Что такое невырожденная матрица пример

Невырожденные матрицы

Пусть — квадратная матрица -го порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае () матрица называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

где — алгебраическое дополнение элемента данной матрицы (оно определятся так же, как и алгебраическое дополнение элемента , определителя).

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

где — единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

т. е.

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример №3.1.

Найти если .

Решение:

1) Находим : .

2) Находим : поэтому .

3) Находим : .

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера .

Выделим в ней строк и столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из элементов по .)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где — меньшее из чисел и .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример №3.4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

Вес миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, . Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Невырожденная матрица

Научные статьи на тему «Невырожденная матрица»

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Определение 1 Обратной матрицей матрицы $A$ называют такую матрицу $A^<-1>$, при умножении которой.
на исходную матрицу в качестве результата получается единичная диагональная матрица $E$, то есть матрица.
$A \cdot A^ <-1>= E$ Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.
Свойства обратных квадратных невырожденных матриц Определитель матрицы $A$ равен обратному значению.
матрице: $(A^T)^ <-1>= (A^<-1>)^T$; Единичная обратная матрица равна единичной матрице: $E = E^<-1>$

Об условиях невырожденности интервальных матриц

Получены новые достаточные условия невырожденности интервальных матриц, задаваемых центральной матрицей и матрицей радиуса. Также получены необходимые и достаточные условия невырожденности интервальных матриц специального вида, задаваемых произведением скалярного коэффициента на матрицу, состоящую из единиц. Интервальные матрицы указанного специального вида исследуются в работе более детально. Для них выведены достаточные условия проверки невырожденности за полиномиальное время, построены соответствующие примеры. На модельных интервальных матрицах (невырожденной и вырожденной) проведено исследование ряда известных достаточных условий вырожденности и невырожденности, показавшее, что для всех критериев кроме одного модельные интервальные матрицы указанного специального вида оказались "плохим" случаем. Показано, что критерий достаточных условий невырожденности, оказавшийся исключением, представляет для интервальных матриц указанного специального вида также необходимым и достато.

Высшая математика 1 курс

Над матрицами выполняются следующие виды действий: сложение матриц одинакового размера; умножение матрицы.
Обратная матрица Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и.
союзная матрица.
Ранг матрицы Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее.
Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так: $a_k=

Невырожденность матриц и свойство диагонального преобладания

Диагональное преобладание в матрице является простым условием, обеспечивающим ее невырожденность. Свойства матриц, которые обобщают понятие диагонального преобладания, всегда очень востребованы. Они рассматриваются как условия типа диагонального преобладания и помогают определять подклассы матриц (типа H -матриц), которые при этих условиях остаются невырожденными. В данной работе строятся новые классы невырожденных матриц, которые сохраняют преимущества диагонального преобладания, но остаются вне класса H -матриц. Эти свойства особенно удобны, поскольку многие приложения приводят к матрицам из этого класса, и теория невырожденности матриц, которые не являются Н -матрицами, теперь может быть расширена.

Матрицы

Понятие матрицы впервые появилось в середине прошлого столетия в работах английских математиков У. Гамильтона (1805-1865) и А. Келли (1821-1895). В современной прикладной математике матрицы и связанные с ними понятия используются очень широко при решении самых разнообразных задач. В частности, использование матриц значительно упрощает решение сложных систем уравнений.

Матрицей называют прямоугольную таблицу с m строчек и n столбцов, составленную из чисел или любых объектов.

Ограничимся рассмотрением только действительных матриц, то есть матриц составленных из действительных чисел:

Числа называют элементами матрицы. Первый индекс i означает номер строчки, второй j — номер столбца. Количество строчек и столбцов важно для матрицы, поэтому часто говорят, что матрица имеет тип или что матрица имеет размер . Строчки и столбцы ещё называют рядами матрицы.

— круглыми скобками или двойными вертикальными черточками:

— большими буквами А, В, С:

— через сокращённую запись:

В зависимости от чисел вида и расположения элементов выделяют следующие типы матриц:

— если то матрицу называют квадратной;

— если то матрицу называют прямоугольной;

— если (матрица типа ), то её называют строчечной или вектором-строчки;

— если n=1 (матрица типа ), то её называют столбцовой, или вектором-столбца;

— матрица типа скаляр (число);

(если рассмотреть следующие матрицы

то видим, что матрица А — квадратная, матрицы В, С — прямоугольные, матрица D — вектор-строчки, матрица М — вектор-столбец, матрица К — скаляр);

— если все элементы квадратной матрицы, кроме при равны 0, то матрицу называют диагональной

— если все ненулевые элементы диагональной матрицы равны 1, то её называют единичной матрицей и обозначают Е:

(если ввести символ Кронекера

тогда единичную матрицу можно записать в сокращённом виде );

— если все элементы матрицы — нули, то её называют нулевой матрицей

называют треугольными (нижняя треугольная и верхняя треугольная).

Действия над матрицами

Над матрицами можно выполнять определённые действия, которые, по аналогии с числами, называют сложением, вычитанием, умножением. Также существуют действия, которые определены только для матриц. Введём правила действий над матрицами.

1. Матрицы считают равными, если они одного и того же типа, то есть имеют одинаковое количество строчек и столбцов, и соответствующие элементы равны, то есть матрицы равны , если .

2. Суммой двух матриц и одинакового типа называют матрицей того же типа, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть

Свойства действий сложения матриц:

Пример.

а) Найти сумму матриц А и В.

б) Записать матрицу А как сумму матриц:

3. Аналогично вычисляют разность матриц:

4. Произведением матрицы (или произведением числа на матрицу) называют матрицу, элементы которой получены умножением элементов матрицы А на число k:

Свойства действий умножения матрицы на число:

4. Матрица (-1)А=-А называется противоположной для А.

(Если матрицы отрицаются только знаками своих элементов, то их называют противоположными).

Пример.

5. Умножение матриц.

Если количество столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то для них определена матрица , которую называют их произведением.

Элементы матрицы С находят по следующим правилам:

элемент равный сумме попарных произведений элементов i-ой строчке матрицы А и j-ого столбца матрицы B.

Пример. Найти произведение матриц А и В, если

Решения. Согласно приведённого правила, что бы найти элементы первого ряда матрицы А почленно умножаем на элементы первого столбца матрицы В; с₁₂ — элементы первого ряда матрицы А на элементы второго столбца матрицы В; с₂₁ — элементы второго ряда матрицы А на элементы первого столбца матрицы В; с₂₂— элементы второго ряда матрицы А на элементы второго столбца матрицы В. Получим:

Свойства действий умножения матриц:

Внимание!

Если АВ=ВА, то матрицы называют коммутативными. Единичная матрица Е коммутативная с любой другой, то есть АЕ=ЕА=А и играет роль единицы при умножении.

Пример.

а) Найти произведение матриц АВ и ВА если:

Как видим,

б) Проверить существуют ли произведения АВ и ВА, если

Решение. Количество столбцов матрицы А совпадает с количеством строчек матрицы В, следовательно можно найти произведение матриц АВ:

Найти произведение матриц ВА невозможно, поскольку количество столбцов матрицы В не совпадает с количеством строчек матрицы А.

Транспонирование матриц

Если в матрице типа заменить строчки столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу типа .

Пример.

Свойства действий транспонирования матриц:

— дважды транспонированная матрица равна начальной

— транспонированная матрица суммы равна сумме транспонированных матриц слагаемых

— транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке

7. Матрица называется симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей, то есть если

— симметричная матрица обязательно квадратная;

— элементы, симметричные относительно основной диагонали равны;

— произведение является симметричной матрицей.

Пример.

8. Две матрицы называют эквивалентными, если одна получена из другой с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матриц называют следующие операции:

а) перестановка двух строк или столбцов матрицы;

б) умножение всех элементов любой строки (столбца) на одно и тоже число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам любой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умножение на одно и тоже число.

Пример. Рассмотрим матрицы:

Матрицы А, В, С, D эквивалентны, поскольку: матрица В получена из матрицы А перестановкой первой и второй строки; матрица С получена из матрицы А через умножение всех элементов второй строки на число 5; матрица D получена из матрицы А с помощью замены третьей строки суммой удвоенных элементов первой строки с элементами третьей.

Матрица и её определение

Матрицей называется прямоугольная таблица из m × n чисел, содержащая m строк и n столбцов, взятая в квадратные или круглые скобки. (1.2)

Или коротко [ а_ij ] (i = 1, 2, . m; j = 1, 2, . n).
В этом случае считают, что матрица имеет размерность m × n. Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В, С, Е, .

Числа a_ij называются элементами матрицы, где первый индекс i означает номер строки, а второй j — номер столбца. Если количество строк не равно количеству столбцов, то есть m ≠ n, то матрица называется прямоугольной, размерности m × n, а если m = n — квадратной. В этом случае число m = n называется порядком матрицы. Элементы квадратной матрицы, в которых i = j , образуют главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то есть

А =
Здесь отдельные элементы главной диагонали могут быть нулевыми.

Если в диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице, то ее называют единичной матрицей. Она обозначается буквой Е и имеет вид:

Е =

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют равное количество строк и столбцов и соответствующие элементы которых совпадают.

Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нуль-матрицей или нулевой. Ее обозначают буквой О.

Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А поменять строки на столбцы, а столбцы — на соответствующие строки, то полученную матрицу называют транспонированной и обозначают А T .

Если определитель квадратной матрицы равен нулю , то матрица А называется вырожденной (или особенной) и при — невырожденной (или неособенной).
матрица вида
А =
а матрица
А =

Матрицу
A =

называют матрицей трапецеидального вида, если одновременно a₁₁, a₂₂, . a_jj отличные от нуля.

Пример 1. Заданs матрицы:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Здесь:
1) A — прямоугольная матрица размерности 2 × 3,
2) A T — транспонированная матрица к матрице A;
3) B — матрица-столбец;
4) C — матрица-строка;
5) D — диагональная матрица четвертого порядка;
6) О — нулевая матрица второго порядка.

Пример 2. Для изготовления пяти видов елочных украшений на фабрике тратится определенное количество материала. Конкретные цифровые данные указаны в таблице:
Охарактеризовать содержание строк и столбцов этой таблицы.

Решение. Указанные 15 чисел можно записать в виде прямоугольной матрицы размерности 3 × 5.

Каждые строка и столбец этой матрицы имеют определенный экономический смысл. Так, элементы первой строки указывают количество израсходованного стекла (в кг) на изготовление каждого из пяти видов елочных украшений. Числа второй строки указывают на потребности в количестве железных прищепок, необходимых для изготовления этих изделий. Элементы третьей строки характеризуют потребности в краске (в кг), которая используется при изготовлении соответствующего вида продукции.

Столбцы матрицы указывают на конкретное количество стекла, железных прищепок и краски, которые нужны на изготовление каждого из пяти видов елочных украшений. Так, например, элементы третьего столбца означают, что на изготовления украшений третьего вида нужно 2,8 кг стекла, 185 шт. железных прищепок и 1,4 кг краски.

Пример 3. Цены на некоторые виды товара характеризуются в гривнах, долларах США (USD), евро (EUR), английских фунтах (GBR) и рублях России (RUR).

Охарактеризовать содержание отдельных элементов таблицы.
Решение. Числовые данные этой таблицы можно записать в виде прямоугольной матрицы:

Каждый элемент имеет определенный экономический смысл. Например, элемент a₂₁ значит, что женская кофта стоит 120 гр., элемент a₃₂ означает, что спортивный костюм стоит 60,4 долларов США, а элемент a₄₄ указывает на цену сапог в 52,4 английских фунтов. Элементы, например, первой строки определяют цены мужской куртки в различных денежных единицах: 1230 грн.; 232,1 долларов США; 238,8 евро; 155,3 английских фунтов; 7318,5 российских рублей.

Действия над матрицами

Пусть заданы две матрицы одной размерности m × n:

Определение. Суммой (разностью) двух матриц А и В называется такая матрица С размерности m × n, элементы которой с_ij равны алгебраической сумме (разности) соответствующих элементов a_ij и b_ij матриц А и В, то есть:

Из этого определения вытекают свойства:
1. A + B = B + A (коммутативность)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (ассоциативность)
3. A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральность)
4. (A ± B) T = A T ± B T (транспонированность).

Пример 1. Найти сумму и разность матриц.

Пример 2. Три магазина «Продтовары» продают продукты в течение рабочего дня. Данные о торговле двух смен характеризуются таблицами:
I смена:

II смена

Найти данные о совокупной однодневной продаже товара каждым магазином.

Решение. Содержание этих таблиц можно записать в виде двух прямоугольных таблиц:

Сумма этих двух матриц характеризует данные о совокупную однодневную продажу каждого из видов продукции:

Определение. Произведением матрицы A на число k (или числa k на матрицу A) называется матрица, элементами которой являются произведения элементов матрицы A на число k:

A ⋅ k = k ⋅ A = k ⋅
Из определения произведения матрицы на число (или числа на матрицу) вытекает, что
1. k (mA) = (km) A;
2. (k + m) A = A (k + m) = kA + mA = Ak + Am;
3. λ (A + B) = λA + λB;
4. λA = 0, если λ = 0;
5. λA = 0, если A = 0.

Пример 3. Найти матрицу 4A, если матрица
A =
Решение. Согласно определению, получим:
4A =

Пример 4. Вычислить матрицу C = 2A – 4B, если

Решение. Использовав формулу умножения матрицы на число и формулу вычитания матриц, получим:

Пример 5. Предприятие производит три вида продукции А, В, С. Нормы затрат ресурсов на единицу продукции заданы в таблице:

Найти затраты ресурсов на изготовление 6 комплектов продукции.

Решение. Затраты ресурсов на производство единицы продукции можно представить в виде матрицы:

A =

Каждый элемент матрицы имеет определенный экономический смысл. Например, a₂₁ = 2 означает, что на изготовление единицы вида продукции A расходуется 2 кг сырья Y; элемент a₁₂ = 4 означает, что для изготовления единицы вида продукции B нужно потратить 4 шт. единиц сырья X.
Очевидно, что для нахождения затрат на изготовление 6 комплектов продукции, нужно вычислить матрицу 6 A, то есть
6A = 6
Замечание. Умножение матрицы на число отличается от умножения определителя на число. Матрицу умножают на число k, умножив все ее элементы на это число. Если определитель умножается на число k, то умножают на него все элементы одной какой-нибудь строки (или столбца).

Пусть матрица A содержит m строк и p столбцов, а матрица B имеет p строк и n столбцов.

Определение. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы с_ij которой равны сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, то есть c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + . + a_ip b_pj (i = 1, 2, . m; j = 1, 2, . n).

Произведение матрицы A на матрицу B обозначают АВ (A × B). Умножение матрицы A на матрицу B выполняется по следующей схеме:

Здесь элемент c_ij находят как скалярное произведение элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Произведение матриц характеризуется свойствами:
1. AE = EA = A;
2. A⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0;
3. AB ≠ BA (некоммутативность)
4. (AB) C = A (BC) (ассоциативность)
5. C (A+B) = CA + CB , (A+B) C= AC + BC (дистрибутивность)
6. (A ⋅ B) T = B T ⋅ A T .
Это свойство имеет место для произвольного числа множителей

7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Пример 6. Найти произведения AB и BA, если

и убедиться, что AB ≠ BA.

Решение.
AB =
аналогично
BA =
Отсюда следует, что AB ≠ BA.

Пример 7. Найти произведение AB, если

Решение.
AB =
(Здесь произведение BA неопределенный, так как количество столбцов первой матрицы не равно количеству строк второй матрицы).

Пример 8. Найти произведение AE, если
A =

Решение.
AE =


(Легко убедиться, что имеет место и равенство EA = A).

Пример 9. Найти произведение AB, если

Решение. Произведение этих матриц возможен, поскольку количество столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Получим
AB =
Пример 10. Дана матрица:
A = Найти А 2 .
Решение.
А 2 = A ⋅ A =

=

Замечание 1. Произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда каждая из матриц сомножителей не является нулевой.

Пример 11. Найти произведение матриц:
A ⋅ B =

=

Замечание 2. Произведением двух диагональных матриц одного и того же порядка является диагональная матрица того же порядка.

Пример 12. Найти произведение диагональных матриц:

Тогда
A⋅ B =

Для таких двух матриц произведение коммутативно:
A⋅ B = B⋅ A.

Пример 13. Торгово-строительная компания заключила договор на строительство 6 жилых домов, 3 офисных зданий и 4 домов отдыха. Цены на отдельные виды материалов следующие: кирпич — 32 у.е./тыс. шт., цемент — 300 у.е./т., лес круглый — 44 у.е./м 3 , оцинкованное железо — 6 у.е./м 2 , стекло — 5 у.е./м 2 .

Информация о количестве материалов на каждый вид строительства представлена ​​в таблице:

Необходимо найти:
1) общее количество материалов;
2) цену материалов для каждого вида строения;
3) общую стоимость материалов.

Решение. 1) Запишем в виде матрицы А данные, которые характеризуют количество материалов на каждый вид строения, а данные об их ценах — в виде матрицы-столбца С.

Обозначим данные о договоре, заключенном на строительство сооружений через
Чтобы найти общее количество материалов для строительства, нужно перемножить матрицы В и А и найти произведение BA, то есть

BА =

Таким образом, для выполнения договора на строительство 6 жилых, 3 офисных и 4 домов отдыха компания должна приобрести 960 тыс. шт. кирпича; 116 т цемента; 506 м 3 круглого леса; 2580 м 2 оцинкованного железа и 1780 м 2 стекла.
2) Чтобы найти общую стоимость материалов для каждого вида строительства, нужно перемножить матрицу А на матрицу-столбец С, составленную из чисел, характеризующих цены на соответствующие материалы:

Стоимость материалов для строительства жилого дома составляет 8860 у.е., для строительства офиса — 9348 у.е. и для строительства дома отдыха — 7740 у.е.

3) Для того, чтобы найти общую стоимость строительства согласно договора 6 жилых, 3 офисных и 4 домов отдыха нужно найти произведение матриц

Это же число можно получить еще так:

Таким образом, общая стоимость всего здания составляет 112 164 у.е.

Обратная матрица

Определение 1. Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной (или неособенной), если ее определитель не равен нулю.

Определение 2. Квадратная матрица А n-го порядка называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю.

Определение 3. Матрица А -1 называется обратной матрицей для квадратной невырожденной матрицы А, если выполняются равенства AA -1 = A -1 A = E.

ТЕОРЕМА. Если матрица А n-го порядка невырожденная, то для нее существует обратная матрица А -1 .

Доказательство. Пусть задана квадратная невырожденная матрица А, то есть ее определитель ≠ 0.
A =
Рассмотрим другую матрицу
В =
где A_ij — алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы A.
Найдем произведение АВ:
АВ = = C .

Если i ≠ j, то есть выражение, которое является суммой произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения элементов другой строки определителя матрицы А. По теореме аннулирования эта сумма равна нулю.

Если i = j, то выражение c_ii = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + . + a_inA_in представляет собой сумму произведений элементов произвольной строки на соответствующие алгебраические дополнения этой строки определителя матрицы А. По теореме Лапласа такая величина равна определителю матрицы .

То есть матрица С имеет вид

С =

Если каждый элемент этой матрицы С разделить на (т.е. умножить ее на ), то получим единичную матрицу Е, то есть

Это доказывает теорему.

Итак, обратная матрица имеет вид:

Дадим схему нахождения обратной матрицы для заданной квадратной невырожденной матрицы.
1. Вычислим определитель матрицы .
2. Транспонирует матрицу A, то есть получаем матрицу:

3. Находим алгебраические дополнения каждого элемента транспонированной матрицы А Т и запишем их в виде матрицы А П :

4. Делим каждый элемент матрицы А П на определитель матрицы A, то есть умножим число
на матрицу А П . Полученная матрица будет обратной:

Матрица А П , которая составлена ​​из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, называется присоединенной (или союзной) к матрице A.

Замечание 1. Присоединенная матрица будет иметь такой же вид A П , если транспонировать матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A.

Пример 1. Найти обратную матрицу для матрицы
A =
и показать, что AA -1 = A -1 A = E.

Решение. Определитель этой матрицы

Транспонированная матрица A Т имеет вид

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента этой матрицы

Присоединена матрица будет такой:

Обратная матрица А -1 для заданной матрицы А имеет вид

Легко проверить, что

Пример 2. Найти обратную матрицу для матрицы
A =

Решение. Вычислим определитель этой матрицы:

Поскольку , то есть матрица A вырождена, то обратной для нее не существует.
Замечание 2. Квадратная невырожденная матрица второго порядка имеет обратную A -1 , и она находится по формуле:

Пример 3. Найти обратную матрицу к матрице
A =
Решение. Заданная квадратная матрица второго порядка невырожденная, поскольку ее определитель

поэтому обратная к матрице A существует, и ее можно найти по предыдущей формуле:

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерности m × n (1.2).

Определение. Рангом матрицы называется самый высокий порядок отличных от нуля миноров. Его обозначают через r (или rang (A)).

Из определения вытекают следующие свойства ранга матрицы.

1. Ранг матрицы равен нулю только тогда, когда матрица нулевая. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительному числу.

2. Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел m и n, то есть 0 ≤ r ≤ min (m, n).

3. Для квадратной матрицы n-го порядка r = n только тогда, когда матрица невырожденная.

4. Если r <n то определитель матрицы равен нулю.

Рассмотрим два метода нахождения ранга матрицы.
Первый метод — метод окантовки — заключается в следующем. Если все миноры 1-го порядка, то есть элементы матрицы, равны нулю, то r = 0.

Если хотя бы один из миноров 1-го порядка не равен нулю, а все миноры 2-го порядка равны нулю, то r = 1. Аналогично, если минор 2-го порядка отличен от нуля, то исследуем миноры 3-го порядка. Таким способом находят минор k-го порядка и проверяют, не равны ли нулю миноры (k + 1)-го порядка. Если все миноры (k + 1)-го порядка равны нулю, то ранг матрицы A равен числу k. Такие миноры (k + 1)-го порядка, как правило, находят путем «окантовки» минора k-го порядка.

Пример 1. Найти ранг матрицы:
A = .

Решение. Все миноры 2-го порядка

равны нулю. Значит, ранг матрицы A равен единице: r (A) = 1.

Пример 2. Найти ранг матрицы:
A = .
Решение. Поскольку в матрице A есть миноры 1-го порядка, отличные от нуля, то ее ранг может быть равен единице. Минор 2-го порядка

но, например, минор

отличен от нуля. Окантовывая минор М₂ , получим минор 3-го порядка (в матрице A показано пунктиром)

Рассмотрим миноры 4-го порядка, которые окантовывают данный минор М₃

Все они равны нулю, потому, что первая и четвертая строки пропорциональны. Значит ранг матрицы A равен 3 (r = 3).

Рассмотрен способ нахождения ранга матрицы не всегда удобный, поскольку нужно вычислять большое количество миноров.

Второй метод определения ранга матрицы заключается в применении элементарных преобразований матрицы при сведении ее в диагональному виду.

Элементарными преобразованиями матрицы называются такие операции:
1) перестановка местами любых двух строк (или столбцов);
2) умножение каждого элемента произвольной строки (или столбца) на отличное от нуля число;
3) вычеркивания строки (или столбца), которая содержит все нулевые элементы;
4) прибавление к элементам произвольной строки (или столбца) соответствующих элементов другой строки (или столбца), умноженных на одно и тоже отличное от нуля число.

При таких элементарных преобразованиях ранг матрица не изменяется.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из второй с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не равны между собой, зато они имеют одинаковые ранги.

Если матрицы A и B эквивалентны, то это записывают так: ⇔.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно свести к диагональному виду. Ранг такой матрицы равен числу отличных от нуля диагональных элементов.

Пример 3. Найти ранг матрицы
A =

Решение.
1-й шаг. В заданной матрице переставим первую и вторую строки. На месте элемента а₁₁ имеем элемент, равный 1.
2-й шаг. Добавим к элементам второй и третьей строк соответствующие элементы первой строки, умноженные на «–3», а к элементам четвертой строки — соответствующие элементы первой, помноженные на «–5».
3-й шаг. В первой строке можно автоматически записать все нули, кроме первого элемента «1». Этого можно добиться, если к элементам 2-го, 3-го, 4-го и 5-го столбцов прибавить соответствующие элементы первого столбца, умноженные соответственно на числа: «–3», «–3», «–2», «–5».
4-й шаг. Добавим к элементам третьей и четвертой строк соответствующие элементы второй строки, умноженные на число «–2».
5-й шаг. Во второй строке на месте элементов «–7», «–3», «–11» запишем нули (аналогично как на третьем шаге).
Рассмотренные шаги приведения матрицы A к диагональному виду покажем схематически так:

В последний матрице вычеркнем третью строчку и третий и четвертый столбцы, которые содержат все нулевые элементы:
A ⇔
Ранг этой матрицы равен трем, а значит и ранг матрицы A тоже равен 3, то есть r = 3.

Пример 4. Найти ранг матрицы:
A =
Решение.
1-й шаг. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы первой и поменяем их местами.
2-й шаг. К элементам второй и третьей строк добавим соответствующие элементы первой, умноженные соответственно на «–3» и «–5».
3-й шаг. Запишем в первой строке все нули, кроме первого элемента «1».
4-й шаг. Вычтем соответствующие элементы второй и третьей строк.
5-й шаг. Подобно тому, как на 3-м шаге, получим во второй строке нули на месте элементов «9» и «–7». Покажем рассмотрены шаги схематично.

Ранг последней матрицы равен двум, а значит и ранг матрицы A равен 2, то есть r = 2.

Матрицы и общие сведения о матрицах

Многие экономические задачи связаны с обработкой информации, которая представлена таблицами данных. Поэтому исключительно важную роль играет понятие матрицы.

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Размерностью (или размером) матрицы называется пара чисел , где — число строк, — число столбцов в таблице.

Матрицы обозначают обычно большими латинскими буквами и записывают следующим образом:

Здесь — произвольный элемент матрицы, стоящий в i-й строке и j -м столбце. Кроме круглых скобок для обозначения матриц используют и квадратные.

Пример №22

Три завода выпускают пять различных видов продукции. Отчет о производстве за год в тыс. ед. представлен матрицей:

Где, например, = 4 (тыс. ед.) — количество продукции 3-го вида, выпущенное 2-м заводом в течение этого года. Размерность этой матрицы 3×5.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, т.е. размерность матрицы , то матрица называется квадратной порядка . Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца) называется вектор-строкой (). Действительно, вектор-строка размерности — это фактически вектор из , а вектор-столбец размерности — вектор из . Например,

.

Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Две матрицы одинаковой размерности равны, если равны их соответствующие элементы. Транспонированной матрицей к матрице А называют матрицу , которая получается, если в матрице А меняют местами соответствующие строки и столбцы. Для матрицы (1) получим

Размерность этой матрицы 5 x 3.

Над матрицами можно производить ряд операций. Матрицы одинаковой размерности можно складывать. Сложить две матрицы означает сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрицы можно умножать на число. Это означает, что все элементы матрицы надо умножить на данное число.

Пример №23

Если ассортимент продукции заводов из примера 1 не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы:

Если же в течение третьего года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20% по сравнению со вторым годом, то отчет за третий год будет таким:

Отчет же за три года будет выглядеть следующим образом:

Перемножение матриц и его свойства

Важнейшей операцией линейной алгебры является операция умножения матриц.

Пусть даны две матрицы: А — размерности и В — размерности . Т.к. количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы, то можно умножить матрицу А на матрицу В. Результатом умножения будет матрица С — размерности (правило для запоминания: ). Элемент полученной матрицы равен скалярному произведение двух векторов: i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е.

Пример №24

Произведение матрицы А на матрицу В равно

Произведение АВ оказалось возможным, т.к. число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй и равно 3. В то же время, произведение ВА невозможно, т.к. теперь число столбцов первой матрицы равно 3, а число строк второй — 2 .

Приведем основные свойства умножения матриц.

1. Как известно, для любых чисел а и b выполняется свойство: ab = ba. Для матриц, в общем случае, АВ ВА. Например,

2. Единичной матрицей Е называется квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, а остальные нули. Особенности умножения на эту матрицу такие: АЕ = ЕА = А.

3. Произведение матриц подчиняется сочетательному закону: (АВ)С = А(ВС).

4. При перемножении матриц и транспонировании имеет место свойство: .

Пример №25

Предприятие выпускает три вида продукции , используя два вида сырья . Нормы расхода сырья характеризуются матрицей

Например, = 3 означает, что на выпуск единицы продукции расходуется 3 единицы сырья .

1) Требуется определить затраты сырья, необходимые для выполнения плана выпуска продукции: — 100 ед., — 50 ед., — 80 ед. 2) Стоимость единицы сырья составляет: — 15 грн., — 22 грн. Рассчитать общие расходы на приобретение сырья, необходимые для выполнения плана 1).

Решение:

1) Введем вектор-столбец плана выпуска продукции:

Рассчитаем затраты сырья, необходимые для выполнения этого плана:

2) Введем вектор-строку стоимостей единиц сырья: = (15 22).

Общие расходы на приобретения сырья, необходимые для выполнения плана:

Решая подобные задачи в дальнейшем, можно без рассуждений использовать формулу: .

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Высшая математика: полный курс лекций

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Матрицы, действия над матрицами

Матрицей размера называется таблица, что складывается из рядов и столбцов.

Иногда матрица обозначается не круглыми скобками, а двойными вертикальными отрезками: или квадратными скобками:

Матрица размерности называется квадратной матрицей — ого порядка. Элементы в этом случае образуют главную диагональ матрицы.

Определитель, сложенный из элементов квадратной матрицы, называется определителем (детерминантом) матрицы и обозначают так:

Квадратная матрица, в которой на главной диагонали стоят единицы, а другие элементы равны нулю, называется единичной и обозначается

Если все элементы матрицы равны нулю, то такую матрицу называют нулевой и обозначают

Две матрицы и называют равными , если они одинакового размера и равны их элементы, что стоят на одинаковых местах.

Произведением числа на матрицу по определениям является матрица

Таким образом, чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица размера , элементы которой находят так:

для всех и

Следует, складывание матриц приводится к складыванию соответственных элементов этих матриц.

Отнимание матриц обозначаются через действия, которые уже рассматривали:

то есть отнимание двух матриц приводится к отниманию их соответственных элементов. Очевидно, что отнимать можно только матрицы одинакового размера.

Произведением матрицы и называется матрица элемент которой равен сумме произведений — го ряда матрицы на соответственные элементы — ного столбца матрицы то есть

Для произведения матриц в общем случае справедливы соотношения:

(если же, обычно, существует каждый из слагаемых).

Операции складывания матриц имеют свойства:

4. Если тогда — противоположная к матрица.

Операции умножения матриц имеют такие свойства:

Квадратная матрица результат умножения этой матрицы на саму себя. Аналогично вводится понятие — нной степени матрицы , то есть

Если в матрице поменять местами ряды и столбцы, то получим матрицу которую называют транспонированной к матрице

Решение примеров и задач:

Пример 1.1.

найти матрицы

Отметим, что

Матрицы дают возможность укоротить записи и использовать одинаковые соображения для разных объектов.

Задача 1.2

Предприятие выпускает продукцию двух видов, используя при этом сырье трех типов. Затраты сырья на производстве продукции задаются матрицей где — количество единиц сырья — ого типа, что используется для производства единицы продукции — ого вида. План ежедневного выпуска продукции превышает 90 единиц продукции первого вида и 120 единиц продукции второго вида. Стоимость единицы каждого типа сырья соответственно равны 8, 5 и 10 рублей. Обозначить общие затраты сырья необходимой для ежедневного выпуска продукции, а также общую стоимость этого сырья.

Решение . Запишем план выпуска продукции в виде матрицы Тогда общие затраты сырья планового выпуска продукции можно найти как произведение матрицы и то есть

Следует, для ежедневного выпуска продукции используется 930, 390 и 540 единиц сырья первого, второго и третьего типов соответственно.

Зададим стоимость единицы каждого типа сырья матрицы Тогда общая стоимость сырья:

Заметим, что использование матриц а этой задаче привело к наглядности, упрощения и компактности вычислений.

Определители

Число называется определителем (детерминантом) второго порядка и обозначается так:

Числа — элементы определителя, причем первая цифра индекса в записи числа указывает на номер порядка, в котором стоит этот элемент, а вторая цифра интекса — на номер столбца. Диагональ, на которой размещены элементы и называется главной диагональю, а диагональ, на которой находится и называется побочной. Следует, определитель второго порядка равен разнице произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Аналогично, определителем третьего порядка называется число, что образуется из девяти чисел по такому правилу:

Эта сумма складывается из шести произведений. В каждое произведение входит по одному числу из каждого порядка и в то же время до одного элемента из каждого столбца. Знаки произведений легко запомнить воспользовавшись схемами:

Напомним основные свойства определителей третьего порядка

1. Величина определителя не изменяется, если его ряды заменить столбцами, причем каждый ряд заменяют столбиком с тем же самым номером.
2. Если в определителе поменять местами только два ряда (или два столбика), то определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютное значение.
3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или два одинаковых ряда. то он равен нулю.
4. Если определитель содержит два пропорциональных ряда (столбца), то значение его равно нулю. Если элементы некоторого ряда (столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
5. Если все элементы некоторого ряда (столбца) умножить на одно и то же число, то значение определителя так же умножиться на то же число. Это подразумевает, что общий множитель всех элементов ряда (столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Если каждый элемент некоторого ряда (столбца) является сумма двух слагаемых, то определитель можно предоставить в виде суммы двух определителей: в первом из них на месте каждой суммы остается только первое слагаемое, а во втором — только второе слагаемое (другие элементы определителя сохраняются).
7. Значение определителя не изменяется, если к элементами некоторого ряда (столбца) прибавить соответственные элементы другого параллельного ряда (столбца), умножив их поочередно на одно и то же число.

Если в определителе вычеркнуть — нный порядок и — нный столбец, на пересечении которых размещен элемент то получим определитель второго порядка, который называется минором элемента Алгебраическими дополнениями элемента определителя называется соответственный ему минор со знаком, который вычисляется по такому правилу:

Еще одно свойство определителя.

8. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда (столбца) на соответственные их алгебраические дополнения.

Если по этому правилу раскрыть определитель по первому порядку, то получим:

Решение примеров:

Пример 1.11.

Решение. Сделаем этого двумя способами:

а) Вычислим определитель раскладывая его по элементам третьего порядка (используем свойство 8).

б) В этом случае, образуем нули во втором порядке (или в нем есть единица или же выбирается тот ряд ( или столбец), в котором пропорциональные элементы). Для этого к элементам второго столбца прибавим элементы первого, предварительно умножив их в уме на 2, потом к элементам третьего столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные перед этим на — 3. Значение определителя при этом, согласно со свойствами 7, не измениться.

Пример 1.12

Вычислить определитель третьего порядка

Решение. Преобразуем определитель таким образом, чтобы ниже главной диагонали все элементы его стали нулями. Тогда из определитель равен произведению диагональных элементов.

Найдем разницу первого и второго рядов, а потом умножим первый порядок на 2 и отнимем от третьего порядка. Получим определитель

Отняв второй порядок от третьего, получим:

Пример 1.13

Вычислить определитель четвертого порядка

Решение. Сложим первый ряд к второму и четвертому, получим определитель

Переставим первый и третий столбцы:

Сложим второй порядок к третьему и четвертому ряду и вынесем общий множитель элементов третьего и четвертого ряда:

Отняв третий ряд от четвертого, получим:

Ранг матрицы и способы его вычисления

Матрица имеет ранг если среди ее миноров существует хотя бы один минор порядка отличный от нуля, а все миноры порядка и высшего равен нулю, или не существуют.

Пример 1.29

Найти ранг матрицы

Решение. Эта матрица третьего порядка, следует, ее ранг не может быть больше трех. Определитель третьего порядка равен нулю:

но существует минор второго порядка Ранг матрицы равен двум,

Пример 1.30

Найти ранг матрицы

Решение. Эта матрица имеет размер потому ее ранг не больше 3. Существует определитель третьего порядка Следует,

Элементарными преобразованиями матрицы называют такие ее преобразования:

1. Транспортировка, то есть замена каждого ряда столбцом с тем же номером и наоборот.
2. Перестановка двух рядов или двух столбиков.
3. Умножение всех элементов ряда или столбца на любое число не равное нулю.
4. Складывание всех элементов ряда или столбца соответственных элементов параллельного ряда, умножено на одно и то же число.

Матрицы полученные одна из другой элементарными преобразованиями, называются эквивалентными. Эквиваленты матрицы не равны одна другой, но при элементарных преобразований матриц ее ранг не изменяется.

Пример 1.31.

Найти ранг матрицы

Решение. Разделим элементы первого ряда на 2, получим эквивалентную матрицу ( ранг этой матрицы равен рангу исходной):

Отнимем от третьего ряда второй, умноженный на 3.

При нахождении ранга матрицы, как правило, нужно вычислить большое количество определителей. Чтобы облегчить этот процесс, используют специальные способы. Ранг можно вычислить, например, так: над матрицей последовательно выполняют элементарные преобразования до тех пор, пока в каждом ряде и каждом столбце стоит не более одного ненулевого элемента. Тогда ранг матрицы будет равен числу этих ненулевых элементов.

Пример 1.32

Найти ранг матрицы

Решение. Преобразуем в нули все элементы первого ряда, кроме первого элемента, для чего первый и второй столбец оставим без изменения, вместо третьего столбца запишем разницу между первым и третьим столбцом, а вместо четвертого — сумму четвертого и первого, умноженного на (-2).

Далее без изменения оставим первый и третий столбцы, вместо второго запишем разницу между третьим и вторым столбцами, а вместо четвертого — сумму четвертого столбца и третьего, умноженного на -4.

И наконец, остаточный столбик преобразуем на нули. Вместо него запишем разницу между вторым и четвертым столбцами.

Полученная матрица содержит три ненулевых элемента, то есть

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице если

Отсюда вытекает. что обратную матрицу могут иметь только квадратные матрицы.

То есть обратная матрица складывается из алгебраических дополнений к элементам рядов, которые записываются в столбцы с соответственными номерами, а потом каждое алгебраическое дополнение делится на детерминант матрицы.

Обратную матрицу можно использовать при решение системы линейных алгебраических уравнений матричным способом: матрицу — столбец находят как произведение матрицы обратной к матрице системы, и матрице — столбца свободных членов то есть

Решение примеров:

Пример 1.45

Найти матрицу обратную к матрице

Решение. Вычислим определитель матрицы и алгебраические дополнения всех элементов

Обратная матрица имеет вид:

Матрица найдена правильно, потому что:

Пример 1.46

Найти матрицу обратную к матрице

Решение. Поскольку определитель матрицы

то для матрицы существует обратная матрица Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы .

Легко можно определить, что то есть

Задача 1.47

В цеху предприятия изготовляют две модели женской одежды. На изготовление первой модели тратят 2 м ткани, для изготовления второй — 3 м. При этом на изготовление этих моделей тратится 4 и 5 часов соответственно. Известно, что месячный запас ткани 100 м, а рабочее время ограниченно — 190 часов. Сложить такой план месячного изготовления этих моделей одежды, при котором полностью используются ресурсы (ткань и время).

Решение. Обозначим через и количество единиц месячного выпуска первой и второй моделей соответственно. По условию задачи сложим систему линейных уравнений:

Решим эту систему матричным способом. Запишем ее в матричном виде:

где

Для матрицы найдем обратную матрицу Поскольку:

Решением системы является

Следует, для использования ресурсов еженедельно нужно изготовить 25 единиц первой и 10 единиц второй модели одежды.

Заметим, что при решении экономических задач удобно использовать матричный способ. Вычислив один раз обратную матрицу и изменив ограничения на ресурсы (ежедневные, ежемесячные, ежегодные и так далее), получим план для выпуска продукции.

Линейная алгебра

Линейная алгебра как самостоятельная математическая дисциплина начала формироваться в XVIII веке, когда в работах немецкого математика Г.Ф.Лейбница и швейцарского математика Г. Крамера впервые было введено понятие определителя (детерминанта) и приведены общие формулы для определения решений систем линейных уравнений. Позже английскими математиками А. Келли и Дж. Сильвестром было введено понятие матрицы и заложены основы матричного исчисления, что является аппаратом для компактной записи и анализа систем уравнений. Именно эти понятия линейной алгебры широко используются в прикладных задачах экономики. Так, для характеристики параметров производственных или бизнес-процессов выходные данные предоставляются в виде матрицы размером

Методы линейной алгебры также применяются для обоснования управленческих решений, при обработке результатов наблюдений и тому подобное. Например, решение задач оптимизации планов работы предприятия, изучение спроса, планирование транспортных артерий можно свести к решению систем линейных уравнений с неизвестными.

После изучения данной темы вы сможете:

• использовать числовые матрицы для формирования и анализа таблиц исходных данных в экономике;
• использование систем линейных уравнений при разработке линейных экономико-математических моделей;
• применять понятие линейных векторных пространств с целью геометрической интерпретации экономических задач;
• иметь представление о собственных числа и собственные векторы квадратных матриц в аналитических задачах экономики;
• использовать собственные числа и собственные векторы квадратных матриц при разработке экономико-математических моделей;
• применять модель межотраслевого баланса (многоотраслевой экономики) для решения реальных задач экономики;
• строить линейную модель обмена (модель международной торговли) при решении конкретных задач.

Числовые матрицы и действия над ними

Для чего нужны матрицы? Например для решения задачи об использовании сырья:

Рассмотрим реальную задачу планирования выпуска промышленной продукции на примере отдельного предприятия, производящего электродвигатели как общего, так и специального назначения. Кроме электродвигателей, завод производит сложные изделия бытового и сельскохозяйственного назначения. Сформулируем задачу о распределении материальных ресурсов при изготовлении четырех основных видов продукции электродвигателей AИP 80, AИP 90, АИР 100 и электрических насосов БЦ 1,1-20.

Основными факторами производства являются сырье, полуфабрикаты, которые доставляются на предприятие, топливо и транспорт. Однако их объемы имеют определенные ограничения. Удельные затраты (затраты на изготовление единицы изделия каждого вида) и общие объемы имеющихся ресурсов (в соответствующих единицах) приведены в таблице 1.1.

Удельные затраты материальных ресурсов и объемы их имеющихся запасов Таблица 1.1

Задача состоит в построении такого плана производства основных видов продукции, который бы обеспечил полное использование материальных ресурсов, которые имеет в наличии предприятие. Составим математическую модель задачи, то есть опишем поставленную задачу с помощью математической символики. Введем обозначения величин, которые являются числовыми характеристиками плана производства. Пусть, — количество двигателей AИP 80, которое соответствует полному использованию имеющихся ресурсов; — количество двигателей AИP 90; — количество двигателей AИP 100; — количество электрических насосов БЦ 1,1-20. Согласно условию задачи и с данными табл. 1.1 должны выполняться следующие равенства:

Мы получили систему линейных уравнений — уравнений первой степени относительно неизвестных, — которая и является математической моделью задачи о полном использовании материальных ресурсов. Такие системы известны со школьного курса математики, но методы иx решения и, тем более, исследования для произвольного конечного числа уравнений и неизвестных в школьном курсе не изучаются (методы решения этой системы будут приведены позднее).

В общем случае задача о полном использовании ресурсов формулируется так: пусть предприятие выпускает продукцию наименований, для производства которой используются видов ресурсов. Потребности в ресурсах определенного вида для изготовления единицы продукции каждого типа, общее количество ресурсов каждого вида представлены в виде таблицы 1.2.

Задача о полном использовании ресурсов Таблица 1.2

Необходимо определить количество продукции каждого из наименований, которое надо выработать предприятию, чтобы имеющиеся ресурсы были полностью использованы.

Составим математическую модель задачи. Пусть — количества продукции соответствующего наименования, которую производит предприятие. Тогда по данным таблицы 1.2 должны выполняться равенства:

Таким образом, нахождение решения задачи о полном использовании сырья сведено к решению системы линейных уравнений с неизвестными. Для исследования и решения таких систем применяются понятия матриц и определителей, которые являются основным математическим аппаратом для изучения систем линейных уравнений.

Определение матриц и некоторые их разновидности

Числовой матрицей размером на называется прямоугольная таблица чисел, которая имеет строк и столбцов. Числа, которые составляют матрицу, называют ее элементами.

Матрицы обозначают большими буквами латинского алфавита и другими, а иx элементы — соответствующими строчными буквами с двойными индексами где индекс и соответствует номеру строки матрицы а — номеру ее столбца . К примеру,

Каждый элемент матрицы находится на пересечении -й строки и -гo столбца. При изображении матриц множество элементов берут в круглые (или в квадратные) скобки.

В общем случае элементами матрицы могут быть другие объекты: векторы, функции, иx производные и т. д.

В теоретических исследованиях при ссылке на матрицу определенного размера обычно применяют обозначения

Матрица в которой количество строк равно числу столбцов и равно , называется квадратной матрицей порядка (или -го порядка) в противном случае матрицу называют прямоугольной.

Матрицей-строкой называется матрица размера , то есть состоящая из одной строки.

Матрицей-столбцом называется матрица размера , которая имеет один столбец.

Если рассматривается матрица-строка (или матрица-столбец), то для ее элементов номер строки (или, соответственно, номер столбца) указывать не надо.

Матрица может состоять даже из одного элемента.

Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю. Она обозначается буквой .

Главной диагональю квадратной матрицы называется совокупность ее элементов, имеющих одинаковые индексы , то есть это элементы а совокупность элементов называют побочной диагональю квадратной матрицы.

Симметричной называется квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, есть попарно равными между собой. То есть для произвольных ее элементов при выполняется соотношение:

Если элементы каждой строки матрицы записать в столбец, не нарушая порядка их расположения, то получим матрицу , которая называется транспонированной к матрице :

а сама операция перехода от матрицы к матрице называется транспонирование матрицы. Понятно, что дважды транспонированная матрица дает исходную матрицу: , а симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.

Верхней (нижней) треугольной матрицей называется ненулевая квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю. Такую матрицу целесообразно задавать перечнем ее диагональных элементов, указывая только один индекс:

Единичной матрицей называется диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице:

Обозначения единичной матрицы удобно сопровождать индексом, который указывает на ее порядок, следовательно, единичная матрица размера обозначается .

Символические определения основных типов матриц и их примеры приведены в таблице 1.3.

Основные разновидности матриц Таблица 1.3

Действия над матрицами

Элементы двух матриц одинакового размера, которые стоят на пересечении одних и тех же (по номеру) строк и столбцов называются соответствующими.

Матрицы и одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны между собой:

Над матрицами определены следующие действия (операции): умножение матрицы на скаляр, добавление матриц, умножение матриц. Рассмотрим определение и свойства этих операций.

1. Произведением матрицы со скаляром называется матрица соответствующие элементы которой являются произведением элементов матрицы с постоянным множителем :

Если , то получаем матрицу, которая называется противоположною (к) матрице :

2. Суммой матриц и одинакового размера называют матрицу того же размера, каждый элемент которой является суммой соответствующих элементов исходных матриц:

Согласно с определением нулевой матрицы имеем:

Последствие: разницу двух матриц можно рассматривать как сумму матриц, если к матрице добавить матрицу, которая противоположна матрице :

Найдем матрицу , если

Поскольку заданные матрицы имеют одинаковый размер, то указанные действия можно выполнить. Следовательно,

Операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр называются линейными операциями над матрицами. Эти операции сводятся к соответствующим арифметических действий над числами и имеют те же свойства, что и операции над числами. Приведем эти свойства:

коммутативность (переставной закон);

— ассоциативность (соединительный закон);

— дистрибутивность (распределительный закон).

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элементы которой вычисляются по формуле: · Соответственно:

С (1.5) следует правило, называют правилом строка на столбец:

чтобы вычислить элемент произведения матриц , надо элементы й строки матрицы умножить на соответствующие по номеру элементы столбца матрицы и найти сумму полученных произведений.

Найдем за этим правилом произведение , где

Количество столбцов матрицы равно числу строк матрицы (), следовательно, матрицу можно умножить на матрицу . Поскольку матрица имеет две строки, а матрица — один столбец, то их произведением будет матрица-столбец с двумя строками:

Понятно, что для приведенных матриц не существует произведение матрицы на матрицу , поскольку матрица имеет один столбец, а матрица — две строки.

Из определения произведения матриц вытекают следующие свойства операций умножения матриц.

1. Для того, чтобы две матрицы и можно было умножить, необходимо и достаточно, чтобы количество столбцов первой матрицы (множимого ) равно количеству строк второй матрицы (множителя ); соответственно, произведением матрицы размера на матрицу размера будет матрица размера .
2. Если матрицы и являются квадратными матрицами одинакового размера, то существуют и произведение , и произведение , но может быть, что , то есть для произведения матриц в общем случае не выполняется переставной закон. Однако произведения единичной матрицы с матрицей (того же размера) слева и справа равны между собой и равны матрицы
3. Для произведения матриц выполняется ассоциативный закон, а именно:

Приведем свойства, присущие действиям над матрицами, в виде таблицы:

Свойства операций над матрицами Таблица 1.4

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения

Построение математических моделей процессов и явлений во всех сферах деятельности человека требует разработок соответствующего математичноrо аппарата, и системы линейных алгебраических уравнений является его важной составляющей. Эти уравнения играют важную роль и при построении математических моделей экономических процессов.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется совокупность уравнений первой степени, то есть линейных уравнений, относительно неизвестных , которые в каждом уравнении являются числовыми характеристиками одного и того же процесса. Ее можно предоставить в развернутом виде :

где — неизвестные характеристики, в отношении которых построена математическая модель задачи;

— коэффициенты при неизвестных (параметры модели), где индексы и указывают, соответственно, на номера уравнения и неизвестного;

— свободные члены (правые части уравнений), которые тоже являются параметрами математической модели.

Краткая запись системы уравнений (1.6) можно получить с помощью символа , который означает почленное суммирование:

Вернемся. к примеру, в котором рассматривалась математическая модель задачи об использовании. ресурсов. Если записать удельные затраты ресурсов как матрицу , запасы ресурсов — как матрицу-столбец , и неизвестные компоненты плана производства представить также как матрицу-столбец то по определению произведения матриц систему линейных алгебраических уравнений (1.6) можно представить в виде матричного уравнения (матричная форма системы)

Приведем еще один способ представления системы уравнений с помощью матриц. Пусть матрица-столбец описывает расходы производства на изготовление. единицы й продукции по всем видам ресурсов. Каждая из этих матриц состоит из элементов соответствующего столбца. матрицы . Итак, все матрицы имеют одинаковый размер .

Расходы ресурсов на изготовление й продукции в объеме определяются как произведение матрицы со скаляром . Тогда общие затраты ресурсов на изготовление всех видов продукции равны их общим запасам, которые описываются матрицей-столбцом , если производство является сбалансированным, то есть запасы ресурсов в полном объеме расходуются на изготовление продукции. Следовательно, имеем еще одну форму представления СЛАУ:

Матрицу , которая составлена из коэффициентов при неизвестных системы уравнений (1.6), называют основной матрицей системы. Присоединяя справа (через вертикальную черту) к матрице матрицу-столбец свободных членов получаем матрицу , которую называют расширенной матрицей системы:

Понятно, что операции над строками расширенно и матрицы являются операциями над соответствующими уравнениями системы.

Решением системы уравнений называется такой набор чисел , который при его подстановке вместо неизвестных в каждое уравнение системы превращает эти уравнения в числовые тождества.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение, и несовместимой, если она не имеет никакого решения. Совместимую систему уравнений называют определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если количество решений более одного.

Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один элемент матрицы-столбца свободных членов отличается от нуля. Если все элементы равны нулю, то такая система линейных уравнений называется однородной. Однородная система уравнений имеет вид:

где основная матрица системы;

матрица-столбец неизвестных;

матрица-столбец свободных членов, которая содержит только нули.

Умножение матриц

Прежде чем двигаться дальше, остановимся на обозначениях. В математике часто приходится рассматривать суммы большого числа слагаемых, имеющих сходный вид и отличающихся только индексами. Для таких сумм принято следующее обозначение. Символ \(\displaystyle\sum_^\), после которого стоит некоторое выражение, содержащее индекс \(k\), обозначает сумму таких выражений для всех значений индекса от 1 до \(n\), например,
$$
\sum_^ a_=a_<1>+a_<2>+…+a_,\ \sum_^ \alpha_\beta_=\alpha_<1>\beta_<1>+…+\alpha_\beta_.\nonumber
$$
Индекс \(k\) называется индексом суммирования. Разумеется, в качестве индекса суммирования может быть употреблена любая другая буква. На указанный символ и следующее за ним выражение можно смотреть как на скобку, содержащую \(n\) однотипных слагаемых.

Следующие формулы являются другой записью вынесения множителя за скобку и группировки слагаемых:
$$
\sum_^ \alpha P_=\alpha \sum_^ P_,\label
$$
$$
\sum_^ (P_+Q_)=\sum_^ P_+\sum_^ Q_.\label
$$

Если имеется выражение, зависящее от двух индексов, принимающих значения \(1,…, n\) и \(1,…, m\), мы можем просуммировать сначала по одному из них, а затем полученные суммы — по-другому:
$$
\sum_^ (\sum_^ P_).\nonumber
$$
(Скобки обычно не пишутся.) Эта двойная сумма содержит слагаемые, соответствующие всевозможным парам значений индексов. Если мы запишем \(P_\) для всех \(i=1,…, n\) и \(j=1,…, m\) в виде матрицы, то сумма в скобках равна сумме элементов \(i\)-й строки, а во внешней сумме складываются результаты для всех строк.

То же самое число мы, конечно, получим, если сначала сложим элементы по столбцам, а затем просуммируем полученные суммы для всех столбцов. Поэтому
$$
\sum_^ \sum_^ P_=\sum_^ \sum_^ P_.\label
$$

Определение и примеры.

Пусть теперь дана матрица \(A\) размеров \(m \times n\) и матрица \(B\) размеров \(n \times p\). Матрицы таковы, что длина строки (число столбцов) первой матрицы равна высоте столбца (числу строк) второй. Умножим каждую строку \(A\) на каждый столбец \(B\). Полученные \(mp\) произведений запишем в виде матрицы \(C\) размеров \(m \times p\). Именно, каждый столбец \(C\) составим из произведений всех строк \(A\) на соответствующий столбец матрицы \(B\). Любая строка \(C\) состоит из произведений строки \(A\), имеющей тот же номер, на все столбцы \(B\). Таким образом, элементы матрицы \(C\) для всех \(i=1,…, m\) и \(j=1,…, p\) равны
$$
c_=\sum_^ a_b_.\label
$$

Определение произведения матриц формулируется более сложно и выглядит менее естественно, чем определение суммы. Однако из дальнейшего читатель увидит, что именно такое определение оказывается полезным в целом ряде вопросов.

Как легко заметить, если матрицу \(B\) записать как строку из столбцов, то произведение \(AB\) запишется как строка из столбцов так:
$$
AB=A \begin \boldsymbol_<1>&…& \boldsymbol_

\\ \end=\begin A\boldsymbol_<1>&…& A\boldsymbol_

\\ \end.\label
$$
Действительно, для получения \(j\)-гo столбца произведения мы умножаем последовательно все строки \(A\) на столбец \(\boldsymbol_\).

Приведем несколько примеров.

\(j\)-й столбец матрицы \(AB\) есть линейная комбинация столбцов матрицы \(A\) с коэффициентами равными элементам \(j\)-го столбца матрицы \(B\).

\(i\)-я строка матрицы \(AB\) есть линейная комбинация строк матрицы \(B\) с коэффициентами, равными элементам \(i\)-й строки матрицы \(A\).

Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем первое. Мы видели, что \(i\)-й столбец произведения есть произведение \(A\) на \(i\)-й столбец \(B\) (формула \eqref). Но произведение матрицы \(A\) на столбец — это линейная комбинация столбцов \(A\) с элементами второго сомножителя в качестве коэффициентов (пример 1).

Свойства умножения матриц.

Умножение матриц не коммутативно. Если \(A\) матрица размеров \(m \times n\), то оба произведения \(AB\) и \(BA\) определены только в том случае, когда \(B\) имеет размеры \(n \times m\), то есть такие же, как \(A^\). При этом \(AB\) — квадратная матрица порядка \(m\), а \(BA\) — порядка \(n\). Итак, о равенстве \(AB=BA\) может идти речь, только если \(A\) и \(B\) — квадратные матрицы одного порядка. Но и в этом случае равенство выполнено далеко не всегда. Например,
$$
\begin
1& 1\\
0& 0
\end
\begin
0& 0\\
1& 1
\end =
\begin
1& 1\\
0& 0
\end,\
\begin
0& 0\\
1& 1
\end
\begin
1& 1\\
0& 0
\end =
\begin
0& 0\\
1& 1
\end.\nonumber
$$

Если какие-нибудь две матрицы \(A\) и \(B\) удовлетворяют равенству \(AB=BA\), то они называются перестановочными. Перестановочные матрицы существуют. Например, единичная матрица порядка \(n\) перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка:
$$
AE=EA=A.\label
$$
Вообще, если определены произведения \(BE\) и \(EC\), то
$$
BE=B\ \mbox<и>\ EC=C.\nonumber
$$

Равенства \eqref выражают важное свойство единичной матрицы, которому она обязана своим названием. Если бы какая-нибудь другая матрица \(E’\) обладала этим свойством, мы имели бы \(E’E=E\) и \(E’E=E’\), откуда следовало бы \(E=E’\).

Очевидно, что произведение нулевой матрицы \(O\) (справа или слева) на любую другую матрицу равно нулевой матрице:
$$
AO=O’,\ OB=O″.\nonumber
$$
(Размеры матриц \(O\), \(O’\) и \(O″\), возможно, различны.)

Умножение матриц ассоциативно, то есть если определены произведения \(AB\) и \((AB)C\), то определены \(BC\) и \(A(BC)\), и выполнено равенство \((AB)C=A(BC)\).

Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению: если имеет смысл выражение \(A(B+C)\), то \(A(B+C)=AB+AC\), если имеет смысл выражение \((B+C)A\), то \((B+C)A=BA+CA\).

Обе части предложения доказываются одинаково. Докажем первую из них. Очевидно, что \(B\) и \(C\) должны иметь одинаковые размеры \(m \times n\), а \(A\) — размеры \(p \times m\) (\(p\) может быть любым). Выпишем элементы матрицы \(A(B+C)\) через элементы \(A\), \(B\) и \(C\):
$$
\sum_^ a_(b_+c_)\ (s=1,…, p;\ j=1,…, n).\nonumber
$$
Раскроем скобки в каждом слагаемом и сгруппируем члены:
$$
\sum_^ a_b_+\sum_^ a_c_.\nonumber
$$
Эти суммы равны элементам матриц \(AB\) и \(AC\), стоящим в строке с номером \(s\) и столбце с номером \(j\). Утверждение доказано.

Если произведение \(AB\) определено, то при любом числе \(\alpha\)
$$
\alpha(AB)=(\alpha A)B=A(\alpha B).\nonumber
$$

Доказательство стледует из формулы \eqref

Если определено произведение \(AB\), то определено и произведение \(B^A^\) и выполнено равенство
$$
(AB)^=B^A^.
$$

Пусть матрицы \(A\) и \(B\) имеют, соответственно, размеры \(m \times n\) и \(n \times p\). В матрице \(AB\) на пересечении \(i\)-й строки и \(j\)-то столбца стоит элемент
$$
\sum_^ a_b_\ (i=1,…, m;\ j=1,…, p).\label
$$
\(j\)-я строка матрицы \(B^\) состоит из элементов \(b_<1j>,…, b_\), а \(i\)-й столбец матрицы \(A^\) — из элементов \(a_,…, a_<1n>\). Поэтому произведение \(B^A^\) определено, и в нем на пересечении \(j\)-й строки и \(i\)-ro столбца стоит элемент
$$
\sum_^ b_a_\ (j=1,…, p;\ i=1,…, m).\nonumber
$$
Он совпадает с элементом \eqref, а индексы \(i\) и \(j\) принимают в обоих выражениях одни и те же значения. Этим предложение доказано.

Последовательно применяя доказанную формулу, мы получим
$$
(A_<1>A_<2>…A_)^=A_^…A_<2>^A_<1>^.\nonumber
$$

Элементарные преобразования. Элементарные матрицы.

В этом пункте впервые появляются элементарные преобразования матриц. Они играют большую роль в теории матриц и широко используются в вычислениях.

Мы назовем элементарными преобразованиями строк матрицы следующие преобразования:

1. умножение строки на число, отличное от нуля;
2. прибавление одной строки к другой строке.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы. Все, сказанное ниже об элементарных преобразованиях строк, переносится на элементарные преобразования столбцов.

Следующие более сложные преобразования получаются последовательным применением нескольких элементарных преобразований:

1. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число, в частности, вычитание одной строки из другой;
2. перестановка двух строк.

Покажем, как эти преобразования сводятся к элементарным на примере матрицы, состоящей из двух строк \(\boldsymbol\) и \(\boldsymbol\). Если в матрице есть еще строки, не участвующие в преобразованиях, они переписываются без изменения:

1. \(\begin \boldsymbol\\ \boldsymbol \end \rightarrow \begin \alpha\boldsymbol\\ \boldsymbol \end \rightarrow \begin \alpha\boldsymbol\\ \boldsymbol+\alpha\boldsymbol \end \rightarrow \begin \boldsymbol\\ \boldsymbol+\alpha\boldsymbol \end\);
2. \(\begin \boldsymbol\\ \boldsymbol \end \rightarrow \begin \boldsymbol+\boldsymbol\\ \boldsymbol \end \rightarrow \begin \boldsymbol+\boldsymbol\\ \boldsymbol — \boldsymbol — \boldsymbol\end=\begin \boldsymbol+\boldsymbol\\ -\boldsymbol \end \rightarrow \begin \boldsymbol\\ -\boldsymbol \end \rightarrow \begin \boldsymbol\\ \boldsymbol \end\).

Эти два типа преобразований также часто относят к числу элементарных. При описании длинных последовательностей элементарных преобразований мы будем включать в последовательность преобразования этих двух типов, не разлагая их на элементарные.

Возможность вычитать одну строку из другой и отличие числового множителя от нуля имеют следующее принципиальное значение: элементарные преобразования обратимы. Это значит, что перейдя от матрицы \(A\) к матрице \(B\) последовательностью элементарных преобразований, с помощью другой последовательности мы сможем вернуться от \(B\) к \(A\).

Каждое элементарное преобразование строк матрицы \(A\) размеров \(m \times n\) равносильно умножению \(A\) слева на некоторую квадратную матрицу \(S\) порядка \(m\). При этом \(S\) не зависит от \(A\), а полностью определяется преобразованием, которое она осуществляет.

Именно, пусть \(S_<1>\) — матрица, получаемая из единичной матрицы \(E\) порядка \(m\) заменой \(i\)-й единицы на диагонали на число \(\lambda \neq 0\). Тогда матрица \(S_<1>A\) отличается от \(A\) тем, что ее \(i\)-я строка умножена на \(\lambda\). Пусть \(S_<2>\) — матрица, которая отличается от \(E\) заменой на единицу нулевого элемента на пересечении \(i\)-й строки и \(j\)-ro столбца. Умножение \(А\) слева на \(S_<2>\) равносильно прибавлению \(j\)-й строки к \(i\)-й. Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем второе.

Рассмотрим строку матрицы \(S_<2>A\) с номером \(k \neq i\). Согласно утверждению 1, эта строка — линейная комбинация строк \(A\) с коэффициентами равными элементам \(k\)-й строки \(E\). Это значит, что в линейную комбинацию входит (с коэффициентом 1) только \(k\)-я строка \(A\), и потому \(k\)-я строка \(S_<2>A\) равна \(k\)-й строке \(A\). Для \(i\)-й строки положение другое: в линейную комбинацию входят \(i\)-я и \(j\)-я строки с коэффициентами 1. Значит, \(i\)-я строка \(S_<2>A\) равна сумме \(i\)-й и \(j\)-й строк \(A\).

Те матрицы, умножение на которые осуществляет элементарные преобразования, называются элементарными матрицами.

Последовательное выполнение нескольких элементарных преобразований строк осуществляется умножением слева на произведение соответствующих элементарных матриц, причем множитель, который соответствует преобразованию, сделанному позже, стоит левее.

Легко найти матрицу \(S\), умножение на которую производит заданную последовательность элементарных преобразований строк: надо осуществить эту последовательность элементарных преобразований над единичной матрицей. Это видно из равенства \(SE=S\).

Элементарные преобразования столбцов сводятся к умножению матриц аналогично. Разница состоит в том, что множители помещаются справа, а не слева от преобразуемой матрицы, и эти множители получаются из единичной матрицы подходящего порядка элементарными преобразованиями ее столбцов, а не строк.

Вырожденные и невырожденные матрицы.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая нулевую строку, или матрица, имеющая две одинаковых строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица (предложение 2 § 1).

Элементарные преобразования строк переводят линейно независимые строки в линейно независимые, а линейно зависимые — в линейно зависимые. Точно так же при элементарных преобразованиях столбцов сохраняются линейная зависимость и независимость столбцов.

Так как исходные строки линейно независимы, \(\alpha_<1>+\alpha_<2>=0, \alpha_<2>=0,…, \alpha_=0\). Отсюда следует, что \(\alpha_<1>\) также нуль, и система строк, полученная прибавлением одной строки к другой, линейно независима. Сохранение линейной независимости системы строк при умножении \(i\)-й строки на число \(\lambda \neq 0\) доказывается аналогично.

Пусть теперь строки линейно зависимы. Вспомним, что последовательности элементарных преобразований обратимы. Если мы из линейно зависимой системы строк с помощью элементарных преобразований получили линейно независимую, то обратный переход должен переводить линейно независимую систему в линейно зависимую, что невозможно.

Доказательство предложения для столбцов не отличается от приведенного.

Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в невырожденную, а вырожденную матрицу — в вырожденную.

Элементарные преобразования строк сохраняют линейные зависимости между столбцами. Элементарные преобразования столбцов сохраняют линейные зависимости между строками.

Доказательство для элементарных преобразований столбцов аналогично.

Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу.

С каждой из остальных строк будем поступать таким же образом. Пусть после очередного преобразования получена матрица \(A^<(k)>\), у которой столбцы с номерами \(s_<1>,…, s_\) — первые к столбцов единичной матрицы; \((k+1)\)-я строка матрицы \(A^<(k)>\) отлична от нуля, так как \(A^<(k)>\) получена элементарными преобразованиями из \(A\) и, следовательно, не вырождена. При этом элементы строки с номерами \(s_<1>,…, s_\) — нули, а значит, не равен нулю другой элемент. Пусть его номер Делим строку на него и вычитаем ее с подходящими множителями из остальных так, чтобы превратить \(s_\)-й столбец в \(k+1\)-й столбец единичной матрицы. Получается матрица \(A^<(k+1)>\).

После того, как будет произведена последовательность преобразований с \(n\)-й строкой, все столбцы полученной матрицы \(A^<(n)>\), будут различными столбцами единичной матрицы (1-й, 2-й,…, \(n\)-й столбцы единичной матрицы стоят на местах \(s_<1>,…, s_\)). Одновременно строки \(A^<(n)>\) являются различными строками единичной матрицы (при всех \(i\) в \(i\)-й строке на \(s_\)-м месте стоит единица, а остальные элементы равны нулю). Переставляя строки, мы можем расположить их в естественном порядке. Это закончит преобразование исходной матрицы \(A\) в единичную при помощи элементарных преобразований строк.

Метод преобразования матрицы, примененный при доказательстве, называется методом Гаусса, точнее “методом Гаусса-Жордана с выбором ведущего элемента по строке”. Различные варианты метода Гаусса широко применяются в вычислительной практике.

Матрица невырождена тогда и только тогда, когда она раскладывается в произведение элементарных матриц.

Так как последовательности элементарных преобразований обратимы, существуют элементарные матрицы \(S_<1>,…, S_\), для которых
$$
S_<1>S_<2>… S_E=A.\nonumber
$$
Отбрасывая множитель \(E\), мы получаем требуемое разложение.

Обратно, последняя формула показывает, что произведение элементарных матриц получается элементарными преобразованиями строк из единичной матрицы, которая невырождена. Поэтому, согласно следствию из утверждения 6 оно невырождено.

Столбцы квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда матрица невырождена.

Действительно, элементарными преобразованиями строк мы превращаем невырожденную матрицу в единичную, столбцы которой линейно независимы. По предложению 7 столбцы исходной матрицы также должны быть линейно независимы. Обратно, пусть столбцы матрицы \(A\) линейно независимы. Это значит, что транспонированная матрица \(A^\) невырождена, и по предыдущему ее столбцы — строки матрицы \(A\) — линейно независимы.

Иначе утверждение 10 можно сформулировать так.

Матрица \(A\) невырождена тогда и только тогда, когда невырождена ее транспонированная \(A^\).

Обратная матрица.

Вспомним, что две матрицы могут быть перестановочны только в том случае, если они обе квадратные матрицы одного и того же порядка. Поэтому иметь обратную может только квадратная матрица.

Если у матрицы \(A\) существует обратная, то она единственна.

Это легко проверяется от противного. Допустим, что их нашлось две: \(X_<1>\) и \(X_<2>\). Тогда \(X_<1>=X_<1>(AX_<2>)=(X_<1>A)X_<2>=X_<2>\).

Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена.

Вернемся к формуле \eqref и объединим в ней все элементарные матрицы в один множитель \(X\). Мы можем утверждать таким образом, что для любой невырожденной матрицы \(A\) существует матрица \(X\) такая, что \(XA=E\). Докажем, что \(X\) удовлетворяет также и второму равенству в определении обратной матрицы. Для этого заметим, что \(X\) невырождена как произведение элементарных матриц, и потому для нее существует такая матрица \(Y\), что \(YX=E\). Рассмотрим произведение \(Y(XA)=Y\). При другой расстановке скобок мы видим, что \((YX)A=A\). Поэтому \(Y=A\), и равенство \(YX=E\) переписывается как \(AX=E\).

Нам осталось доказать, что вырожденная матрица не имеет обратной. Пусть матрица \(A\) вырождена, то есть существует нулевая линейная комбинация ее строк \(\lambda_<1>\boldsymbol_<1>+…+\lambda_\boldsymbol_=\boldsymbol\), причем \(\lambda_<1>^<2>+…+\lambda_^ <2>\neq 0\). Тогда согласно утверждению 1 произведение ненулевой строки \(\boldsymbol=\begin \lambda_<1>,…, \lambda_ \end\) на матрицу \(A\) — нулевая строка: \(\boldsymbolA=\boldsymbol\). Если матрица \(A\) имеет обратную \(X\), мы можем умножить на \(X\) справа обе части этого равенства: \(\boldsymbolAX=\boldsymbolX\). Таким образом, \(\boldsymbol=\boldsymbol\), что противоречит определению \(\boldsymbol\). Это заканчивает доказательство.

Обратную к матрице \(A\) принято обозначать \(A^<-1>\). На символ —1 в обозначении обратной матрицы можно смотреть как на показатель степени. Для квадратной матрицы \(A\) целая положительная степень \(A^\) определяется как произведение матрицы \(A\) самой на себя к раз. Положительная степень \((A^<-1>)^\) матрицы \(A^<-1>\) считается отрицательной степенью \(A^<-k>\) матрицы \(A\). По определению нулевой степенью любой квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка. При этом определении для невырожденной матрицы \(A^A^=A^\) при любых целых \(k\) и \(l\).

Похожие публикации:

1. Sprint layout как из перемычек сделать дорожки
2. Как прикрепить ссылку ватсап в вконтакте
3. Как сортировать по алфавиту в либре офис
4. Чем открыть gif на андроиде