Что такое du в интегралах

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям – один из способов нахождения интеграла. Суть метода состоит в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных функций в месте со своей производной (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией элементарных), то справедлива следующая формула:

$\int{udv}=uv-\int{vdu}$

которая называется формулой интегрирования по частям.

Предполагается, что нахождение интеграла $\int{vdu}$ проще, чем интеграла $\int{udv}$ . В противном случае применение метода неоправданно.

Доказательство формулы интегрирования по частям

Доказательство. Для дифференциала произведения двух непрерывных вместе со своими производными функций имеет место равенство:

$d\left( uv \right)=vdu+udv$

Проинтегрируем последнее равенство:

$\int{d\left( uv \right)}=\int{\left( vdu+udv \right)}$

$uv=\int{vdu}+\int{udv}$

Или, если переписать в ином виде, имеем:

$\int{udv}=uv-\int{vdu}$

Что и требовалось доказать.

Итак, интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и (это зачастую можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения (находится из интегрированием) и (дифференцируют выражение для ), используется формула интегрирования по частям.

При нахождении функции интегрированием выражения , константу можно считать равной нулю.

Для каких типов интегралов используют формулу

Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

$\int{f\left( x \right){{e}^{kx+b}}dx}$

$\int{f\left( x \right)\sin \left( kx+b \right)dx}$

$\int{f\left( x \right)\cos \left( kx+b \right)dx}$

Здесь $f\left( x \right)$ – многочлен. В данном случае $u=f\left( x \right)$ , а в качестве взять все остальные сомножители в подынтегральной функции.

Здесь нужно взять $dv=f\left( x \right)dx$ , а тогда – все остальные сомножители.

За можно принять функцию $u={{e}^{ax}}$ .

В качестве также можно взять тригонометрическую функцию.

Примеры решения задач

Задание	Найти интеграл $\int{x\ln xdx}$
Решение	В качестве берем $\ln x$ , все остальное – . То есть

$\int{x\ln xdx}\ \left\| \begin{matrix} u=\ln x & dv=xdx \\ du=\frac{dx}{x} & v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{matrix} \right\|=\ln x\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \frac{dx}{x}}=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int{xdx}=$

$=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C$

Задание	Решить интеграл $\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}$
Решение	В качестве в этом случае берем экспоненту, имеем:

$\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}\ \left\| \begin{matrix} u={{e}^{3x}} & dv=\cos 3xdx \\ du=3{{e}^{3x}}dx & v=\frac{\sin 3x}{3} \\ \end{matrix} \right\|={{e}^{3x}}\cdot \frac{\sin 3x}{3}-\int{\frac{\sin 3x}{3}\cdot 3{{e}^{3x}}dx}=$

$=\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}-\int{{{e}^{3x}}\sin 3xdx}$

Получили интеграл, который находится методом интегрирования по частям. Поэтому снова его применяем. Здесь опять в качестве берем функцию ${{e}^{3x}}$ :

$\underline{\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}}=\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}-\int{{{e}^{3x}}\sin 3xdx}\ \left\| \begin{matrix} u={{e}^{3x}} & dv=\sin 3xdx \\ du=3{{e}^{3x}}dx & v=-\frac{\cos 3x}{3} \\ \end{matrix} \right\|=$

$=\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}-\left( {{e}^{3x}}\cdot \left( -\frac{\cos 3x}{3} \right)-\int{\left( -\frac{\cos 3x}{3} \right)\cdot 3{{e}^{3x}}dx} \right)=$

$=\underline{\frac{{{e}^{3x}}\sin 3x}{3}+\frac{{{e}^{3x}}\cos 3x}{3}-\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}}$

Итак, пришли к исходному интегралу. Запишем интегральное равенство (в последней серии формул подчеркнутые выражения):

$\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}=\frac{{{e}^{3x}}\left( \sin 3x+\cos 3x \right)}{3}-\int{{{e}^{3x}}\cos 3xdx}+C$

Решая записанное равенство относительно неизвестного интеграла, будем иметь:

Интегрирование по частям

Примеры
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Применение метода интегрирования по частям

. Формула для нахождения математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины включает в себя два сомножителя: функцию полинома от x и плотность распределения f(x) . . При разложении необходимо определять коэффициенты, которые находятся интегрированием от произведения функции f(x) и тригонометрической функции cos(x) или sin(x) .

