Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Равенство трапеций по четырём сторонам
Последний раз редактировалось AKM 14.10.2011, 10:53, всего редактировалось 1 раз.
Ваш вопрос эквивалентен следующей задаче № 2.156 из заданика Гордина:
Существуют ли две трапеции, основания первой из
которых соответственно равны боковым сторонам второй, а основания второй боковым сторонам первой?
Автор дает ответ: НЕТ.
Но все же пока непонятно как доказать равенство трапеций по четырем сторонам.
— Пт сен 24, 2010 23:06:36 —
А вообще, если приглядеться повнимательней, действительно этот параллельный перенос срабатывает, получаем два трегольника, равных по трем сторонам AB=A’B’, BE=B’E’ и AE=A’E’, так как AE=AD-BC и A’E’=A’D’-B’C’.
Вот пример: прямоугольная трапеция с основаниями 7 и 4, боковами сторонами 4 и 5. То есть (7;4;4;5) и
равнобокая трапеция с основаниями 7 и 5, боковами сторонами 4 и 5. То есть (7;4;5;4). Они не равны, конечно.
Вообще, Ваша тема очень интересна и вполне может быть дискуссионной. Вместе с темой о построении треугольников.
Я бы сказал, что речь идёт о некотором наборе условий, однозначно определяющих фигуру. У треугольников это три стороны, две стороны и угол между ними и так далее. Интересно было бы одно из условий сформулировать не в терминах равенства ряда параметров каким-то значениям, а в виде некоторой связи между параметрами.
Что Вы, собственно, и делаете. Оказалось, что задание 4-х длин сторон трапеции в указанном порядке однозначно определяет её (или говорит о несуществовании или вырожденности), а без указания порядка не определяет. В общем, трапецевидность четырёхугольника можно описать через связь его внутренних углов. Например, что ровно две непересекающиеся пары углов в сумме дают 180 градусов. Ну и тому подобное.
Было бы интересно, какие ещё условия в добавлению к равенству сторон однозначно определяют четырёхугольник.
Как доказать что трапеции равны
Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
AD∥BC, AB∦CD.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями (BC и AD) , а две другие стороны – боковыми сторонами (AB и CD) .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
∠BAD=∠ABC=90°.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .
AE=EB, CF=FD, EF – средняя линия.
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
EF∥BC, EF∥AD.
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
BE – биссектриса, AB=AE.
3. Треугольники образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
AC и BD – диагонали, k – коэффициент подобия, ΔBOC
Площади этих треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия.
4. Треугольники образованные
отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
BH=HD, CG=GA, EF – средняя линия.
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
BD∩CA=E, BH – продолжение стороны AB, CH – продолжение стороны DC, AH∩DH=H, BG=GC, AF=FD, H, G, E, F ∈ FH.
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
BG=GC, AH=HD, ∠BAD+∠CDA=90°.
9. Если в трапецию вписана окружность
и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка, то радиус равен корню из произведения этих двух отрезков.
Диагонали равнобедренной трапеции равны
Дано: ABCD — трапеция,
Рассмотрим треугольники ACD и DBA.
1) CD=BA (по условию)
3) AD — общая сторона.
Следовательно, треугольники ACD и DBA равны (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BD.
Геометрическая загадка: как доказать, что длины боковых сторон трапеции равны?
В геометрии существует множество различных фигур, и каждая из них имеет свои особенности и свойства. Одной из наиболее интересных и загадочных фигур является трапеция. Эта фигура имеет две параллельные стороны и две не параллельные стороны, которые называются боковыми. Часто бывает необходимо доказать, что длины боковых сторон трапеции равны. В данной статье мы рассмотрим несколько способов, позволяющих доказать этот факт.
Первый способ заключается в использовании свойства симметрии трапеции. Если мы проведем серединные перпендикуляры от вершин не параллельных сторон, то они пересекутся и образуют прямой угол. В результате получится две равные и симметричные части трапеции. При этом боковые стороны каждой из этих частей будут равны между собой. Следовательно, длины боковых сторон трапеции равны.
Второй способ доказательства заключается в использовании свойства высот трапеции. Если мы проведем высоты к не параллельным сторонам трапеции, то получим два прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников будет иметь общую гипотенузу – это будет боковая сторона трапеции. Так как каждый треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора можно выразить длину боковой стороны через длину основания трапеции и высоту, при этом эти выражения будут равны между собой. Следовательно, длины боковых сторон трапеции равны.
Третий способ доказательства основан на использовании свойства равных углов. Если мы считаем, что длины боковых сторон трапеции равны, то из этого будет следовать, что углы, образованные боковыми сторонами с параллельными сторонами, будут равны между собой. В свою очередь, это означает, что противоположные углы трапеции будут равны между собой. Для доказательства этого факта можно использовать свойства параллельных прямых, например, что сумма углов, смежных с параллельными прямыми, равна 180 градусов.
Таким образом, мы рассмотрели три способа, позволяющие доказать, что длины боковых сторон трапеции равны. Эта геометрическая загадка может показаться сложной на первый взгляд, но изучение свойств и особенностей трапеции позволяет легко решить ее.
Хотим вам предложить ля ознакомления очень познавательный сайт про ремонт и обслуживание различной автотехники.