Что такое frac в математике

Contents

Types of fractions [ ]

If the numerator is smaller than the denominator, it is called a proper fraction, and is less than one. An example of this is 3 5 <\displaystyle <\frac <3><5>>> .

If the numerator is larger than the denominator, it is called an improper fraction, and is greater than one. An example of an improper fraction is 51 2 <\displaystyle <\frac <51><2>>> , which is 25 wholes and a half; [1] 25 1 2 <\displaystyle 25<\frac <1><2>>> as a mixed number.

Manipulating fractions [ ]

Multiplying fractions is very easy:

allowing us to «force» values of the numerator or denominator. Some call this multiplying by one creatively.

Adding fractions is somewhat harder. If both the summands have the same denominator, we can use the distributive property:

But if they’re different, we can multiply by one creatively to force their denominators to line up:

This formula is not terribly useful to memorize; knowing the technique is much more helpful. If we’re working with integers, instead of b d <\displaystyle bd>in the denominator, we can use the least common multiple of b , d <\displaystyle b,d>.

Example [ ]

Note that we could have taken a shortcut using the least common multiple:

We multiplied the first fraction by 2/2 and the second by 3/3.

Conversions, mixed numbers and improper fractions [ ]

Explain in more detail what mixed numbers and improper fractions are.
You can convert a mixed number (a, surprisingly, mixed fraction — 5 4 5 <\displaystyle 5<\frac <4><5>>> is a mixed number) into an improper fraction (a fraction in which the numerator is larger than the denominator) by doing three things:

1. Multiply the whole number (the 5 <\displaystyle 5>) by the denominator (the other 5 <\displaystyle 5>) of the fractional part. In the example above, to change 5 4 5 <\displaystyle 5<\frac <4><5>>> to a mixed number, first multiply 5 × 5 = 25 <\displaystyle 5\times 5=25>.
2. Add the numerator of the fractional part to that product. In the example, 4 + 25 = 29 <\displaystyle 4+25=29>.
3. The resulting sum is the numerator of the new (improper) fraction, with the denominator remaining the same in both the mixed number and the improper fraction. In the example, 5 4 5 = 29 5 <\displaystyle 5<\frac <4><5>>=<\frac <29><5>>> .

Likewise, you can convert an improper fraction into a mixed number by following another 3 rules:

1. Divide the numerator by the denominator. Let’s say, for example, 32 7 <\displaystyle <\frac <32><7>>> . 32 ÷ 7 = 4 <\displaystyle 32\div 7=4>with 4 left over (the remainder)
2. The quotient (without the remainder) becomes the whole number part of the mixed number. The remainder becomes the numerator of the fractional part. In the example, 4 is the whole number part and 4 is the numerator of the fractional part.
3. The new denominator is the same as the denominator of the improper fraction. In the example, the denominator is 7. Thus 32 7 = 4 4 7 <\displaystyle <\frac <32><7>>=4<\frac <4><7>>> .

Rationalizing the denominator [ ]

In elementary algebra, we are sometimes asked to rationalize the denominator of an expression like this one:

To rationalize the denominator is to create a fraction equal to this one with an integer in the denominator.

Fractal fractions [ ]

Fractal fractions are fractions on which the numerator and/or the denominator consist of infinite other fractions. A simple fraction or number can be expressed as an infinite fraction in this way:

Then, the fractions can be split into a sum of two different fractions.

Fractal fraction simplification [ ]

To convert an infinite fraction to a simpler one or a number equations must be used since taking a part of the infinite part of the fraction doesn’t lead to the result it corresponds to:

Документация

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

Описание

frac(x) представляет “дробную часть” x-floor(x) из номера x .

Для сложных аргументов, frac применяется отдельно к действительной и мнимой части.

Для вещественных чисел, значение x-floor(x) представленный frac(x) номер от интервала . Для положительных аргументов можно думать о frac как обрезающий все цифры перед десятичной точкой.

Для целочисленных аргументов, 0 возвращен. Для рациональных аргументов возвращено рациональное число. Для аргументов, которые содержат символьные идентификаторы, возвращены символьные вызовы функции. Для аргументов с плавающей точкой или нерациональных точных выражений, возвращены значения с плавающей точкой.

Примечание

Если аргумент является числом с плавающей запятой абсолютного значения, больше, чем 10 DIGITS , то результат затронут внутренними незначащими цифрами! См. Пример 2.

Примечание

Точные числовые данные, которые не являются ни целыми числами, ни рациональными числами, аппроксимированы числами с плавающей запятой. Для таких аргументов результат зависит от приведенной стоимости DIGITS ! См. пример 3.

Взаимодействия среды

Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS который определяет числовую рабочую точность.

Примеры

Пример 1

Мы демонстрируем дробную часть вещественных и комплексных чисел:

Дробная часть символьного числового выражения возвращена как значение с плавающей точкой:

Выражения с символьными идентификаторами производят символьные вызовы функции:

Пример 2

Необходимо соблюдать осторожность при вычислении дробной части чисел с плавающей запятой большого абсолютного значения:

Обратите внимание на то, что только первые 10 десятичных цифр являются “значительными”. Дальнейшие цифры подвергаются эффектам округления, вызванным внутренним бинарным представлением. Эти “незначительные” цифры могут ввести дробную часть:

Мантисса следующего числа с плавающей запятой не имеет достаточного количества цифр, чтобы сохранить “цифры после десятичной точки”:

Пример 3

Точные числовые выражения преобразованы в числа с плавающей запятой. Следовательно, существующая установка DIGITS влияет на результат:

Обратите внимание на то, что точное значение этого номера . Оценка с плавающей точкой может подвергнуться серьезной отмене:

Результат с плавающей точкой более точен, когда более высокая точность использовала:

Параметры

Возвращаемые значения

Перегруженный

Смотрите также

Функции MuPAD

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

© 1994-2019 The MathWorks, Inc.

