6. Построение графика функции, заданной параметрически
Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки.
Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.
6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции
• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций.
• Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных.
• Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси.
Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны.
Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.
6. 2. Асимптоты параметрического графика
• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы.
• Если , или , то -вертикальная асимптота.
• Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где
Если существует, то ищем :
Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .
6. 3. Точки перегиба
Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле
Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.
6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции
Пример 18. 21 Построить эскиз графика , .
Решение. Совокупная область определения: .
Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается.
На ось наносим точки , , (см. рис. 40):
Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси .
График функции, заданной параметрически
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение��
Что умеет?
- Строит график в параметрических координатах
- Можно задать несколько графиков
- Находит особые точки и точки пересечения, если графиков несколько
- Находит площадь фигуры, заданную параметрически
Введите график функции
Важно a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться
Калькулятор работает, доволен как слон
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
Построение графика функции, заданной в параметрической форме.
Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по математическому анализу – М.; РАДИОВТУЗ, 2012г., — 36 с.
Данное пособие содержит типовые задачи для индивидуальных заданий студентов-заочников по курсу «Математический анализ» часть 1. Ко всем задачам приводятся подробные решения и указания. Приведенные задания в равной степени могут использоваться студентами очного отделения при подготовке к экзамену. В приложении приведена подробная программа курса по «Математическому анализу» часть 1.
Содержание
Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или в параметрической форме……………………………………………………………
Вычисление пределов последовательностей и функций…………………………
Исследование функций на непрерывность………………………………………..
Исследование функций с помощью производных, построение графиков функций……………………………………………………………………………..
Задания на вычисление интегралов……………………………………………….
Введение
В процессе изучения курса «Математический анализ» предусмотрено выполнение студентами индивидуальных домашних заданий в каждом семестре. Индивидуальное домашнее задание 1-ого семестра содержит следующие задачи:
1. Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или заданных в параметрической форме.
2. Вычисление пределов последовательностей и функций.
3. Исследование функций на непрерывность.
4. Вычисление производных от сложных функций, функций, заданных неявно или в параметрической форме.
5. Исследование функций с помощью производных, построение графика функции.
6. Вычисление неопределенного и определенного интегралов.
Рассмотрим далее типовые примеры на каждое из заданий и укажем методы их решения.
Построение графиков функций, заданных в простой полярной системе координат.
Простая полярная система координат характеризуется следующим:
Положительные углы φ отсчитываются от полярной оси (совпадающей с положительным направлением оси ОХ) против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. При построении графика функции в соответствии с уравнениями (1) следует придерживаться следующего порядка действий:
а) указать область допустимых значений (О.Д.З.), т.е. определить при каких углах φ функция ρ(φ) – неотрицательна, т.е. ρ(φ)≥ 0;
б) найти область изменения функции;
в) указать является ли функция четной или нечетной, т.е. если ρ(-φ) = ρ(φ), то график функции симметричен относительно полярной оси и, следовательно, достаточно сделать исследования для φ≥0. После данных исследований следует построить кривую по точкам.
Пример: построить график функции в простой полярной системе координат ρ=2cos2φ
Так как в простой полярной системе координат ρ≥0, то О.Д.З. будут являться только те углы φ, для которых cos2φ≥0, т.е. 0≤φ≤π/4; 3π/4≤φ≤5π/4; 7π/4≤φ≤2π. Функция будет ограничена, т.к. | cos2φ|≤1, т.е. | 2cos2φ|≤2. Так как функция четная и периодическая то достаточно построить кривую только для 0≤φ≤π/4, а затем отразить кривую симметрично относительно полярной оси и в силу периодичности построить аналогичную петлю для 3π/4 ≤φ≤5π/4. Для 0 ≤ φ≤π/4 функция монотонно убывает от двух до нуля, для 3π/4≤φ≤π функция монотонно возрастает от нуля до двух (рис. 1).
Построение графика функции, заданной в параметрической форме.
Пусть x=X(t) и y=Y(t), где параметр t изменяется в определенных заданных пределах. График функции, заданной в параметрической форме, строится по характерным точкам.
а) Заметим, что для любых значений аргумента t функция x(t)=t²≥0, следовательно, график функции расположен в правой полуплоскости.
б) В силу нечетности функции y(t), так как y(-t)=-y(t), график функции симметричен относительно оси ОХ.
в) Определим точки, в которых y(t) = 0: при t=0, y(0)=0 и x(0)=0
при t= + и t= — y=0, а x(+ ) = 3 – т.е. это точки пересечения графика функции с осью ОХ. Для более точного построения графика функции достаточно добавить еще 2-3 точки, например при t=1 y(1)=-2/3, x(1)=1; при t=2 y(2)=2/3, x(2)=4; при t =3 y(3)=6, x(3)=9 (рис.2.).
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5
Циклоиды (высших порядков) описываются уравнением Z = l0+l1t iwt +l2t iwt +..+lnt iwn . Вот как, например, выглядит определение функции PolarXYAB для циклоид некоторого определенного типа.
Вот как теперь рисуется одна из циклоид.
Пример 9.9. Гиперболы в полярных координатах.
Введенную нами функцию PolarXY[r_, phi_]: = удобно использовать также в определении функции PolarXYAB для многих функций, заданных в полярных координатах. Посмотрим, как это делается на примере вычерчивания полярных гипербол.
Вы знаете, как выглядит полярная гипербола:
Если нет, вас ждет сюрприз!
Сначала дадим определение функции PolarXYAB для полярных гипербол.