Решка выпала больше раз чем орел

Какая вероятность что три раза подряд выпадет решка?

Простейший пример — опыт с бросанием монеты. Теоретически выпадение орла или решки равновероятно. Это значит, что если подбросить монету 10 раз, то 5 раз должен выпасть орел и 5 раз — решка. Однако общеизвестно, что вероятность этого очень мала.

Какая вероятность что решка выпадет не более одного раза?

Всего вышло 8 вариантов. Из них решка выпадает не более одного раза (то есть или один, или ни одного раза) — 4 варианта. Ответ: вероятность равна 4/8 = 1/2 = 0,5.

Что чаще всего выпадает орел или решка?

Тем не менее, во время бросков все 13 добровольцев выкинули «орел» намного больше раз, чем «решку». Проведя подсчеты, математики выяснили, что в среднем «орел» встречался в 57% из всех бросков. Максимальное количество выпавших «орлов» составило 68% от всех бросков монеты.

Какая вероятность что выпадет орел?

Классическим примером является подбрасывание монетки. Может выпасть «орел», а может «решка». Поскольку сторон у монетки всего две, то вероятность выпадения «орла» составляет 1/2 или 0,5.

Какая вероятность считается высокой?

Вероятность выше 1:360 является высокой – однако это не диагноз, а предположение.

Какие цифры в основном выпадают в рулетке?

ВнешниеНазвание на английскомПеревод на русскийКоличество номеров1 to 18 (Low, Manque) / 19 to 36 (High, Passe)Малые / Большие18Red / BlackКрасное / чёрное18Even / Odd (Pair ou Impair)Чётное / нечётное18DozensДюжины12

Как посчитать вероятность выпадения монеты?

Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже n=8 (кстати, они находятся по формуле n=2k, где k — число бросков монеты). Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет m=3. Тогда вероятность события P=m/n=3/8=0.375.

Как найти вероятность формула?

Запишем формулу: P=m/n, где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события X, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.

Сколько в среднем бросков монеты придётся ждать до выпадения трёх орлов подряд?

Перечислим еще несколько обобщений полученных результатов. Если считать выигрышем выпадение не обязательно трех орлов, но и трех решек подряд, то ждать придется ровно вдвое меньше — всего 7 ходов.

Какая вероятность того что монета упадет на ребро?

В редких случаях, в результате броска монета может встать на ребро (для 5-центовой монеты вероятность составляет примерно 1/6000).

Какая вероятность что три раза подряд выпадет решка? Ответы пользователей

Может выпасть «орел», а может «решка». Поскольку сторон у монетки всего две, . Какова вероятность выпадения «орла» 2 раза подряд?

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза. . что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

2) орёл выпадет НЕ все три раза, т. е хоть 1 раз выпадет решка. Тогда вер. =1-1/8=7/8=0,875. Гена. МОжно со 100% вероятностью утверждать, как и обратное.

Какова вероятность того, что 1 раз выпадет «решка«, если 3 раза подряд . В трёх подбрасываниях есть 8 вариантов итога — 0 раз решка 3 раза орёл, .

С тем же успехом может выпасть 9 к 1, 3 к 5 и т.д. Тем не менее, если увеличить число опытов, скажем, до 100, то вероятность выпадения орла или решки .

всего 2 орла и 3 решки, вне зависимости от порядка. +3 Vlаdimi® 29 мая 2016, 08:25. Andrew_Kl, вероятность 50%. Либо выпадет .

Вероятность того, что 7 раз подряд выпадет решка тоже очень незначительная (менее 0,8%). Следовательно, можно предположить, что монетка .

Определить, что цифра выпадет 3 раза. . 2. Монету бросают 5 раз подряд. Найти вероятность того что решка выпадет не более 2 раз. Нужно. Какова .

чается три раза (4 + 6, 5 + 5 и 6 + 4), её вероятность будет 3/36. Поэтому . выпадут по-разному (одна орлом, другая | решкой). Предложим два решения для .

Решка выпала больше раз чем орел

Помогите пожалуйста) очень сильно нужно решение)

1) В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз найдите вероятность того что выпавшее число является делителем числа 6.