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста — например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Что такое frac в математике

Чтобы дать определение алгебраической дроби, необходимо повторить, что такое алгебраическое выражение (см. §1 справочника для 7 класса) и многочлен (см. §14 справочника для 7 класса).

Алгебраическая дробь – это алгебраическое выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Алгебраическая дробь, как и другие алгебраические выражения, может быть рациональной или иррациональной. Напомним, что в иррациональных выражениях извлекаются корня из переменных (или переменные возводятся в степень с дробным показателем). В рациональных выражениях корни и дробные степени или вообще не извлекаются или извлекаются только из чисел.

Алгебраические (рациональные) дроби

Иррациональные дроби

Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.

Например: Дробь $\frac $ существует при условии x≠4. Допустимые значения переменной $\ $.

Дробь $\frac $ существует при условии y≠±3. Допустимые значения переменной $ \ $.

Основное свойство алгебраической дроби

При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:

Это свойство аналогично основному свойству обычной числовой дроби: мы можем одновременно умножать или делить числитель и знаменатель на любое выражение, сокращать на общий множитель, если он существует. Например:

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Основное свойство алгебраических дробей позволяет приводить их к общему знаменателю и упрощать сложные выражения:

Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

1. Разложить все знаменатели на множители (коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены, многочлены)
2. Найти наименьшее общее кратное знаменателей – это будет общий знаменатель.
3. Найти дополнительные множители для каждой из дробей.
4. Умножить числитель каждой из дробей на её дополнительный множитель, записать результат с общим знаменателем.

Например: привести к общему знаменателю $\frac , \frac , \frac $

Шаг 1. Наименьшее общее кратное: $xy^2$

Шаг 2. Дополнительные множители

Шаг 3. Результат:

Перемена знака у члена дроби

Из основного свойства дроби следует, что одновременное умножение числителя и знаменателя на (-1) не изменит дробь:

Дробь также не изменится, если провести следующие перемены знаков:

Ещё несколько полезных формул, связанных с переменой знаков:

Примеры

Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:

$ a^2-4 \neq 0 \iff (a-2)(a+2) \neq 0 \iff a \neq \pm 2$

$ 3x-1 \neq 0 \iff x \neq \frac $

$k+1 \neq 0 \iff k \neq -1 $

$\ $ — все действительные числа, кроме -1

Обратите внимание: несмотря на то, что дробь сокращается $\frac = \frac = k-1$ требование $k \neq -1$ сохраняется.

$x^2+6x+9 \neq 0 \iff (x+3)^2 \neq 0 \iff x \neq -3 $

$ \ $ — все действительные числа, кроме -3

$$ x- \frac \neq 0 \iff \frac \neq 0 \iff x^2-4 \neq 0 \\ x \neq 0 \end \right.> \iff x \neq $$

$ y^2-3|y| \neq 0 \iff |y|(|y|-3) \neq 0 \iff |y| \neq 0 \\ |y| \neq 3 \end \right.> \iff y \neq $

Пример 2. Сократите дроби:

Пример 3. Упростите выражение:

Пример 4. Постройте график функции:

График – прямая y(x) = 0,5x-1, кроме точки (-2;-2), т.к. $x \neq -2$.

График – прямая y(x) = -x+1, кроме точек (-4;5) и (4;-3), т.к. $x \neq \pm 4$.

Урок 20 Бесплатно Дробные выражения

В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.

Дробные выражения

Для начала определимся с определением дробного выражения.

Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.

Пример:

Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: «Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?», то можно смело ответить: «Да, является!»

Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.

Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.

Примеры:

Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.

Примеры:

Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.

Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.

Например, существует следующее дробное выражение:

В данном случае \(\mathbf \) будет являться числителем, а \(\mathbf >\)- знаменателем.

Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.

Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.

Примеры преобразования обычного выражения в дробное:

Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.

Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.

Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Вычисление дробных выражений

Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.

Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.

Далее надо смотреть, что получилось:

• может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
• может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
• в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом

Пример 1

Вычислим значение выражения \(\mathbf >\)

Решение:

Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:

В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.

Пример 2

Решение:

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:

Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.

Пример:

Решение:

Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:

В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.

Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:

Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Приемы для работы с дробными выражениями

Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.

Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.

Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.

Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.

Как же это относится к дробным выражениям?

Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.

Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!

Пример:

Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.

Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.

Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127

Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.

Это и будет значением этого выражения.

Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.

Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.

Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.

Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)

Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.

Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.

Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.

В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.

Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.

Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя — это гарантированно дает результат.

Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.

Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.

Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.

В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.

И парочка примеров на этот случай:

И в завершение еще дам такой пример:

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Десять интересных математических фактов:

1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад

2. 2 и 5— единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5

3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно

4. В римской системе счисления не существует нуля

5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке

6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды

7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила

8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды

9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях

Формулы тригонометрии и простейшие уравнения

Любые формулы достаточно коварны. Но есть верный способ их одолеть — найти самое сложное и сделать простым. Как добраться до финиша с минимальными потерями? Давайте узнаем в статье.

Формулы тригонометрии

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 x + cos 2 x = 1

Чтобы доказать данное тождество, рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и углом α

\(sin\: \alpha = \frac \)
\(cos\: \alpha = \frac \)