Как определить лежат ли точки в одной плоскости

Основные понятия стереометрии

Нажмите, чтобы узнать подробности

Напомним, что геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур, которая состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрию — раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости, вы изучили. В модуле 1 систематизированы и обобщены факты и свойства таких фигур.

Что такое стереометрия

Стереометрия — это раздел геометрии о свойствах фигур в пространстве -изучают в старших классах.

Схематически это выглядит так:

Фигуры, которые изучаются в стереометрии, называются геометрическими или пространственными. На рисунке 2.1 изображены некоторые пространственные фигуры: пирамида, параллелепипед, конус, цилиндр.

Напомним структуру логического построения планиметрии:

Поскольку стереометрия также является составляющей геометрии, то строится она по тому же принципу. Некоторые понятия принимаются как основные (простейшие, неопределяемые). Для них формулируются основные свойства — аксиомы, а далее рассматриваются другие, определяемые, понятия и их свойства.

Все фигуры, которые рассматривались на плоскости, можно рассматривать и в пространстве. Поэтому основные фигуры (понятия) планиметрии — точка и прямая — автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Описываются они так же. В пространстве рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски или поверхность листа бумаги, которые продолжены во все стороны до бесконечности. Плоскость также понимают как множество точек. На базе основных понятий определяются другие основные определяемые понятия: расстояние между точками, отрезок, луч, треугольник и т.д. Прямая — подмножество точек плоскости, отрезок — подмножество точек прямой. Некоторые подмножества точек плоскости являются плоским треугольником, четырехугольником и т.д., а некоторые — неплоскими фигурами. Пространство состоит из бесконечного множества точек. Итак, основными фигурами (понятиями) в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Эти понятия называют неопределяемыми. Каждая пространственная геометрическая фигура состоит из множества точек. Рассмотрим куб на рисунке 2.2.

У него 8 вершин (точки), 12 ребер (части прямых) и 6 граней (части плоскостей). Гранями куба являются квадраты — фигуры планиметрии.

В стереометрии рассматривают более одной плоскости. Пространство состоит из бесконечного количества плоскостей, прямых и точек. Поэтому все аксиомы планиметрии имеют место и в стереометрии. Однако при этом некоторые из них приобретают другой смысл. Так, аксиома I, в планиметрии утверждает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Именно в таком понимании эта аксиома применялась в процессе построения геометрии на плоскости. Теперь эта аксиома утверждает вообще существование точек, не лежащих на данной прямой, в пространстве. Из нее непосредственно не вытекает, что существуют точки вне данной прямой на плоскости, в которой лежит прямая. Это требует уже специального доказательства.

Формулирование некоторых аксиом планиметрии как аксиом стереометрии требует уточнения. Это касается, например, аксиом .

Приведем эти уточнения.

. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
. От любой полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
. Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, который равен ему в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
,. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах:

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, непринадлежащие ей (рис. 2.3, а).
Если две различные прямые имеют общую точку, то че рез них можно провести плоскость, и притом только одну (рис. 2.3, б).
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.3, в).

Аксиома 1 указывает на то, что любая плоскость все пространство не исчерпывает. Существуют точки пространства, которые ей не принадлежат.

Аксиома 2 утверждает, что две прямые, пересекающиеся в пространстве, всегда определяют одну плоскость. Из аксиомы 3 следует, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют множество общих точек, образующих прямую, которая содержит эту точку.

Эти три аксиомы дополняют пять групп аксиом планиметрии и вместе с ними образуют аксиоматику стереометрии. Аксиому 1 стереометрии отнесем к группе аксиом принадлежности (обозначим I₃), а аксиомы 2 и 3 — к группе аксиом взаимного расположения (соответственно обозначим II₃, II4).

Плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита — точки — большими буквами латинского алфавита — прямые — малыми буквами латинского алфавита — или двумя прописными буквами латинского алфавита — .

Для кратких записей утверждений используют символы — принадлежит, — не принадлежит, — подмножество и т.д. Краткие записи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей:

Точка принадлежит прямой (точка лежит на прямой , прямая проходит через точку ). Обозначение: .
Точка не принадлежит прямой (точка не лежит на прямой , прямая не проходит через точку ). Обозначение: .
Точка принадлежит плоскости (точка лежит на плоскости , плоскость проходит через точку ). Обозначение: .
Прямая принадлежит плоскости (прямая лежит на плоскости , плоскость проходит через прямую ). Обозначение: .

Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать:

I₃. Существуют точки и точки .
II₃. Если и , то — единственная.
II4. Если и и , то , причем .

Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей.

Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур. Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем.

Пример №1

Точки не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые и не пересекаются.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и пересекаются (рис. 2.5).

Тогда, по аксиоме II₃, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые и не пересекаются, что и требовалось доказать. Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др.

Следствия из аксиом стереометрии

Проанализировав все сказанное ранее, можно утверждать, что логическое построение геометрии имеет следующий вид:

Важное место в геометрии занимают аксиомы. Они выражают наиболее существенные свойства основных геометрических фигур. Все остальные свойства геометрических фигур устанавливаются рассуждениями, опирающимися на аксиомы или ранее доказанные утверждения, которые опираются на аксиомы. Такие рассуждения называют доказательствами. Утверждение, истинность которого доказана и которое используют для доказательства других утверждений, называют теоремой. Простейшими из них являются утверждения для основных фигур стереометрии. Они называются следствиями из аксиом стереометрии. Рассмотрим теоремы, которые являются следствиями из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пусть — данная прямая и — точка, не принадлежащая ей (рис. 2.9). Через точки и проведем прямую . Прямые и различны и пересекаются в точке . По аксиоме II₃ через них можно провести плоскость . Докажем, что она единственная, методом от противного.

Допустим, что существует другая плоскость , которая содержит прямую и точку . Тогда, согласно аксиоме II4, плоскости и пересекаются по общей прямой, которой принадлежат точки что противоречит условию. Предположение неверно. Плоскость — единственная. Теорема доказана.

Теорема 2 Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вея прямая принадлежит этой плоскости.

Пусть заданы прямая , плоскость и точки А и В прямой , принадлежащие (рис. 2.10). Выберем точку С, которая не принадлежит прямой . Через точку С и прямую проведем плоскость . Если и совпадут, то прямая принадлежит плоскости . Если же плоскости и различны и имеют две общие точки и , то они пересекаются по прямой , содержащей эти точки. Поэтому через две точки и проходят две прямые и , что противоречит аксиоме принадлежности I₂. Поэтому и — совпадают. Однако поскольку , принадлежит плоскости , то и прямая также принадлежит .

Теорема 3

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пусть — заданные точки (рис. 2.11). Проведем через точки и прямую , а через точки и — прямую . Прямые и различны и имеют общую точку . Через них можно провести плоскость . Докажем, что она единственная, методом от противного. Допустим, что существует другая плоскость , содержащая точки . Тогда, по теореме 2, прямые и принадлежат плоскости . Поэтому плоскости и имеют две общие прямые и , которые пересекаются, что противоречит аксиоме II₃. Итак, плоскость — единственная. Теорема доказана.

Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например то в таком случае пользуются обозначением: (). Читается: «плоскость, заданная точками , и », или сокращенно «плоскость ».

Если грань многогранника — четырехугольник, например , то выбирают запись плоскости произвольной тройкой его вершин. Например, (), () или (). Однако иногда в записи плоскости оставляют все четыре вершины, например ().

Пример №2

Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, которая бы не лежала с ними в одной плоскости?

Через прямые и (рис. 2.12), которые имеют общую точку , можно провести плоскость . Возьмем точку , которая не принадлежит . Через точки и проведем прямую . Прямая не лежит на плоскости , так как если бы прямая принадлежала плоскости , то и точка принадлежала бы плоскости . Поэтому через точку пересечения прямых и можно провести третью прямую, которая не лежит с ними в одной плоскости. Ответ. Можно.

Почему именно так?

Очевидно, что точки плоскости задают прямые, которые будут принадлежать этой самой плоскости. Если же взять точку пересечения двух прямых на плоскости и точку вне плоскости, то через любые две точки пространства можно провести прямую. Эта прямая будет иметь только одну общую точку с плоскостью, а значит, будет ее пересекать.

Пример №3

Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

Поскольку прямые и параллельны, то по определению эти прямые лежат в одной плоскости (рис. 2.13). Произвольная прямая , пересекающая и , имеет с плоскостью две общие точки — точки пересечения. Согласно теореме 2, эта прямая принадлежит плоскости . Следовательно, все прямые, пересекающие две параллельные прямые, лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Пример №4

Докажите, что если прямые и не лежат в одной плоскости, то прямые и также не лежат в одной плоскости.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и лежат в одной плоскости (рис. 2.14). Тогда точки принадлежат этой плоскости, а следовательно, прямые и принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно, поэтому прямые и не принадлежат одной плоскости, что и требовалось доказать.

Почему именно так?

При доказательстве принадлежности или непринадлежности часто используют метод доказательства от противного. В этом случае он сразу выводит на противоречия, а значит — доказывает требование задачи.

Пример №5

Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве?

Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей. Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну.

Ответ. Бесконечно много или одна.

Почему именно так?

Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество. Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость.

Сечения

Анализируя окружающий мир и систематизируя его предметы по форме, мы убеждаемся, что много из них «усечены» или «склеены». Разъединив их, получим поверхность, которую называют их сечением.

С сечениями мы сталкиваемся в разнообразных ситуациях: в быту, в столярничестве, токарстве и т.д. Решением задач на сечения геометрических фигур или других тел занимаются в черчении и конструкторской практике. Сечения выполняют для пространственных геометрических фигур.

Мы будем рассматривать сечения трех пространственных фигур: пирамиды, куба и прямоугольного параллелепипеда (их относят к многогранникам; с понятием многогранника вы ознакомитесь позднее). Для введения понятия сечения геометрической фигуры напомним понятие об отрезке, пересекающем или не пересекающем прямую: если в заданной плоскости концы отрезка лежат в различных полуплоскостях относительно заданной прямой, то отрезок пересекает прямую, если же в одной, — то нет. Аналогией такой ситуации в пространстве является плоскость и отрезок, т.е. их взаимное расположение.

Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства, а концы отрезка могут лежать в различных полупространствах (рис. 2.20, а) относительно некоторой плоскости, на плоскости (рис. 2.20, б) или в одном полупространстве (рис. 2.20, в).

Если ни одна из двух точек не принадлежит плоскости, а отрезок, соединяющий их, имеет с этой плоскостью общую точку, то говорят, что данные точки лежат по разные стороны относительно плоскости, или отрезок пересекает плоскость. Если же как минимум две точки пространственной геометрической фигуры лежат по разные стороны плоскости, то говорят, что плоскость эту фигуру пересекает, такую плоскость называют секущей.

Фигура, которая состоит из всех общих точек геометрической фигуры и секущей плоскости, называется сечением геометрической фигуры. На рисунке 2.21 сечения изображены цветом.

Сечение задают условием задачи. В зависимости от этих условий и выполняют построение сечения. Учитывая изученное, мы будем решать задачи, в которых сечение задается тремя точками или прямой и точкой вне ее. Почти во всем курсе стереометрии нам придется работать с разными сечениями. Существуют различные методы построения сечений. Наиболее распространенный в практике изучения курса геометрии средней школы — метод следов. Рассмотрим его.

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей. Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения.

При построении сечения следует помнить:

через две точки, принадлежащие плоскости, проходит только одна прямая, и эта прямая также принадлежит этой плоскости;
чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, которые принадлежат обеим плоскостям, и через них провести линию пересечения;
при построении сечений многогранников секущей плоскостью нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекается с гранями многогранника.

Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью.

Пример №6

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной.

Построение

Пусть — заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например , являющуюся общей для трех ребер и . Обозначим на этих ребрах точки и соответственно, являющиеся их серединами. Точки и не лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость (). Точки и — общие точки плоскости сечения и грани , поэтому , — сторона сечения. Аналогично и , поэтому и — две другие стороны сечения. Таким образом, — искомое сечение.

Пример №7

Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через ребро и середину ребра .

Построение

Плоскость сечения задается прямой и серединой ребра (обозначим ее точкой ) (рис. 2.23). (МАК) — плоскость сечения. Найдем прямые пересечения этой плоскости с плоскостями () и (). Ими будут соответствующие прямые и , а , образованный пересечением прямых , и , — искомое сечение.

Пример №8

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, которые лежат соответственно на ребрах , .

Построение

Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней.

Пусть — секущая плоскость, проходящая через заданные точки , и . Построим сечение, выполняя последовательно шаги:

, тогда .
, тогда .

Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки и (рис. 2.24, а). Точка — общая точка двух плоскостей () и (). Такие плоскости (по аксиоме II₄) пересекаются по прямой, проходящей через точку . Для построения такой прямой нужна вторая точка.

3. Плоскости () и () пересекаются по прямой . по условию не параллельна и , поэтому (рис. 2.24, б). 4. Прямая — линия пересечения плоскостей () и (). Пересечение этой прямой с ребром дает точку , которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник — искомое сечение (рис. 2.24, в).

Пример №9

Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через середины и ребер и и точку пересечения диагоналей грани (рис. 2.25, а).

Построение

Обозначим секущую плоскость . Выполним последовательно шаги, выполняя поиск фигуры, образованной плоскостью сечения.

Найдем точку пересечения прямой с плоскостью (). Эта прямая лежит в плоскости (), пересекающейся с плоскостью () по прямой . Точка — точка пересечения прямых и . Точка — искомая (рис. 2.25, б).
Аналогично находим точку как точку пересечения прямой с плоскостью (). Точка — искомая.
Плоскость а пересекает плоскость () по прямой, а плоскость () — по прямой . Прямые и пересекают ребра прямоугольного параллелепипеда и в точках и соответственно (рис. 2.25, в).
Прямая пересекает ребро прямоугольного параллелепипеда в некоторой точке — последней вершине сечения (рис. 2.25, в).

Таким образом, пятиугольник — искомое сечение (рис. 2.25, г). Приведем краткие описания построения сечения куба плоскостью, проходящей через три точки.

