Найти все значения при которых вектор b линейно выражается через векторы

пространство — Арифметические пространства

Найти все значения x при которых вектор b линейно выражается через векторы: a1=(2,3,5), a2=(3,7,8), a3=(1,-6,1), b=(7,-2, x). Если я правильно понимаю, то вектор b линейно выражается через векторы a1, a2, a3, если система векторов a1, a2, a3 линейно зависима, значит нужно составить матрицу, искать её ранг методом Гаусса, но решая я прихожу к тому, что система линейно зависима при любых x, а в ответе 15. подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

задан 2 Ноя ’15 22:45

Можно ещё сделать так: заметить, что система a1,a2,a3 линейно зависима (5a1-3a2=a3). Тогда лишний вектор убираем, и составляем определитель из строк a1,a2,b. Приравниваем к нулю, и находим значение x=15.

1 ответ

значит нужно составить матрицу, искать её ранг методом Гаусса — Всё так, с небольшим уточнением. Вы не просто находите ранг, а проверяете условие теоремы Кронекера-Капелли.

6. Исследовать, являются ли векторы

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства r2, заданного в некотором базисе матрицей

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 2.

Значит, — собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х₂=t →x₁=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы

Мы должны найти все λ, для которых уравнение (1)

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

При 18-3λ=0, т.е. при λ=6, ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и = 3. И при таких λ система, а, значит, уравнение (1), имеет решение. При других λ решений нет.

9. Найти базис и размерность линейной оболочки векторов из , где

Рассмотрим систему векторов , . И пусть θ, θ=0+0х+0х 2

Это приводит к системе:

Система имеет единственное решение:

И поэтому вектора , линейно независимы.

Рассмотрим систему векторов , , (1)

Это приводит к системе:

Определитель системы ≠ 0 → система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов (1) является базисом линейной оболочки. LimL(a₁, a₂, a₃)=3

Докажите, что линейные пространства и изоморфны:

C над R , R 2 .

Т-ма: 2 конечномерных векторных пространства изоморфны ↔, когда их размерности совпадают.

Размерностью пространства V (dim V) называется число элементов в базисе этого пространства. Найдем базисы для V₁ и V₂.

Для любого комплексного числа zЄV₁ мы имеем: z = a+b_i=0 . 1+0, любое комплексное число – есть линейная комбинация векторов 1, i (1).

Пусть теперь , значит система (1) линейно независима и поэтому является базисом в пространстве V₁. Итак, dimV₁=2

В пространстве R 2 имеется базис e₁=(1,0), e₂=(0,1). Значит dimV₂=2.

Следовательно, по теореме эти пространства изоморфны.

11 Найти матрицу, обратную матрице а

_{Решение: Обратную матрицу можно искать только для квадратной матрицы, у которой определитель ≠ 0}

_{т. к. обратная матрица существует}

_{Aij — алгебраические дополнения}

15. Даны два базиса и пространства Найти матрицу перехода от базиса к .

Так как векторы е₁, е₂ образуют базис пространства, то векторы а₁ и а₂ можно линейно выразить через е₁, е₂:

Каждое из этих равенств можно заменить системой уравнений α₁₁=1, α₁₂= -1. α₂₁=2, α₂₂= -1

Исследование системы на совместимость и решение методом Крамера. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

Т-ма Крамера: крамеровская система имеет единственное решение.

Крамеровская система – это система, удовлетворяющая следующим 2-м условиям:

1) число уравнений системы = числу неизвестных

2) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0

Система совместима, т.е. имеет хотя бы одно решение.

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Решение:Выпишем расширенную матрицу системы

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.

Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы

С – расширенная матрица системы, А – матрица системы

r(A)=2 r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе:

Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.

главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),

3. Разложить пространство R 4 на прямую сумму подпространств размерности 2.

R 4 – множество строк длины 4 (4-х мерное арифметическое пространство)

Если А и В – подпространства пространства V, то через А+В обозначают множество

В случае, если А∩В= <Ø>– нулевое подпространство, то такая сумма V=A+B называется прямой и в этом случае пишут V=A. В нашем случае Ø=(0,0,0,0)

Проверим, что пространство задаётся в виде А+В

а=( в==(0,0,, значит R 4 =A.

Ответ: R 4 =A, где А=<( B=<(0,0,

4. Докажите, что в пространстве M(2, R) система векторов линейно независима.

Система векторов а₁,а₂,а₃,а₄ линейно независима, если в любой системе вида

В нашем случае, пусть

Значит, система векторов Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ линейно независима.