2) Небольшие холодильники упакованы в кубические коробки. При хранении холодильник должен стоять дном вниз. На складе одну такую коробку положили случайным
образом, не обращая внимания на положение холодильника. Найдите вероятность того, что холодильник хранится неправильно.

3) Симметричную монету бросают дважды. Сколько элементарных событий благоприятствует выпадению хотя бы одного орла?

4) 1 апреля на запись в первый класс независимо друг от друга пришло 3 будущих первоклассника. Найдите вероятность того, что среди них было две девочки и один мальчик. УКАЗАНИЕ: Считайте, что пришедший ребёнок с равной вероятностью может оказаться мальчиком или девочкой.

5) монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того что решка выпадала больше раз, чем орел.

1) Среди чисел на кубике делителем 6 являются: 1, 2, 3, 6. Поэтому p = 4/6 = 2/3.

2) У холодильника 6 граней. Если он должен храниться лишь, стоя дном вниз, в остальных случаях он хранится неправильно. Вероятность этого события p = 5/6.

3) ОО, ОР, РО, РР. Благоприятными являются 3 события.

4) Каждый из 3 детей может оказаться либо девочкой, либо мальчиком. Поэтому событие «приход трёх детей» имеет 2³ = 8 исходов. При этом событие » две девочки и один мальчик» происходит в 3 случаях. Мальчик приходит только первым, только вторым или только третим. Поэтому вероятность этого события: p = 3/8.

5) Событие имеет 2⁴ = 16 исходов.
Решка выпадает больше раз чем орёл => решка выпадает 3 или 4 раза => орёл выпадает 1 или 0 раз.
Орёл может выпасть 1 раз четырьмя способами: только в 1-й, только во 2-й, только в 3-й или только в 4-й раз.
Орёл может выпасть 0 раз только одним способом.
Т. е. благоприятных исходов: 4 + 1 = 5. И вероятность p = 5/16.

Решка выпала больше раз чем орел

1) В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз найдите вероятность того что выпавшее число является делителем числа 6.

2) Небольшие холодильники упакованы в кубические коробки. При хранении холодильник должен стоять дном вниз. На складе одну такую коробку положили случайным
образом, не обращая внимания на положение холодильника. Найдите вероятность того, что холодильник хранится неправильно.

3) Симметричную монету бросают дважды. Сколько элементарных событий благоприятствует выпадению хотя бы одного орла?

4) 1 апреля на запись в первый класс независимо друг от друга пришло 3 будущих первоклассника. Найдите вероятность того, что среди них было две девочки и один мальчик. УКАЗАНИЕ: Считайте, что пришедший ребёнок с равной вероятностью может оказаться мальчиком или девочкой.

5) монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того что решка выпадала больше раз, чем орел.

Задачи B6 с монетами

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где искомая вероятность, число устраивающих нас событий, общее число возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

1. — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!

Метод перебора комбинаций

Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:

1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций —
2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем
3. Осталось найти вероятность:

К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):

Итого варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

Таких вариантов оказалось Находим вероятность:

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, Осталось найти вероятность:

Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.

Специальная формула вероятности

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монету бросают Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно можно найти по формуле:

Где C_n k — число сочетаний которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи, всего бросков было Требуемое число орлов: Подставляем в формулу:

С тем же успехом можно считать число решек: Ответ будет таким же.

Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем числа Поскольку монету бросают 3 раза, А поскольку решек быть не должно, Осталось подставить числа в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C ₃ 0 = 1.

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда Имеем:

Теперь найдем вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p ₁ и p ₂. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

neveev

Некоторое время назад ко мне обратился один мой подписчик и сообщил, что между ним и его коллегой возник интересный спор по поводу того, какая комбинация орлов и решек, возникающая при подбрасывании монеты, более вероятна, а какая – менее.