Пример №10

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам .

Построение

Секущая плоскость ) (рис. 2.26).

Точки и лежат в . Проведем прямую , .
Точки , лежат в . Проведем прямую , .
Точки , лежат в .
— искомое сечение.

Пример №11

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, М, Т, которые принадлежат соответственно ребрам , .

Секущая плоскость (рис. 2.27).

Точки и лежат в , .
Точки , лежат в , .
Точки , лежат в .
— искомое сечение.

Пример №12

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам ,, .

Построение

Секущая плоскость (рис. 2.28).

Точки , лежат в , .
Точки и лежат в , .
Точки и лежат в , .
— искомое сечение.

Просмотр содержимого документа
«Основные понятия стереометрии»

Что такое стереометрия

Следствия из аксиом стереометрии

Стереометрия:

Что такое стереометрия

Стереометрия — это раздел геометрии о свойствах фигур в пространстве -изучают в старших классах.

Схематически это выглядит так:

Напомним структуру логического построения планиметрии:

Все фигуры, которые рассматривались на плоскости, можно рассматривать и в пространстве. Поэтому основные фигуры (понятия) планиметрии — точка и прямая — автоматически становятся основными фигурами стереометрии. Описываются они так же. В пространстве рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Ее можно представить как идеально гладкую поверхность доски или поверхность листа бумаги, которые продолжены во все стороны до бесконечности. Плоскость также понимают как множество точек.
На базе основных понятий определяются другие основные определяемые понятия: расстояние между точками, отрезок, луч, треугольник и т.д.
Прямая — подмножество точек плоскости, отрезок — подмножество точек прямой. Некоторые подмножества точек плоскости являются плоским треугольником, четырехугольником и т.д., а некоторые — неплоскими фигурами. Пространство состоит из бесконечного множества точек.
Итак, основными фигурами (понятиями) в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Эти понятия называют неопределяемыми. Каждая пространственная геометрическая фигура состоит из множества точек. Рассмотрим куб на рисунке 2.2.

Приведем эти уточнения.

. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

. От любой полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

. Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, который равен ему в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

,. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Понятно, что с увеличением количества основных фигур появляются новые аксиомы об их свойствах:

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, непринадлежащие ей (рис. 2.3, а).

Если две различные прямые имеют общую точку, то че рез них можно провести плоскость, и притом только одну (рис. 2.3, б).

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.3, в).

Точка принадлежит прямой (точка лежит на прямой , прямая проходит через точку ). Обозначение: .

Точка не принадлежит прямой (точка не лежит на прямой , прямая не проходит через точку ). Обозначение: .

Точка принадлежит плоскости (точка лежит на плоскости , плоскость проходит через точку ). Обозначение: .

Прямая принадлежит плоскости (прямая лежит на плоскости , плоскость проходит через прямую ). Обозначение: .

Итак, используя рисунок 2.3, аксиомы можно записать:

I₃. Существуют точки и точки .

II₃. Если и , то — единственная.

II4. Если и и , то , причем .

Плоскости изображают по-разному. На рисунке 2.4 показаны некоторые примеры различных изображений плоскостей.

Далее в стереометрии мы будем использовать все определяемые понятия планиметрии, дополнять их новыми, собственно стереометрическими, формулировать и доказывать свойства пространственных фигур.
Как видим, логическое построение планиметрии и стереометрии одинаково, отличаются они лишь некоторым содержанием основных понятий, аксиом, определений, теорем.

Точки не лежат на одной плоскости. Докажите, что прямые и не пересекаются.

Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и пересекаются (рис. 2.5).

Тогда, по аксиоме II₃, через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые и не пересекаются, что и требовалось доказать.
Заметим, что школьный курс геометрии посвящен евклидовой геометрии. Несмотря на то что с течением времени геометрия Евклида была существенно дополнена и откорректирована, ее по-прежнему называют именем древнего ученого. Такое уважение вызвано широтой практического применения евклидовой геометрии. Она используется в технических науках, картографии, геодезии, астрономии и др.

Следствия из аксиом стереометрии

Через прямую и точку, не принадлежащую ей, можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 2
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вея прямая принадлежит этой плоскости.

Через три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Отметим, если плоскость определена тремя точками, которые не лежат на одной прямой, например то в таком случае пользуются обозначением: ( ). Читается: «плоскость, заданная точками , и », или сокращенно «плоскость ».

Если грань многогранника — четырехугольник, например , то выбирают запись плоскости произвольной тройкой его вершин. Например, ( ), ( ) или ( ). Однако иногда в записи плоскости оставляют все четыре вершины, например ( ).

Почему именно так?

Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.

Докажите, что если прямые и не лежат в одной плоскости, то прямые и также не лежат в одной плоскости.

Почему именно так?

Сколько всего существует различных плоскостей, проходящих через прямую и точку в пространстве?

Если в пространстве даны прямая и точка, лежащая на ней, то ими определяется множество плоскостей, поскольку через прямую проходит множество различных плоскостей.
Если же точка не лежит на прямой, то по следствию из аксиом стереометрии такую плоскость можно построить только одну.

Ответ. Бесконечно много или одна.

Почему именно так?

Взяв вне этой прямой произвольную точку, мы всякий раз будем иметь другую плоскость, не совпадающую с ранее построенной. Таких плоскостей множество.
Через данную точку вне прямой можно провести либо прямую, которая пересекает данную прямую, либо прямую, параллельную данной. Оба случая задают одну плоскость.

Сечение задают условием задачи. В зависимости от этих условий и выполняют построение сечения. Учитывая изученное, мы будем решать задачи, в которых сечение задается тремя точками или прямой и точкой вне ее. Почти во всем курсе стереометрии нам придется работать с разными сечениями.
Существуют различные методы построения сечений. Наиболее распространенный в практике изучения курса геометрии средней школы — метод следов. Рассмотрим его.

Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей.
Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения.

При построении сечения следует помнить:

через две точки, принадлежащие плоскости, проходит только одна прямая, и эта прямая также принадлежит этой плоскости;

чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две точки, которые принадлежат обеим плоскостям, и через них провести линию пересечения;

при построении сечений многогранников секущей плоскостью нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекается с гранями многогранника.

Рассмотрим примеры построения сечения многогранника секущей плоскостью.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер с общей вершиной.

Пусть — заданный куб (рис. 2.22). Выберем одну из вершин, например , являющуюся общей для трех ребер и . Обозначим на этих ребрах точки и соответственно, являющиеся их серединами. Точки и не лежат на одной прямой, а поэтому определяют секущую плоскость ( ). Точки и — общие точки плоскости сечения и грани , поэтому , — сторона сечения.
Аналогично и , поэтому и — две другие стороны сечения. Таким образом, — искомое сечение.

Постройте сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через ребро и середину ребра .

Плоскость сечения задается прямой и серединой ребра (обозначим ее точкой ) (рис. 2.23). (МАК) — плоскость сечения. Найдем прямые пересечения
этой плоскости с плоскостями ( ) и ( ). Ими будут соответствующие прямые и , а , образованный пересечением прямых , и , — искомое сечение.