5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: .

Жорданова нормальная форма матрицы состоит из клеток Жордана вдоль главной диагонали, а все остальные элементы такой матрицы нулевые.

Клетка Жордана – это матрица вида:

Если размер клетки n*n, то она обозначается символом Y_n(a).

В искомой матрице записывают характеристический многочлен матрицы А и находят его корни.

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 3.

Надо выяснить, какой из 3-х случае нам подходит:

Число всех клеток Жордана вычисляют по формуле:

Значит, . Искомая матрица имеет вид: Y=

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного пространства линейно зависимыми.

Это приводит к системе:

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R 2 , заданного в некотором базисе матрицей

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 2.

Значит, — собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х₂=t →x₁=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы

Мы должны найти все λ, для которых уравнение (1)

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

При каких значениях лямбда из линейной независимости системы векторов

Система из называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой .

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов — линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что . В этом равенстве . В самом деле, если , то . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).

Тогда из равенства получаем .

Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Пример 1.3. Параллелограмм построен на векторах и и

б) доказать, что векторы , линейно зависимы.

а) Так как , то по правилу треугольника: .

Рассуждая аналогично, получаем: . Построим вектор . Из равенства треугольников .

б) Учитывая, что , получаем: , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов , равна нулевому вектору. Следовательно, векторы , линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Здравствуйте, помогиите, пожалуйста, с данной задачей:
Найти все значения параметра лямбда, для которых указанная система векторов-строк будет линейно зависимой x1=( -3, 0, λ,3), x2=(-1, λ, λ, 2); x3=(-2, -1, 0, λ)

является ли линейно независимой или линейно зависимой следующая система векторов?
a1(2,3,3,5,-2) a2(-1,3,2,1,1) a3(3,0,1,4,-3)

Найти все значения параметра, при которых вектор является линейной комбинацией векторов
При каком значении параметра р вектор q= является линейной комбинацией векторов.

Найти все значения параметра, при которых вектор является линейной комбинацией векторов
3.Найти все значения лямда, при которых вектор b является линейной комбинацией векторов a1, a2.

Решение

Один из способов решения основан на понятии базисного минора. Составим из координатных строк 3х4 матрицу А. Затем вычислим определитель (называемый минором), составленный из столбцов А под номерами 1, 2, 4. Выяснится, что этот минор равен λ^2-2λ+1. Следовательно ранг А равен трем при любом λ, отличном от 1. Значит при всех этих значениях λ векторы линейно независимы. Непосредственно убеждаемся, что при λ=1 ранг матрицы А равен 2, а значит наши векторы линейно зависимы.
Окончательно, система линейно зависима при единственном значении λ=1.

Является ли система линейно зависимой
Дана система (1, x, cos^2(x), sin^2(x)). Определить, является эта система линейно зависимой.

Линейно-зависима или линейно-независима система векторов?
линейно зависима или линейно не зависима система векторов 3;1;4;0; 3;2;1;-1; 0;-;13;1;.

Найти значения параметра, при которых система имеет единственное решение
Здравствуйте. Очередная параметрическая задача. Текст задачи во вложении. Нужна помощь. Свои.

При каких значениях из линейной независимости системы следует линейная независимость системы ?

Я рассмотрел линейную комбинацию векторов второй системы с некоторыми произвольными коэффициентами. Т.к. векторы второй системы представляют собой суммы векторов исходной системы, то можно в таком виде и рассмотреть их:

Сгруппировал коэффициенты при одинаковых векторах:

Мы получили линейную комбинацию векторов исходной системы. Т.к. по условию она линейно независима, то эта линейная комбинация равна нулю только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. Составим систему:

Иначе можно переписать ее так:

Видим, что начиная со второй строки соотношение между коэффициентами выражается формулой . То есть , при этом его знак изменился n раз. Поэтому первый коэффициент получился таким: .

Подставим это соотношение в первое уравнение системы:

Правильно ли я решил задачу?

Доказать линейную независимость
Доказать, что система E:= линейно независима, где: e1=(a11,0,0,0) e2=(a21,a22,a23,0).

Доказать линейную независимость системы векторов
Помогите решить задачу из задачника по алгебре Кострикина. Вот задача: Пусть дана система векторов.

Доказать линейную независимость над R системы функций
Доказать линейную независимость над R системы функций idR, x→ sinx, x→ cosx.

Проверить на линейную независимость
Проверить есть ли множество функций линейно независимой в пространстве С (Ω): 1, cos(x).