Этот спор шел вокруг вопроса о том, какая комбинация более вероятна, если при первом броске выпала решка: РР или РО. Коллега моего подписчика считал, что более вероятна вторая комбинация и объяснял это примерно так:

« Вероятность выпадения двух решек равна ½ * ½ = ¼. Значит, вероятность выпадение любой иной комбинации составляет 1 — ¼ = ¾. Следовательно, вероятность того, что если уже выпала решка, то при следующем броске снова выпадет решка составляет ¼, а вот вероятность того, что выпадет орел, составляет 1 – ¼ = ¾ » .

Другими словами, коллега моего подписчика утверждал, что если нам при первом броске выпала решка, то при втором броске нам с большей вероятностью выпадет орел, чем решка.

Мой подписчик, который прочитал много моих статей о когнитивных искажениях, эвристиках и об ошибках, которые мы делаем, когда пытаемся рассуждать о случайностях и о вероятности тех или событий, знал, что этот вывод неверен и пытался переубедить своего коллегу, показать ошибочность его рассуждений.

Дошло до того, что коллега моего подписчика предложил проверить его вывод эмпирически. Он предлагал сделать это следующим образом.

«Кидаем монету, если выпадает орел, то начинаем заново, если выпадает решка, то фиксируем, какой стороной выпадет монета при втором броске, а затем начинаем следующую попытку».

Всего предлагалось сделать сто таких попыток.

Поскольку мой подписчик был неопытен в сфере споров о теории вероятностей, он согласился на этот опыт, и они стали кидали монету. Они сделали сто попыток, и в итоге распределение получилось примерно 60 на 40, т.е. примерно в шестидесяти случаев из ста после того, как выпала решка, выпал орел, и только в примерно сорока случаях после решки снова выпала решка.

Эти данные коллега моего подписчика, естественно, обратил в свою пользу и сказал что-то вроде того, что 60 стремится к 75, и если бы было больше попыток, например, не сто, а тысяча, то соотношение РО/РР было бы еще ближе (!) к 75/25.

Как же обстоят дела на самом деле?

Да очень просто.

Какова вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты, она каждый раз упадет решкой? Тут коллега моего подписчика абсолютно прав. Эта вероятность составляет ¼ или 25%. Такова же и вероятность каждого из трех альтернативных исходов.
Действительно, всего существует четыре варианта исходов двукратного подбрасывания монеты:

Но дело в том (и это ключевой момент!), что если нам уже выпала решка, то число возможных комбинаций сокращается с четырех до двух: РР и РО. Другими словами, если нам уже выпала решка, то при следующем подбрасывании нам выпадет или орел, или решка. Вариантов всего два, а значит вероятность каждого из них составляет ½ или 50%.

Учитывая вот это изменение ситуации после первого броска, которого человек не понял, не уловил, можно предположить, что механизм, лежащий в основе ошибочного вывода коллеги моего подписчика, примерно тот же, что лежит в основе знаменитого парадокса Монти Холла.

Кроме того, возможно, в основе того, что коллеге моего подписчика более вероятной казалась, так сказать, гетерогенная комбинация – РО – лежит и эвристика репрезентативности.

Не менее вероятно и то, что коллега моего подписчика просто не очень хорошо понимает теорию вероятностей, проще говоря, прорешал мало соответствующих учебных задач.

– Но почему же в процессе эмпирической проверки соотношение комбинаций РО к РР, – спросит кто-то, – не составило 50 на 50, как это должно было бы быть в соответствии с нашими расчетами?

Здесь мы можем вспомнить совершенно правильное утверждение коллеги моего подписчика о том, почему эмпирическое соотношение разошлось с теоретическим: попыток маловато.

Действительно, в случае, если бы они записали исходы тысячи попыток, соотношение еще сильнее приблизилось бы к 50/50.

Ну, а в заключение я бы хотел отметить, что описанный реальный случай не только интересен сам по себе, но и позволяет сделать несколько очень полезных выводов и сформулировать достаточно ценные рекомендации. Давайте же их перечислим.

Решка выпала больше раз чем орел

Двое бросают монету. Первый бросил ее 2018 раз, а второй 2019 раз. Предполагается, что монета симметричная, т. е. выпадение орла и решки при бросании равновероятно. Какова вероятность, что у второго монета упала орлом вверх большее число раз, чем у первого?

Пусть событие A  — «у второго выпало больше орлов, чем у первого», событие B  — «у первого выпало больше орлов, чем у первого». Поскольку выпадение орла и решки равновероятно. То события A и B равновероятны. Так как второй бросал монету ровно на один раз больше первого, то либо орлов, либо решек у него выпало больше, но не одновременно. Поэтому события A и B дополняют друг друга.

Таким образом, P(A) = P(B) и P(A) + P(B) = 1. Следовательно, P(A) = 0,5.

Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности

На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей — задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например «Симметричную монету бросают дважды. » или «Бросают 3 монеты . «, но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.

Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать «бросают 3 монеты» или «бросают монету 3 раза», результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один — по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй — по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.

1. Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О — выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем $n=4$. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию «орел выпадет ровно один раз», это комбинации ОР и РО и их ровно $m=2$. Тогда искомая вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$. Готово!

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, $n=4$. А вот условию «оба раза выпала одна сторона» удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/4=1/2=0.5$.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже $n=8$ (кстати, они находятся по формуле $n=2^k$, где $k$ — число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет $m=3$. Тогда вероятность события $P=m/n=3/8=0.375$.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Приступаем к вычислению. Шаг первый — выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться $n=2^4=16$ штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO, их будет $m=10$. Тогда вероятность равна $P=m/n=10/16=5/8=0.625$.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.

2. Комбинаторика + классическая вероятность

Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет — 32, для 6 монет — 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы — остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида $X_1 X_2 X_3 X_4$, где $X_i=O$ (в $i$-ый раз выпал орел) или $X_i=P$ (в $i$-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение $X_1$ (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение $X_2$ (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего $n=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим $n=A_4^2=2^4=16$.

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем $C_4^2$ способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза — $C_4^3$ способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций: $$ m=C_4^2+C_4^3=\frac<4!><2!2!>+\frac<4!><3!1!>=\frac<3\cdot 4><1\cdot 2>+4=6+4=10. $$ Итого получаем такое же значение вероятности: $P=m/n=10/16=0.625$.

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

Например, если рассмотреть подобную задачу:

Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза

Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (. ), просто по аналогии с примером выше: $$ n=2^8=256;\\ m=C_8^4=\frac<8!><4!4!>=\frac<5\cdot 6\cdot 7 \cdot 8><1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4>=70;\\ P=\frac=\frac<70><256>=0.273. $$

Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).

Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим $n=2^6=64$ элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).

Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек — 6-2=4). Существует $m=C_5^1=5$ способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 — РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: $P=m/n=5/64=0.078$.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается $n$ монет (или, что тоже самое, монета бросается $n$ раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз.

Так как броски монет — события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна $p=1/2=0.5$), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли: $$ P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot \left(1/2\right)^k \cdot \left(1-1/2\right)^=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n. $$

То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос «какова вероятность того, что герб появится в точности $k$ раз из $n$» (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя): $$ P=C_n^k \cdot \left(1/2\right)^n=\frac<2^n>=C_n^k \cdot 0.5^n, \quad C_n^k=\frac. $$

А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем $n=2, k=1$ и получаем $P=C_2^1 \cdot \left(1/2\right)^2=2 \cdot \frac<1><4>=\frac<1><2>=0.5.$

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем $n=4, k=2$ и $k=3$, получаем $$P=C_4^2 \cdot \left(1/2\right)^4+C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^4=(6+4) \cdot \frac<1><16>=\frac<10><16>=0.625.$$

Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем $n=3, k=0$ и получаем $P=C_3^0 \cdot \left(1/2\right)^3=1 \cdot \frac<1><8>=\frac<1><8>=0.125.$

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем $n=8, k=7$ и $k=8$ и получаем $$P=C_8^8 \cdot \left(1/2\right)^8+ C_8^7 \cdot \left(1/2\right)^8=(1+8) \cdot \frac<1><256>=\frac<9><256>=0.035.$$

Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.

Полезные ссылки

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете более 200 задач о бросании монет с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):