Типовые разложения по частям

Вид интеграла	Разложения на части
∫ P_n(x)cos(ax)dx , ∫ P_n(x)sin(ax)dx , ∫ P_n(x)e ax dx , где P_n(x) — некоторый полином (многочлен) степени n	U(x)=P_n(x) , dV(x)=cos(ax)dx
∫ ln(P(x))dx	U=ln(P(x)) ; dV=dx
∫ arcsin(ax)dx	U=arcsin(ax) ; dV=dx
	U=ln(x) ; dV=dx/x

При использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV , чтобы интеграл, полученный в правой части формулы находился легче. Положим в первом примере U=e x , dV=xdx . Тогда dU=e x dx , и Вряд ли интеграл ∫ x 2 e x dx можно считать проще исходного.
Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например, при вычислении интеграла ∫ x 2 sin(x)dx .

Интегралы ∫ e ax cos(bx)dx и ∫ e ax sin(bx)dx называются циклическими и вычисляются с использованием формулы интегрирования по частям два раза.

Пример №1 . Вычислить ∫ xe x dx .
Положим U=x , dV=e x dx . Тогда dU=dx , V=e x . Поэтому ∫ xe x dx=xe x — ∫ e x dx=xe x -e x +C .

Пример №2 . Вычислить ∫ xcos(x)dx .
Полагаем U=x , dV=cos(x)dx . Тогда dU=dx , V=sin(x) и ∫ xcos(x)dx=xsin(x) — ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C

Какой смысл в букве d в формуле интеграла?

В смысле неизменной?
[math]\int f(x)dx= \int f(u(x))dx[/math] По-моему, она очень даже изменилась. Это первое. А второе и главное:
[math]\int f(x)= \int f(u(x))[/math] безо всяких d всё ясно

Причём d не условность, она играет какую-то роль в форме Пискунова из первого поста, но какую, я не могу понять.

доцент

Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3365
Cпасибо сказано: 570
Спасибо получено:
998 раз в 859 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Нет, в другом смысле.
Если [math]\int f(x)dx=F(x)+C[/math] , то [math]\int f(u)du=F(u)+C[/math] , где u(x) — произвольная функция. Более подробно последнее равенство с учетом, что du — дифференциал:

[math]\int f(u(x))du(x)=F(u(x))+C[/math] или [math]\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C[/math] .
Последнее равенство тогда будет выглядеть как один из вариантов формулы замены переменной.

Light & Truth

Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2298 раз в 1965 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Та же самая роль — дифференциал. Продифференцируйте первообразную [math]F(x)[/math] и получите подынтегральное выражение.
[math]\int d F(x) = \int u(x) dx=F(x) + C[/math]
Считайте [math]dx[/math] скобкой, закрывающей интеграл.

Начинающий

Зарегистрирован:
17 апр 2014, 12:32
Сообщений: 29
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Light & Truth

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Начинающий

Добавить очки репутации Уменьшить очки репутации

Просто мы почему без него-то не обойдёмся?

Итак, имеем:
f(x)- Это функция, F(x) это одна из первообразных для этой функции, тогда общий вид для перовобразных записываем так:
[math]\int f(x)= F(x)+C[/math] Обратите внимание, безо всяких d

Ладно, теперь мы поднялись на ступень выше. Теперь рассматриваем функцию f (u(x)). Ну, чудненько.
Пишем, F(u(x))- одна из производных для f (u(x)), или, что то же самое:

[math]\int f (u(x))= F (u(x))+C[/math] и опять безо всяких d. Всё. Зачем плодить лишние сущности?

Что такое du в интегралах