Рассмотрим случай, когда ни одна из прямых, проходящих через эти точки, не будет параллельна сторонам граней.

, тогда .

Мы нашли две стороны фигуры сечения: отрезки и (рис. 2.24, а). Точка — общая точка двух плоскостей ( ) и ( ). Такие плоскости (по аксиоме II₄) пересекаются по прямой, проходящей через точку . Для построения такой прямой нужна вторая точка.

3. Плоскости ( ) и ( ) пересекаются по прямой . по условию не параллельна и , поэтому (рис. 2.24, б).
4. Прямая — линия пересечения плоскостей ( ) и ( ). Пересечение этой прямой с ребром дает точку , которая является вершиной сечения. Таким образом, четырехугольник — искомое сечение (рис. 2.24, в).

Найдем точку пересечения прямой с плоскостью ( ). Эта прямая лежит в плоскости ( ), пересекающейся с плоскостью ( ) по прямой . Точка — точка пересечения прямых и . Точка — искомая (рис. 2.25, б).

Аналогично находим точку как точку пересечения прямой с плоскостью ( ). Точка — искомая.

Плоскость а пересекает плоскость ( ) по прямой , а плоскость ( ) — по прямой . Прямые и пересекают ребра прямоугольного параллелепипеда и в точках и соответственно (рис. 2.25, в).

Прямая пересекает ребро прямоугольного параллелепипеда в некоторой точке — последней вершине сечения (рис. 2.25, в).

Таким образом, пятиугольник — искомое сечение (рис. 2.25, г).
Приведем краткие описания построения сечения куба плоскостью, проходящей через три точки.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам .

Секущая плоскость ) (рис. 2.26).

Точки и лежат в . Проведем прямую , .

Точки , лежат в . Проведем прямую , .

Точки , лежат в .

— искомое сечение.

Секущая плоскость (рис. 2.27).

Точки и лежат в , .

Точки , лежат в , .

Точки , лежат в .

— искомое сечение.

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , , которые принадлежат соответственно ребрам , , .

Секущая плоскость (рис. 2.28).

Точки , лежат в , .

Точки и лежат в , .

— искомое сечение.

Аксиомы стереометрии

Вся стереометрия 10—11 классов построена на пяти (иногда — семи) аксиомах, из которых основными являются лишь три. В этом уроке мы разберём все семь аксиом и решим много полезных задач.

В учебниках разных авторов эти аксиомы идут в разной последовательности. Так, Атанасян даёт аксиомы 3—5; Мерзляк — аксиомы 1—6; Потоскуев / Звавич — все 7 аксиом.

Обратите внимание: у этих аксиом есть следствия. Это три теоремы, которые значительно расширяют наши возможности для решения задач. Им посвящён отдельный урок — см. «Следствия из аксиом стереометрии».

1. Аксиома планиметрии

Аксиома 1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Другими словами, в стереометрии можно пользоваться всеми свойствами плоских фигур, которые мы изучали в планиметрии. Более того: переход к планиметрии — это основной приём для решения множества стереометрических задач.

Для того, чтобы использовать теоремы из планиметрии, достаточно определить плоскость, в которой мы работаем. И убедиться, что интересующие нас объекты (прямые, треугольники, окружности и т.д.) лежат в этой плоскости.

Для обозначения принадлежности мы часто будем использовать знак $\in $ из теории множеств. Допустим, прямая $l$ и точка $M$ лежат на плоскости $\alpha $:

Мы будем обозначать это так: $M\in \alpha $ и $l\in \alpha $.

2. Аксиома точек вне плоскости

Аксиома 2. Для любой плоскости пространства найдутся точки, которые лежат в этой плоскости, и точки, которые лежат вне её.

Из этой аксиомы следует, что всё пространство не исчерпывается одной плоскостью. Есть другие плоскости, на каждой из которых можно отметить бесконечное множество точек.

На чертеже мы видим, что точка $A\in \alpha $, точка $\color\notin \alpha $.

3. Аксиома плоскости (основная)

Аксиома 3. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Другими словами, три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость:

На рисунке точки $A$, $B$ и $C$ лежат на плоскости $\alpha $. Поскольку эти точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают эту плоскость. Обычно её так и обозначают: плоскость $ABC$.

Простой пример из жизни — стул на трёх ножках. Такого количества опор достаточно, чтобы он не качался и не падал. Плоскость стула задаётся однозначно благодаря всего трём точкам опоры.

Мы будем постоянно использовать эту аксиому для доказательства и решения задач. Ведь если удастся задать плоскость, то мы сведём трёхмерную задачу к двухмерной. А это радикально упрощает рассуждения.

4. Аксиома прямой и плоскости (основная)

Аксиома 4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся эта прямая принадлежит этой плоскости.

Это интуитивно понятное утверждение, но его нельзя вывести из предыдущих аксиом.

Итак, есть прямая, две точки которой лежат на плоскости:

Следовательно, вся прямая лежит на этой плоскости:

В этом уроке мы не будем давать строгие теоретико-множественные определения. Потому что сейчас наша цель — максимальная наглядность, а не научная красота. Кому интересно, см. учебник «Геометрия 10» Потоскуева и Звавича.

Вообще существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

Прямая принадлежит плоскости — как раз этот вариант описывает аксиома.

Прямая параллельна плоскости, т.е. не имеет с ней общих точек.

Прямая пересекает плоскость, т.е. имеет с ней ровно в одну общую точку.

Простой пример: на столе, выполняющем роль плоскости $\alpha $, стоит кирпич $ABCD<_<1>><_<1>><_<1>><_<1>>$.

Прямая $\color$ лежит в плоскости $\alpha $. Прямая $\color_<1>>>$ пересекает эту плоскость в точке $\color$ (и тут удобна теоретико-множественная запись $\color_<1>>>\cap \alpha =\color$). Наконец, прямая $\color<<_<1>><_<1>>>$ параллельна плоскости $\alpha $ (пишут $\color>>\parallel \alpha $).

5. Аксиома пересечения плоскостей (основная)

Аксиома 5. Если у двух плоскостей есть общая точка, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой.

Плоскости всегда пересекаются только по прямой:

Сейчас это может показаться рассуждениями Капитана Очевидности, но в первых же задачах на доказательство вы поймёте, насколько полезны эти аксиомы.

Существует два варианта взаимного расположения плоскостей:

Плоскости пересекаются по прямой;

Плоскости параллельны, т.е. не имеют общих точек.

Вернёмся к предыдущему рисунку, где на плоскости $\alpha $ стоит кирпич:

Существует, конечно, третий вариант, когда плоскости совпадают. Это тривиальный случай, и мы не будем его рассматривать. Поэтому если в задаче фигурируют плоскости, то речь идёт именно о разных плоскостях, которые либо пересекаются, либо параллельны.

Важным следствием из трёх основных аксиом: если фигуры $\color<<_<1>>>$ и $\color<<_<2>>>$, лежащие в разных плоскостях, пересекаются друг с другом, то все их общие точки лежат на одной прямой. Более того: эти точки представляют собой либо отрезок, либо луч, либо отдельные точки, либо всю прямую, либо комбинацию таких объектов:

Фигуры $\color<<_<1>>>\subset \alpha $ и $\color<<_<2>>>\subset \beta $. Их пересечение $\color<<_<1>>>\cap \color<<_<2>>>$ — это отрезок $AB$.

Вот почему, например, сечение грани куба плоскостью всегда даёт либо точку, либо отрезок. Подробнее об этом — см. урок «Сечения многогранников». Это один из важнейших уроков во всём курсе стереометрии.

6. Аксиома расстояния (дополнительная)

Аксиома 6. Расстояние между любыми двумя точками пространство будет одним и тем же для любой плоскости, проходящей через эти точки.

Смысл этой аксиомы в следующем. Из Аксиомы 1 мы знаем, что в любой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, для любых двух точек $M$ и $N$ в каждой плоскости, которая проходит через эти точки, можно найти расстояние $\left| MN \right|$.

Однако через точки $M$ и $N$ проходит бесконечно много плоскостей. И в каждой можно найти такое расстояние.

Аксиома 6 утверждает, что все эти расстояния будут равны друг другу. Т.е. расстояние между двумя точками пространства не зависит от выбора плоскости.

На рисунке точки $\color$ и $\color$ принадлежат сразу трём плоскостям: $\alpha $, $\beta $ и $\gamma $. И независимо от выбора плоскости длина отрезка $\color$ будет одной и той же. Эту длину мы обозначаем $\left| \color \right|$.

7. Аксиома разбиения (дополнительная)

Любые две точки, принадлежащие разным частям, разделены плоскостью $\alpha $;

Любые две точки, принадлежащие одной части, не разделены плоскостью $\alpha $.

Интуитивно эта аксиома вполне очевидна. Если две точки лежат по разные стороны от плоскости $\alpha $, то отрезок, соединяющий эти точки, неизбежно пересечёт плоскость $\alpha $. И наоборот: если точки лежат по одну сторону от плоскости $\alpha $, то отрезок, их соединяющий, не пересечёт эту плоскость.

На рисунке мы видим, что отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $\alpha $. И наоборот: отрезок $AC$ не пересекает плоскость $\alpha $, поскольку точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от плоскости.

Здесь можно долго рассуждать, что плоскость $\alpha $ делит всё пространство на два полупространства. Что эта плоскость является границей для таких полупространств. Но это уже аналитическая геометрия и топология — сейчас не будем залезать в дебри.

8. Зачем нужны аксиомы

Математику изучают в школе не просто так. Большинство забудет все эти уравнения, графики и аксиомы сразу после ЕГЭ в 11 классе.

Задача школьного курса математики состоит в том, чтобы вы освоили научное мышление. Чтобы поняли, как работает наука, как проверяются гипотезы и как доказываются утверждения. И чем отличается частный жизненный опыт от универсальных знаний.

Подробнее о том, чем научное знание отличается от обывательского (и почему это так важно), смотрите в цикле уроков «Как работает наука».

Однако в любой науке есть «стартовый» набор утверждений, которые принимаются без доказательств. Эти утверждения и есть аксиомы. Обычно они наглядны и «очевидны» даже для начинающих.

Простой пример «очевидного» утверждения. Биссектриса треугольника пересекает его противоположную сторону:

Спасибо, Капитан Очевидность. Однако напрямую этот факт ниоткуда не следует. Его можно доказать, например, через тригонометрию или координаты. Но потребовать такое доказательство — отличная задача-гроб на устном экзамене в университет.

Создание системы аксиом — долгий и кропотливый процесс. Классическая евклидова геометрия, которую изучают в школе, основана на аксиомах, которые формировались более двух тысяч лет. Основоположник этих аксиом — Евклид — жил в III веке до н.д. Собственно, потому геометрия и называется евклидовой.

Зато когда система аксиом построена, все последующие теоремы выводятся из неё через логические рассуждения. Без привлечения наглядных иллюстраций и «очевидных соображений». Вот здесь и начинается настоящая наука.:)

9. Решение задач

Аксиомы стереометрии часто применяются в доказательствах. И ещё в задачах с открытыми вопросами. Вот пример такой задачи:

Задача 1. Окружность и плоскость

Центр окружности $O$ и точки $M$ и $N$ на этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $. Все ли точки этой окружности принадлежат плоскости $\alpha $?

Решение. Легко заметить, что ответ зависит от взаимного расположения точек $M$, $N$ и $O$.

Допустим, что все они лежат на одной прямой. Тогда $MN$ — диаметр, и вся окружность может как лежать в плоскости $\alpha $, так и не лежать в ней. Вот пример когда окружность не лежит в плоскости:

Пусть теперь точки $M$, $N$ и $O$ не лежат на одно прямой. По Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке) эти точки однозначно задают плоскость. Эта плоскость совпадает с плоскостью $\alpha $.

А поскольку окружность — плоская фигура, то остальные её точки также принадлежат плоскости $\alpha $:

Задача 2. Неравильный рисунок

Вершина $B$ параллелограмма $ABCD$ принадлежит плоскости $\alpha $. Прямая $AD$ пересекает плоскость $\alpha $ в точке $M$, а прямая $CD$ — в точке $K$. Верно ли выполнен рисунок? Ответ обоснуйте.

Решение. Соединим точки $M$ и $K$ прямой $l$:

Мы видим, что точка $B\notin l$. Поэтому точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой. И согласно Аксиоме плоскости (Аксиома 4 в нашем списке), эти точки однозначно задают плоскость.

С одной стороны, мы видим по рисунку, что это плоскость $\alpha $. С другой стороны, параллелограмм — плоская фигура, поэтому точки $M$, $B$, $K$ лежат ещё и в плоскости параллелограмма. А это значит, что плоскости $\alpha $ и $ABCD$ должны совпадать, чего на рисунке не происходит.

Есть и другой способ показать, что рисунок некорректен. По условию задачи, точки $M$, $B$, $K$ являются общими для плоскости $\alpha $ и плоскости $ABCD$. Согласно Аксиоме пересечения плоскостей (Аксиома 5 в нашем списке), все эти точки должны лежать на одной прямой.

Однако простое построение показывает, что точки $M$, $B$, $K$ не лежат на одной прямой, что противоречит аксиоме. Такое противоречие как раз и доказывает некорректность чертежа.

Далее мы будем лишь называть аксиомы — без нумерации.

Задача 3. Прямые на плоскости

Лежат ли в одной плоскости прямые $a$, $b$ и $c$, если любые две из них пересекаются, но не существует точки, принадлежащей всем трём прямым? Сделайте рисунок и обоснуйте ответ.

Решение. Нарисуем прямые $a$, $b$, $c$ и обозначим их точки пересечения $M$, $N$, $K$:

Точки $M$, $N$, $K$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости, эти три точки однозначно определяют некоторую плоскость $\alpha $.

Далее заметим, например, что точки $M\in \alpha $ и $N\in \alpha $ по построению. По основной Аксиоме прямой и плоскости вся прямая $MN=b$ лежит в этой плоскости, т.е. $b\subset \alpha $.

Аналогично доказывается, что прямые $a\subset \alpha $ и $b\subset \alpha $.

Задача 4. Пересечение плоскостей

На рисунке плоскости $\alpha $ и $\beta $ пересекаются по прямой $l$. Точки $A\in \alpha $ и $B\in \alpha $, точка $C\in \beta $. Постройте линии пересечения плоскости $ABC$ с плоскостью $\alpha $ и с плоскостью $\beta $.

Решение. Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости $\alpha $ и $\beta $, буквой $l$:

\[\alpha \cap \beta =l\]

Дополнительное построение: прямая $AB$, которая пересекает прямую $l$ в точке $M$:

Точки $A\in \alpha $, $B\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $AB\subset \alpha $ — искомая линия сечения плоскости $\alpha $ и $ABC$.

Далее заметим, что точка $M\in l\subset \beta $. Дополнительное построение: прямая $CM$:

Точки $C\subset \beta $, $M\subset \beta $. И вновь по основной Аксиоме прямой и плоскости прямая $CM$ — искомая линия сечения плоскости $\beta $ и $ABC$.

Хочу отметить, что задачи на построение — это отдельный класс задач. Как в планиметрии, так и в стереометрии. Там много интересных моментов, им посвящены отдельные уроки. А то, что мы сделали сейчас — это совсем уж простые рассуждения, которые тем не менее опираются на всю мощь аксиом.

Задача 5. Стандартное доказательство

Докажите, что если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма принадлежат плоскости $\alpha $, то и две другие вершины тоже принадлежат плоскости $\alpha $.

Решение. Это классическая задача на доказательство, которую в разных формулировках предлагают во всех учебниках по стереометрии.

Обозначим параллелограмм $ABCD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

Поскольку точка $O\notin AB$, точки $A$, $B$, $O$ не лежат на одной прямой. По основной Аксиоме плоскости эти три точки однозначно определяют плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha $.

Точки $A\in \alpha $, $O\in \alpha $. По основной Аксиоме прямой и плоскости, прямая $AO\subset \alpha $. Но точка $C\in AO\subset \alpha $. Следовательно, вершина параллелограмма $C\in \alpha $. Аналогично через точки $B$ и $O$ доказывается, что вершина $D\in \alpha $.

Замечание по поводу задач

Как видите, мы рассмотрели лишь самые простые задачи. Но даже на их примере видно, насколько важно чётко знать систему аксиом.

Бесчисленное множество контрольных и экзаменов были завалены просто потому, что ученик не смог обосновать простые и наглядные рассуждения. Потому что, например, не знал: можно ли утверждать, что если две точки прямой лежат на плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.

В общем, учите аксиомы и практикуйтесь на простых примерах. А для более интересных задач нам потребуются некоторые следствия из этих аксиом. Чему и посвящён следующий урок.:)

Введение в стереометрию

В 7-9 классах мы изучали только те геометрические фигуры, которые полностью лежат в одной плоскости. Грубо говоря, все построения, которые мы делали на уроках, можно было точно выполнить на листе бумаги. Тем самым мы могли проверить с помощью построения, правильно ли решена та или иная задача. На самом деле мы изучали только один раздел геометрии – планиметрию, которая как раз рассматривает построения на плоскости и свойства плоских фигур.

Однако в реальности мир значительно сложнее. Наше пространство считается трехмерным, и большинство реальных объектов обладают объемом. Свойства фигур в пространстве изучает специальный раздел геометрии – стереометрия.

Сразу заметим, что при изучении стереометрии используются все те знания, которые были получены в рамках планиметрии.

Основные понятия стереометрии

Стереометрия оперирует всеми теми понятиями, которые нам известны из планиметрии – точка, прямая, окружность, треугольник и т. д. Но помимо них добавляются и иные термины.

Важнейшее из основных понятий стереометрии – это плоскость. Иногда в литературе применяется сокращение плос-ть. Строгого определения плоскости в рамках геометрии не дают, это понятие считается исходным, как понятия точки или прямой в планиметрии. Лишь некоторые ее свойства косвенно указываются с помощью аксиом. В реальной жизни примерами плоскости являются поверхность стола или лист бумаги. Однако, в отличие от них, плоскость не имеет границы, она бесконечна (как и прямая). Плоскость не имеет кривизны, поэтому, например, поверхность шара плоскостью не является. При изображении плоскости на чертежах ее обычно показывают в виде параллелограмма, при этом традиционно их обозначают маленькими буквами греческого алфавита, которые в планиметрии используются для обозначения углов (α, β, γ и т. п. ):

Если на плоскости проведена прямая, то она разобьет ее на две фигуры, которые именуются полуплоскостями:

Объемные фигуры – это часть пространства, которая отделена от остального пространства замкнутой поверхностью, то есть границей. Простейший пример объемной фигуры – это куб:

Поверхность куба – это 6 равных квадратов, каждый из них именуется гранью куба. Стороны этих квадратов – это уже ребра куба, а вершины квадратов одновременно являются и вершинами кубов.

Обратите внимание на изображение куба. Здесь он показан немного сбоку, в результате чего изображение становится объемным. Однако при этом мы вынуждены искажать некоторые размеры и углы на чертеже. Например, верхняя грань должна быть квадратом, но на плоском рисунке углы у этой грани прямыми не являются. При необходимости мы просто ставим специальный значок перпендикулярности между отрезками, который использовали и в планиметрии:

Важно понимать, что из-за искажения размеров у объемных фигур на плоских чертежах мы НЕ можем проверить решение некоторых стереометрических задач с помощью точных построений. Однако есть специальные компьютерные программы 3-D черчения, в которых такие построения уже можно выполнить. Также заметим, что на рисунке видны не все 6 граней куба, а только 3 из них. Если возникает необходимость показать невидимые на чертеже линии, то использует штриховые линии:

Все грани куба – это многоугольники. Если у фигуры вся ее поверхность состоит лишь из многоугольников, то она именуется многогранником. Таким образом, куб является примером многогранника. Другими примерами многогранников могут служить параллелепипед, пирамида, усеченная пирамида:

Более подробно различные виды многогранников будут рассматриваться позднее, тогда же им будут даны и их определения.

Если у объемной фигуры хоть одна поверхность не является многоугольником, то она не может считаться многогранником. Наиболее простыми и часто встречающимися такими фигурами являются шар, цилиндр, конус. Обратите внимание, что у них могут отсутствовать ребра и вершины, которые обязательно есть у многогранника:

Следует различать саму объемную фигуру и ее границу. Так, шар – это объемная фигура, а поверхность шара – это сфера.

Аксиомы стереометрии

Стереометрия, как и планиметрия, построена на нескольких базовых утверждениях, которые считаются абсолютно очевидными и не требуют доказательств. Их называют аксиомами. В свою очередь на основе аксиом доказываются простейшие теоремы стереометрии, которые далее используются для доказательства других, более сложных теорем и т. д. Грубо говоря, аксиомы – это исходные, первичные теоремы, принимаемые без доказательств.

