Как найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды

Решение С2 по математике, реальный ЕГЭ 2013, Центр

Поиск площади сечения правильной четырехугольной пирамиды

Эту задачу решали выпускники 2013 года на реальном ЕГЭ. Она, как водится, похожа на задачу для Урала. Звучит она так:

В правильной четырехугольной пирамиде `MABCD` с вершиной `M` стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку `C` и середину ребра `MA` параллельно прямой `BD`.

Чтобы вникнуть в задачу, построим пирамиду. А затем поймем, как пройдет сечение.

Наша пирамида выглядит так:

Чтобы построить сечение, обозначим середину ребра `MA` как `N`. Дальнейшие шаги:

Соединим точки `N` и `C`. Отрезок `NC` пересечет высоту пирамиды `MH` в точке `E`.
В плоскости `MBD` через точку `E` проведем прямую, параллельную `BD`. Она пересечет ребра `MB` и `MD` в точках `P` и `Q` соответственно.
Четырехугольника `NPCQ` — искомое сечение.

Заметим, что диагонали искомого четырехугольника перпендикулярны (доказать самостоятельно). Вынесем его на отдельный рисунок.

Поскольку диагонали перпендикулярны, то площадь `NPCQ` равна половине произведения диагоналей. Следующий шаг — найти их длины. Начнем с длины `NC`.

Рассмотрим `\triangle AMC`.

Нам известны боковые стороны и длина отрезка `NM` (она равна половине `MA` по условию). Чтобы найти `NC`, достаточно знать `\angle M`, тогда мы легко найдем нужный отрезок по теореме косинусов. Однако `\angle M` тоже можно легко найти по теореме косинусов.

Теперь из `\triangle MNC` найдем длину `NC`.

$$NC^2 = MN^2 + MC^2 -2\cdot MN \cdot MC \cdot \cos \angle M = 36 + 144 — 2 \cdot 72 \cdot \frac<3> <4>= 180 — 108 = 72,$$

Длина `NC` теперь известна. Для дальнейшего решения осталось заметить, что `NC` и `MH` — медианы в равнобедренном треугольнике, значит они делятся в отношении `2:1`, считая от вершины, т. е. `ME : EH = 2 : 1`.

Из `\triangle BDM` найдем `PQ`.

Длину `BD` мы найдем как диагональ квадрата, лежащего в основании. `HD` равно половине `BD`. Поскольку `PQ \parallel BD`, то `\triangle MEQ \sim \triangle MHD` с коэффициентом подобия `2 : 3` (коэффициент подобия можно получить, если вспомнить про соотношение длин отрезков `ME` и `EH`, оно отмечено на рисунке).

Отсюда получаем, что `EQ = 2\sqrt<2>`, a `PQ = 4 \sqrt<2>`.

Таким образом, теперь нам известны обе диагонали четырехугольника – сечения.

Вычислим его площадь.

$$S_ = PQ \cdot NC \cdot \frac<1><2>= 4\sqrt <2>\cdot 6\sqrt <2>\cdot \frac<1> <2>= 24.$$

Ответ

Спасибо всем, кто внимательно прочитал это решение и разобрался в нем. Оставляйте комментарии и лайки, они очень помогут мне и этому сайту.

Методы расчета площади сечения пирамиды

Пирамида — это геометрическое тело, имеющее многоугольник в качестве основания и треугольные грани, ведущие к единственной точке, называемой вершиной. Важным параметром пирамиды является ее площадь сечения — это площадь области, где плоскость пересекает пирамиду.

Существует несколько методов расчета площади сечения пирамиды, в зависимости от ее формы и задачи.

1. Площадь сечения прямой пирамиды

Для прямой пирамиды с основанием в форме m-угольника и боковыми гранями равными треугольникам, площадь ее сечения можно найти по формуле:

где h — высота пирамиды, P — периметр основания многоугольника. Таким образом, площадь сечения прямой пирамиды напрямую зависит от ее высоты и периметра основания.

