Что делать если в дискриминанте нет с
Дискриминант — это значение, которое определяет, будут ли у квадратного уравнения корни или нет. Формула нахождения дискриминанта известна каждому школьнику, однако что делать, если известны только коэффициенты a и b, а коэффициент c неизвестен? Существует формула для нахождения дискриминанта без этого коэффициента.
Формула для нахождения дискриминанта без коэффициента с:
D = b^2 — 4ac
Если c неизвестен, то нужно заменить его на a:
D = b^2 — 4a^2
Например, у нас есть квадратное уравнение:
-5x^2 + 6x + 1 = 0
Необходимо найти дискриминант. У нас есть только коэффициенты a и b:
D = b^2 — 4a^2
D = 6^2 — 4(-5)(1)
D = 36 + 20
D = 56
Ответ: дискриминант равен 56.
Теперь мы можем определить, будут ли у данного квадратного уравнения корни или нет. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень. Если же дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
Таким образом, формула нахождения дискриминанта без коэффициента c позволяет нам быстро и точно определить, будут ли у квадратного уравнения корни или нет.
Неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений
Превращение полного квадратного уравнения в неполное выглядит так (для случая \(b=0\)):
Для случаев, когда \(с=0\) или когда оба коэффициента равны нулю — всё аналогично.
Обратите внимание, что про равенство нулю \(a\) речи не идет, оно равно нулю быть не может, так как в этом случае уравнение превратиться в линейное :
Решение неполных квадратных уравнений
Прежде всего, надо понимать, что неполное квадратное уравнение все-таки является квадратным уравнением , поэтому может быть решено также как и обычное квадратное (через дискриминант ). Для этого просто дописываем недостающий компонент уравнения с нулевым коэффициентом.
Пример: Найдите корни уравнения \(3x^2-27=0\)
Решение:
У нас неполное квадратное уравнение с коэффициентом \(b=0\). То есть, мы можем записать уравнение в следующем виде:
Фактически здесь то же самое уравнение, что и в начале, но теперь его можно решать как обычное квадратное. Сначала выписываем коэффициенты.
Решение неполных квадратных уравнений
8 класс. Алгебра.
Неполными квадратными уравнениями называются такие уравнения, которые получаются из полных квадратных уравнений 
, если какой-нибудь из коэффициентов равен нулю. Рассмотрим виды таких неполных квадратных уравнений и примеры их решений. Решение неполных квадратных уравнений как правило проще, потому что меньше параметров участвуют в вычислениях.
– неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.
Как решаются неполные квадратные уравнения рассмотрим на примерах.
Решить неполные квадратные уравнения
Пример 1
Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:
; переносим слагаемые из правой части в левую:
; приводим подобные слагаемые:
, отсюда 
.
Ответ: 0.
– неполное квадратное уравнение (
). Решение:
→
или
→
. Ответ: 0;
.
Пример 2
.
Решение. Вынесем общий множитель х за скобки:
; каждый множитель может быть равным нулю:
или 
→ 
, делим обе части равенства на 5 и получаем: 
.
Ответ: 0; 5,2.
Пример 3
.
Решение. Вынесем общий множитель 4х за скобки:
. У нас три множителя, 4≠0, следовательно, или или 
. Из последнего равенства получим 
.
Ответ: -16; 0.
Пример 4
.
Решение. Применив формулу квадрата разности двух выражений раскроем скобки:
; преобразуем к виду: 
; приведем подобные слагаемые:
; вынесем х за скобки, получаем: 
. Отсюда или или 
→ 
.
Ответ: 0; 1.
– неполное квадратное уравнение (b=0); Решение:
→
.
Если (-c/a) 0, то имеем два действительных корня:
Ответ: \displaystyle \pm-\sqrt<\frac<-c>>
Пример 5
.
Решение:
, отсюда 
. Ответ: 
.
Пример 6
.
Решение.
разделим левую и правую части уравнения на 9.
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2 x − 3 = 0;
- 15 − 2 x − x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9 x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Решение неполного квадратного уравнения
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (− c / a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (− c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобку
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
- x 2 − 7 x = 0;
- 5 x 2 + 30 = 0;
- 4 x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
, часть 1