Все вместе аксиомы образуют так называемую систему аксиом, или аксиоматику. Система аксиом должна быть непротиворечивой, то есть с ее помощью нельзя одновременно доказать и истинность, и ложность одной и той же теоремы. Также она должна быть ещё и независимой. Это значит, что ни одна из аксиом не может быть доказана с помощью других аксиом (в противном случае эту аксиому можно просто исключить из списка аксиом и считать ее теоремой). Наконец, аксиоматика должна быть полной, то есть с ее помощью любую теорему можно либо доказать, либо опровергнуть, а недоказуемых теорем быть не должно.

На самом деле вопрос о выборе системе аксиом в любой математической дисциплине, в том числе и в геометрии, является достаточно сложным. Первую аксиоматику сформулировал ещё Евклид, но в дальнейшем она была признана не вполне удачной. На сегодняшний день наибольшее распространение получила система аксиом Гильберта, которая была сформулирована только в 1899 г. Однако помимо неё существует ещё несколько аксиоматик: Погорелова, Колмогорова, Вейля, Биргофа и. т. д.

Прежде, чем формулировать сами аксиомы, ещё раз уточним, что есть так называемые неопределяемые понятия стереометрии. В аксиоматике Гильберта это плоскость, точка и прямая. Их свойства как раз и описываются аксиомами. Остальным понятиям даются определения, многие из них были сформулированы в 7-9 классах.

Всего в аксиоматике Гильберта есть 20 аксиом. Из них 15 относятся к планиметрии, и только 5 – к стереометрии. Сначала сформулируем две аксиомы о трех точках:

Здесь приведены два различных утверждения, поэтому их принято разделять на две отличных аксиомы. Для простоты запоминания их можно объединить в одно утверждение:

Другими словами, любые три точки находятся в одной плоскости. По этой причине для обозначения плос-тей иногда просто указывают три ее точки (важно, что они не должны принадлежать одной прямой).

Иногда используются утверждения, что три точки однозначно задают плос-ть или однозначно ее определяют.

Случай, когда три точки находятся на одной прямой, рассматривается отдельно и чуть ниже.

Далее сформулируем аксиому о четырех точках:

Сформулированные три аксиомы стереометрии легко подтверждаются примером из жизни. Возьмем стул с тремя ножками. Мы можем твердо установить его на пол, даже если длина ножек не одинакова. Однако, если у стула 4 ножки, то иногда (когда ножки стула имеют разную длину), стул начинает «шататься». Тремя точками он будет касаться пола, а четвертая опора будет висеть в воздухе. Это происходит из-за того, что 4 конца ножек могут находиться в разных плоскостях. У стула с тремя ножками такая ситуация невозможна, так как его концы ножек в любом случае окажутся в одной плос-ти.

Следующая аксиома отражает связь плос-ти и прямой:

Эту аксиому также подтверждает жизненный опыт. Если отметить на ровном столе любые две точки и приложить к ним ровную линейку, то контакт между линейкой и столом будет плотным, то есть без зазоров. Если же какие-то зазоры есть, то это свидетельствует лишь о неровности стола либо линейки.

Напомним, что в математике есть специальный символ «∈», который показывает, что один объект является частью другого, то есть, принадлежит ему. Так, если прямая АВ лежит в плос-ти α, то этот факт можно показать записью АВ∈α.

Возможен случай, когда прямая имеет с плос-тью единственную общую точку. В таких случаях принято говорить, что прямая и плос-ть пересекаются:

Последняя, пятая аксиома говорит о пересечении двух плос-тей.

Действительно, сложно представить себе ситуацию, когда две плос-ти коснулись друг друга только в одной точке. На основе сформулированных аксиом легко доказать одно из простейших и вместе с тем важнейших утверждений стереометрии.

Действительно, пусть у двух плос-тей, α и β, есть общая точка А. Тогда, согласно аксиоме 5, у них должна быть и другая общая точка, которую мы обозначим как В:

Рассмотрим прямую АВ. По аксиоме 4 она полностью принадлежит плос-ти α, ведь α принадлежат две ее точки. По той же причине можно утверждать, что АВ также принадлежит и β. Таким образом, АВ – общая прямая для α и β.

Но нам надо также показать, что никакая другая точка в пространстве не является общей для α и β. Действительно, пусть существует ещё и некоторая точка С, которая НЕ лежит на АВ, но является общей для α и β. Это означало бы, что через А, В и С проведены две различные плос-ти (α и β). Это противоречит аксиоме 2, поэтому такая точка С не существует, ч. т. д.

Вернемся к аксиомам 1 и 2. В них говорилось о 3 точках, причем отдельно оговаривалось, что они не должны принадлежать одной прямой. Теперь нам ясна причина этой оговорки. Только что доказанная теорема показывает, что через прямую (а значит, и через любые 3 ее точки) может проходить не одна, а как минимум 2 плос-ти. В дальнейшем мы покажем, что на самом деле через прямую можно провести бесконечное число плос-тей.

Простейшие следствия из аксиом стереометрии

На основе аксиом можно доказать несколько простых теорем стереометрии.

Доказательство. Возьмем произвольную прямую m и точку C, которая НЕ принадлежит m. Далее отметим на m две любые точки и обозначим их как А и В:

По аксиоме 1 через А, В, С можно провести некоторую плос-ть α. По аксиоме 4 прямая m будет принадлежать α. Тем самым мы показали, что существует плос-ть, проходящая через m и C. Единственность этой плос-ти вытекает уже из аксиомы 2, ведь через А, В и С нельзя провести две различных плос-ти, ч. т. д.

Иногда доказанный факт формулируют иначе: прямая и точка, не находящаяся на прямой, однозначно определяют проходящую через них плос-ть. То есть, указав прямую и точку, можно одновременно указать на ту плос-ть, которая задается ими.

Переходим к следующей теореме.

Отметим на произвольной прямой m точки А и В. Далее выберем ещё две точки в пространстве C и D, причем такие, что А, В, С и D не находятся в одной плос-ти. Тогда у нас есть плос-ти АВС и АВD, которые пересекаются по прямой АВ:

Теперь соединим С и D прямой. Прямая CD состоит из бесконечного количества точек. Через каждую из них можно провести единственную плос-ть, которая будет проходить через АВ. Так как точек бесконечно много, то и плос-тей будет бесконечно много. Осталось лишь показать, что никакие две таких плос-ти не будут совпадать, то есть все они различны.

Действительно, пусть две таких плос-ти совпадают, то есть на самом деле являются одной плос-тью. Тогда получается, что эта единая плоскость проходит через две точки прямой СD. Тогда, по аксиоме 4, вся прямая СD принадлежит этой плос-ти, в том числе и сами точки С и D. Но плос-ть проходит также через А и В. То есть получится, что А, В, С и D входят в состав одной плос-ти, а это не так. Это противоречие означает, что на самом деле все плоскости, проходящие через разные точки прямой CD, будут различны, ч. т. д.

Рассмотрим ещё одну теорему:

Пусть пересекаются прямые m и n. Обозначим точку их пересечения как А. Также выберем на m некоторую точку В, а на n – точку C. Мы можем построить плос-ть α через точки А, В и C, и она будет единственной. Так как и А, и В принадлежат α, то и вся прямая m ей принадлежит (аксиома 4). Аналогично и прямая n находится на плос-ти α. То есть α как раз и является плос-тью, о которой говорится в теореме. Никакая другая плос-ть не будет содержать обе прямые m и n, ведь в противном случае она проходила бы через точки А, В и С, то есть совпадала бы с α.