2. Площадь сечения наклонной пирамиды

Для наклонной пирамиды с различными основаниями, площадь ее сечения определяется по формуле:

S = (h * B * sin α) / 2

где h — высота пирамиды, B — длина проекции основания на плоскость сечения, α — угол между основанием и плоскостью сечения.

3. Площадь сечения пирамиды с круглым основанием

Для пирамиды с круглым основанием, площадь сечения можно найти по формуле:

S = πr^2 (1 — cos α)

где r — радиус круглого основания, α — угол между плоскостью сечения и плоскостью, перпендикулярной оси пирамиды.

4. Площадь сечения пирамиды с прямоугольным основанием

Для пирамиды с прямоугольным основанием, площадь сечения можно найти по формуле:

где a и b — длины сторон прямоугольного основания, α — угол между плоскостью сечения и плоскостью, перпендикулярной оси пирамиды.

Вывод

Таким образом, площадь сечения пирамиды может быть вычислена с помощью различных формул, которые зависят от формы и параметров пирамиды. Расчет площади сечения имеет важное значение в различных областях науки и техники, таких как геометрия, строительство и дизайн.

Площадь сечения — 3. задание С2

Решим задачу из Задания С2 для подготовки к ЕГЭ по математике:

На ребре правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной взята точка так, что PT:TC=1/6 . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через прямую параллельно прямой , если PA=AB=14 .

1. Построим сечение.

Точки и принадлежат плоскости сечения, соединим их:

Точка — точка пересечения диагоналей основания пирамиды. — высота пирамиды. — точка пересечения высоты пирамиды и прямой :

Проведем через точку прямую , параллельную . Точка — точка пересечения этой прямой с ребром , а точка — с ребром :

Через пересекающиеся прямые и проведем плоскость. Четырехугольник AKTL — искомое сечение:

2. Найдем площадь четырехугольника AKTL .

Докажем, что его диагонали перпендикулярны. Опустим перпендикуляр из точки на основание призмы. Точка — основание перпендикуляра.

— проекция наклонной . AN<ortho>DB» />, так в основании нашей правильной пирамиды лежит квадрат, а диагонали в квадрате перпендикулярны. По теореме о трех перпендикулярах <img decoding= также перпендикулярна . Но || — по построению, следовательно, AT<ortho>KL» />.
Найдем диагонали нашего сечения.
<img decoding= получим: AT=sqrt<14^2+2^2>=sqrt<200>=10sqrt<2>» />
Чтобы найти длину отрезка <img decoding= , найдем, в каком отношении точка делит отрезок . Вынесем треугольник APC «со всем фаршем»:

Проведем через точку прямую параллельно прямой и продолжим прямую до пересечения с ней.

Треугольник PQT подобен треугольнику ATC , и <AC>/<PQ>=<TC>/<PT>=6″ />. Обозначим <img decoding= , тогда AC=6x :

Теперь рассмотрим подобные треугольники AMO и PMQ :

AO=1/2<AC>=3x» />. Следовательно, <img decoding= , в котором || :

Треугольник KPL подобен треугольнику DPB

<KL>/<DB>=<PM>/<PO>=1/4″ />
Следовательно, <img decoding=

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 18. Найдите площадь сечения

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны и равны 18, поэтому это пирамида типа ААААА. Такая пирамида разбивается на четыре меньшие пирамиды такого же типа, если провести от вершины пирамиды прямые к середине каждого из её боковых рёбер.

В результате получаем, что каждое из боковых рёбер будет разделено пополам, и мы получим новую пирамиду с ребром, равным половине исходного. То есть новое ребро пирамиды будет равно 9.

Площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины всех боковых рёбер, равна площади основания новой пирамиды. Это основание — это регулярный четырёхугольник с ребром 9.

Площадь такого четырёхугольника можно найти по формуле:
S = a^2,
где a — длина стороны четырёхугольника.

Подставляем значение длины стороны и получаем:
S = 9^2 = 81 (квадратные единицы).