Используя эти уравнения, и зная начальные условия движения тела можно найти скорость и положение тела относительно избранной системы отсчета для любого момента времени.
Тело, брошенное под углом к горизонту
Так, если нам заданы начальные условия в виде и сказано, что тело свободно движется в поле силы тяжести Земли:
это означает, что тело бросили под углом $\alpha $ к горизонту с начальной скоростью $<\overline
Из кинематических уравнений и начальных условий можно получить:
- уравнение траектории движения материальной точки: \[y(x)=h_0\ tg\ \alpha -\frac
<2><\left(\frac - время подъема тела до вершины ее траектории: \[t_p=\frac
\left(6\right)\] - время полета тела: \[t_
=\frac \left(7\right).\]
При$h=0$\textit< >мы видим, что $t_
Свободное падение тела из состояния покоя
Начальные условия для тела, которое падает из состояния покоя с высоты $h$ (рис.1), запишем так:
\[\left\< \begin
Кинематические уравнения движения в проекции на ось Y, которую выберем по движению тела (из векторных уравнений (3)) свободно падающего тела без начальной скорости будут выглядеть как:
Время падения тела равно:
Скорость тела в момент падения составляет:
Знак минус в формуле (11) означает, что скорость падения направлена против нашей оси Y.
Примеры задач с решением
Задание. Какова глубина шахты, если камень, брошенный в нее, упал на дно спустя 1 секунду после начала движения по ней?
Решение. В этой задаче мы имеем свободное вертикальное падение тела без начальной скорости (рис.2). Систему отсчета свяжем с Землей. Начало отсчета пусть находится на дне шахты (точка 0).
В качестве основы для решения задачи воспользуемся системой уравнений, полученной для подобного движения в теоретической части статьи:
Нам достаточно для решения задачи только первого уравнения системы. В момент падения на дно координата камня будет равна нулю:
Используя уравнения (1.1) и условие (1.2), выразим глубину шахты:
Имея в виду, что $g=9,8\ \frac<м><с^2>\ $, проведем вычисления искомой величины:
Ответ. $h=4,9$ м
Задание. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх движется до максимальной высоты подъема столько же времени, сколько оно потом падает с этой высоты до точки бросания.
Решение. Пусть тело бросили вертикально вверх со скоростью $v_0.$ Основой для решения задачи является уравнение для скорости и уравнение перемещения:
Рассмотрим движение тела вверх. В проекции на ось Y выражения (2.1) мы имеем:
В точке максимального подъема тело имеет скорость движения равную нулю, из этого условия и формулы (2.2) получим время подъема тела:$\ $
Высота, на которую тело поднялось равна:
Рассмотрим движение тела вниз с некоторой высоты. Основой будет служить уравнение для перемещения из системы (2.1).Это уравнение для нашего случая, в проекции на ось Y примет вид:
В момент падения координата тела $y=0$:
Высота, на которую поднялось тело, мы нашли в (2.4), подставим ее, выразим время падения тела: