Площади кругов относятся как квадраты их радиусов

ЕГЭ – 2017. Разбор заданий №3 " Квадратная решётка, координатная плоскость. Круг и его элементы"

Презентацию подготовил учитель математики Коробков И.А.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 * 1 изоб­ражён пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

Тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг него окруж­но­сти равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы.

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 51. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 204. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 204 − 51 = 153.

На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. Ра­ди­ус внеш­не­го круга равен 6, ра­ди­ус внут­рен­не­го равен 3. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са наи­мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 4. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 4 − 1 = 3.

На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ражён круг. Ка­ко­ва пло­щадь круга, если пло­щадь за­штри­хо­ван­но­го сек­то­ра равна 32?

По­это­му пло­щадь сек­то­ра равна 1/3 от пло­ща­ди круга. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь круга равна

Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC.

Ответ дайте в гра­ду­сах.

Угол ABC опи­ра­ет­ся на чет­верть окруж­но­сти то есть на дугу 90°. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, поэто­му он равен 45°

Най­ди­те гра­дус­ную ве­ли­чи­ну дуги окруж­но­сти, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Дуга AC равна по­ло­ви­не дуги 90°, т. е. равна 45°

Най­ди­те (в см 2 ) пло­щадь S коль­ца, изоб­ра­жен­ного на клет­ча­той бума­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см*1 см. В от­ве­те за­пи­ши­те S/ 

Пло­щадь коль­ца равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го и ма­ло­го кру­гов. Ра­ди­ус боль­шо­го круга равен 2, а ма­ло­го — 1, от­ку­да

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов

создана: 30.01.2014 в 15:13
.

Найдите отношение длин окружностей и площадей двух кругов, если радиус одного из них составляет 1/3 диаметра второго. Решение и объяснение, пожалуйста. 6 класс. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Дидактические материалы по математике.

1) Длины окружностей относятся как их радиусы соответственно.

L1 : L2 = R1 :R2 (L1-длина первой окр, L2 — длина второй, R1 и R2 — их радиусы)

R1 = 1/3 D D=2*R2 — диаметр второй окружности

R1 = 1/3 *2*R2 = 2/3 R2

L1:L2 = 2 ∏R1 :(2 ∏R2) = R1 :R2

L1 :L2 = 2/3 R2 : R2= 2/3 (окр. относятся как 2 к 3)

2) Площади относятся как квадраты радиусов

S1 : S2 = ∏R1 2 : (∏R2 2 ) = R1 2 :R2 2 = (2/3 R2) 2 : R2 2 = 4/9 R2 2 :R2 2 = 4/9

На клетчатой бумаге нарисовано два круга (см). Как решить задачу?

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Так как мы можем наблюдать радиус первого от круга равен 3 клеточкам, а большого 6. Это значит, что мы можем высчитать площадь большого кружка, а точнее во сколько раз она больше маленького объекта. Так как радиус двойной, то при возведение его в квадрат получим значение в 4 раз больше. Значит 4 минус 1 равно 3.

Правило: Площадь двух кругов относятся друг к другу точно также как относятся друг к другу квадраты их радиусов.

Видно, что рисунки сделаны на клетчатой тетрадной бумаге, и можно определить, что:

R = радиус внешнего круга = 6 сантиметров

r = радиус внутреннего круга = 3 сантиметра

Радиус внешнего круга больше радиуса внутреннего в 2 раза.

Значит, площадь большого круга в 4 раза больше площади малого (смотри правило).

Разница между площадями составит: 4 — 1 = 3

Ответ: 3.

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей большого и малого круга.

Радиус большего круга в два раза больше радиуса малого круга. Примем радиус малого круга за 1, а большого за 2, поскольку на чертеже он в два раза больше. Тогда площадь малого круга будет πr² = π. Площадь большого круга, соответственно будет 4π. По условиям задачи площадь малого круга равна 1 (единице). Тогда площадь большого равна 4.

Разница площадей равна 4 — 1 = 3. Ответ: 3

Площадь круга, сектора

Разделим окружность на возможно большее число равных частей, все полученные точки деления соединим с центром окружности, а соседние — друг с другом хордами.

Таким образом получим ряд равных равнобедренных треугольников (черт. 339).

Площадь каждого треугольника равна ah /₂, где а — основание его, h — высота.

Обозначив через S&#146 сумму площадей всех полученных треугольников, получим формулу:

Сумма площадей всех треугольников (S&#146) весьма близка к площади круга (S), сумма оснований всех треугольников (an) весьма близка к длине окружности (C), а высота (h) каждого треугольника весьма близка к радиусу (r) круга.

Если пренебречь незначительными различиями в размерах, то получим формулу площади круга:

После преобразования получим \( S_ <кр>= \frac<2\pi r \cdot r> <2>\), или S_кр = π r 2 ; а обозначив через D диаметр круга, получим:
$$ S_ <кр>= \frac<\pi D^2> <4>$$

Примечание. В формуле \(S_ <кр>= \frac<2>\) поставлен знак точного, а не приближённого равенства, хотя на основании проведённого рассуждения мы могли бы его считать приближённым, но в старших классах доказывается, что равенство \(S_ <кр>= \frac<2>\) не приближённое, а точное.

Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник.

Пусть площадь этого многоугольника будет q, периметр — р, апофема — а.

По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:

Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину C окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному 1 /₂С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:

т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.

Так как С = 2πR, то

т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.

Следствие. Площади кругов относятся, как квадраты радиусов или диаметров.

Действительно, если K и K₁ будут площади двух кругов, a R и R₁ — их радиусы, то

Площадь сектора

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На чертеже 340 сектор AOB заштрихован.

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Получаем формулу:
$$ S = \frac<\pi r^2 n> <360>$$ где S — площадь сектора.