Похоже на правду, только наоборот, при этом лямбда — линейно зависима.
Но такие задачи решаются немного иначе. Составляешь матрицу векторов в базисе первой системы и пытаешься понять, при каких лямбда ее определитель равен нулю. В принципе — тоже самое, но нагляднее.

А, понял. Даны векторы типа , и так далее. Нужно найти коэффициенты, с которыми они выражены через векторы исходной системы.

Ну в геометрии, по-моему, нулевой определитель это критерий компланарности, а компланарные векторы линейно зависимы.

Вот различные свойства
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Определитель квадратной матрицы 3*3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы.

Установить линейную независимость векторов
Доброго времени суток. Вот уже час бьюсь над задачей и никак не могу понять как решить. .

Доказать линейную независимость системы функций
Доказать линейную независимость системы функций e^x, e^(2x), . e^(nx). Помогите пожалуйста с.

Каким образом можно доказать попарную независимость и независимость в совокупности?
Пусть U = — пространство элементарных исходов некоторого опыта. Пусть p1 = 1/8;.

Доказать независимость событий
Пусть событие А таково что Р(А) равно 0 или 1. Докажите, что А и любое событие Б независимы.

Доказать независимость событий
Добрый день, прошу пожалуйста тех, кому не будет трудным, решить данную задачу:

Доказать условную независимость двух событий
Подскажите, пожалуйста, как доказать, что дополнение к А и B, дополнение к А и дополнение к B.

Определение. Линейная комбинация x ₁ a ₁ + . + x_n a_n называется тривиальной, если все коэффициенты x ₁, . x_n равны нулю.

Определение. Линейная комбинация x ₁ a ₁ + . + x_n a_n называется нетривиальной, если хотя быбы один из коэффициентов x ₁, . x_n не равен нулю.

Определение. Вектора a ₁, . a_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору.

То есть вектора a ₁, . a_n линейно независимы если x ₁ a ₁ + . + x_n a_n = 0 тогда и только тогда, когда x ₁ = 0, . x_n = 0.

Определение. Вектора a ₁, . a_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых векторов:

Примеры задач на линейную зависимость и линейную независимость векторов:

Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 1 0

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 0 — 0

1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 + 0

1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 0

Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел x ₁, x ₂, x ₃ таких, что линейная комбинация векторов a , b , c равна нулевому вектору, например:

а это значит вектора a , b , c линейно зависимы.

Ответ: вектора a , b , c линейно зависимы.

Решение: Найдем значения коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору.

Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений

Решим эту систему используя метод Гаусса

1 1 0 0 1 2 -1 0 1 0 2 0

из второй строки вычтем первую; из третей строки вычтем первую:

1 1 0 0 1 — 1 2 — 1 -1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 1 2 — 0 0 — 0

1 1 0 0 0 1 -1 0 0 -1 2 0

из первой строки вычтем вторую; к третей строке добавим вторую:

1 — 0 1 — 1 0 — (-1) 0 — 0 0 1 -1 0 0 + 0 -1 + 1 2 + (-1) 0 + 0

1 0 1 0 0 1 -1 0 0 0 1 0

из первой строки вычтем третью; к второй строке добавим третью:

1 — 0 0 — 0 1 — 1 0 — 0 0 + 0 1 + 0 -1 + 1 0 + 0 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Данное решение показывает, что система имеет единственное решение x ₁ = 0, x ₂ = 0, x ₃ = 0, а это значит вектора a , b , c линейно независимые.

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = ( a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Какое значение m вектора a = ( 1 ; 2 ) и b = ( — 1 ; m ) необходимо для коллинеарности векторов?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = — 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k — 1 ( a k — 1 a 1 ) e 1 + ( a k — 1 a k ) e k + . . . + ( a k — 1 a n ) e n = 0

— a k — 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k — 1 , k + 1 , n

β 1 e 1 + . . . + β k — 1 e k — 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = ( — β 1 ) e 1 + . . . + ( — β k — 1 ) e k — 1 + ( — β k + 1 ) e k + 1 + . . . + ( — β n ) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 — e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен — 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = — 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , — 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 — 1 | 0 1 0 1 | 0

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

1 1 0 | 0 1 — 1 2 — 1 — 1 — 0 | 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 | 0 — 0

1 1 0 | 0 0 1 — 1 | 0 0 — 1 1 | 0

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

1 — 0 1 — 1 0 — ( — 1 ) | 0 — 0 0 1 — 1 | 0 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) | 0 + 0

0 1 0 | 1 0 1 — 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​