Эта теорема также говорит о том, что две пересекающиеся прямые однозначно определяют проходящую через них плос-ть.

Задачи на использование аксиом

Простейшие задачи стереометрии по большей части не требуют проведения расчетов и использования формул, однако приходится использовать строгие логические умозаключения. Чаще всего они сводятся к доказательству довольно очевидных утверждений.

Примечание. Попытайтесь перед просмотром решения задач самостоятельно их решить.

Задание. Точки M, N, Р, К не лежат на одной прямой. Могут ли прямые MN и РК пересекаться?

Решение. Если бы MN и РК пересекались бы, то через эти прямые можно было бы провести плос-ть. Эта плоскость содержала бы все точки прямых, в том числе M, N, Р и К. Но эти точки по условию не могут принадлежать одной прямой. Значит, MN и РК не пересекаются.

Задание. Есть 4 точки, из которых три принадлежат одной прямой. Могут ли эти точки не лежать на единой плоскости?

Решение. Пусть точки Р, К, М находятся на единой прямой РК, а Н – ещё одна точка. Если Н также лежит на РК, то мы можем построить бесконечно много плос-тей, проходящих через РК, и каждая из них будет содержать все эти четыре точки. Если же Н не принадлежит РК, то всё равно через РК и Н можно провести плос-ть, но на этот раз единственную. И эта плос-ть также будет содержать в точки Р, К, М и Н. В любом случае получается, что эти точки находятся на одной плос-ти.

Задание. Через пересекающиеся прямые m и n проведена плоскость α. Верно ли, что любая прямая h, пересекающая m и n в различных точках, будет также принадлежать α?

Решение. Пусть прямая h пересекает m и n в точках В и C соответственно. Раз эти точки принадлежат прямым m и n, то они принадлежат и плос-ти α. Получается, что две точки прямой h (В и С) находятся на α. Тогда, по аксиоме 4, и вся прямая h также находится на α. То есть утверждение, сформулированное в условии задачи, верно.

Задание. Три прямые проходят через общую точку M. Верно ли, что они находятся в одной плоскости?

Решение. Неверно, они могут как находиться, так и не находиться в одной плоскости. Оба случая проиллюстрируем примерами. Пусть есть точки М, Р, К и Н, причем они одной плос-ти не принадлежат. Тогда прямые МР, МК, МН пересекаются в М, но находятся в одной плос-ти. Если же мы выберем точки М, Р, К, Н так, чтобы они находились на единой плос-ти, то прямые МР, МК, МН пересекутся в М и будут принадлежать одной плос-ти.

Задание. Плос-ти α и β не пересекаются. Прямая m пересекает α. Докажите, что она также пересекает и β.

Решение. Сразу скажем, что эта задача сложнее предыдущих, и ее решение неочевидно. Дадим подсказку: при решении стереометрических задач можно использовать и аксиомы планиметрии, в том числе и знаменитую аксиому о параллельных прямых.

Теперь приведем решение. Пусть m пересекает α в точке А. Отметим на β произвольную точку С. Теперь мы можем провести ещё одну плос-ть γ через прямую m и точку C:

Плос-ти γ и β имеют общую точку С. Значит, они пересекаются по некоторой прямой k. У плос-тей γ и α есть общая точка А, поэтому и они пересекаются по некоторой прямой n.

Теперь проанализируем расположение прямых n и k. Они не могут пересекаться, ведь тогда бы точка их пересечения была общей для α и β, а они не пересекаются. Также n и k лежат в одной плос-ти. Тогда n и k по определению параллельны.

Напомним, что по аксиоме параллельности через точку на плос-ти может быть проведена лишь одна прямая, параллельная заданной прямой. В частности, через точку А мы можем провести только одну прямую, параллельную k. Такая прямая уже проведена – это n. Тогда вторая прямая, проходящая через А (это как раз m) либо совпадает с n, либо пересекает k. Совпадать с n она не может, ведь в этом случае m будет полностью принадлежать плос-ти α, а она по условию лишь пересекает ее. Значит, m должна пересечь k в некоторой точке В. Эта точка В принадлежит прямой k, а значит, находится и на плос-ти β. Тем самым мы показали, что m и β пересекаются в точке В.

Для полноты доказательства надо ещё показать, что m имеет ровно одну общую точку с В. Действительно, если бы была ещё одна общая точка, то по аксиоме 4 вся прямая m находилась бы на β. Тогда и точка А оказалась бы на β, то есть она стала бы общей точкой α и β, но таких общих точек по условию не существует, ч. т. д.

Задание. Четыре точки в пространстве выбраны так, что никакая прямая, проходящая через две из этих точек не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Могут ли эти четыре точки находиться на одной плос-ти?

Решение. Предположим, что есть точки М, Р, К и Н, удовлетворяющие условию задачи и находящиеся на одной плос-ти. Ясно, что никакие три из этих точек не принадлежат одной прямой. Тогда мы можем построить четырехугольник МРКН.

Прямые МР и КН по условию не должны пересекаться, то есть они параллельны. Аналогично параллельны МН и РК. Значит, МРКН – параллелограмм по его определению. Но в параллелограмме пересекаются диагонали МК и РН, а по условию и эти прямые не должны пересекаться. Получили противоречие. Из него вытекает, что М, Р, К и Н НЕ могут находиться на одной плоскости.

В ходе сегодняшнего урока мы познакомились с понятием стереометрии. Именно этот раздел геометрии мы будем изучать в течение 10 и 11 класса. Мы узнали о пяти основных стереометрических аксиомах следствиях из них. Использование аксиом в учебном процессе не только позволяет понять геометрию, но и развивает навыки строгого логического мышления, так необходимые в современном мире.

Похожие публикации:

Как посмотреть вкладки в яндексе

Как рассчитать себестоимость торта в excel

Как скинуть геолокацию с андроида на ватсап

Режим максимальной производительности windows 7 как включить

Как определить лежат ли точки в одной плоскости

Основные понятия стереометрии

Просмотр содержимого документа «Основные понятия стереометрии»

Аксиомы стереометрии

1. Аксиома планиметрии

2. Аксиома точек вне плоскости

3. Аксиома плоскости (основная)

4. Аксиома прямой и плоскости (основная)

5. Аксиома пересечения плоскостей (основная)

6. Аксиома расстояния (дополнительная)

7. Аксиома разбиения (дополнительная)

8. Зачем нужны аксиомы

9. Решение задач

Задача 1. Окружность и плоскость

Задача 2. Неравильный рисунок

Задача 3. Прямые на плоскости

Задача 4. Пересечение плоскостей

Задача 5. Стандартное доказательство

Замечание по поводу задач

Введение в стереометрию

Основные понятия стереометрии

Аксиомы стереометрии

Простейшие следствия из аксиом стереометрии

Задачи на использование аксиом

Добавить комментарий Отменить ответ

Просмотр содержимого документа
«Основные понятия стереометрии»