Хотя бы одно решение как понять

Решение задач с параметром методом исследовательского анализа

Как бы нам ни хотелось обратного, но научиться решать задачи с параметром, прочитав краткую инструкцию и выписав несколько формул, не получится. Нам обязательно потребуется аналитическое мышление, то есть способность разбивать информацию на небольшие части, исследовать и делать выводы. Узнаем об этом в статье.

Системы уравнений с параметром

Что мы представляем, когда говорим про аналитику? Возможно, серьезных мужчин и женщин, которые много думают, сравнивают данные и делают на их основе сложные прогнозы. Они в строгих костюмах и очках, с серьезным сосредоточенным лицом.

Я предлагаю погрузиться в аналитику в параметрах. По желанию надеваем серьезный костюм и очки, и вперед.

Немного организационных вопросов перед нашим путешествием. Что подразумевает под собой аналитический способ решения параметров? В первую очередь, это использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графиков. Про «Графический способ решения параметров» можно прочесть в отдельной статье.

Как можно преобразовать системы уравнений? Рассмотрим пример.

Решим первое уравнение системы, получаем, что x=2 или

Что мы можем сказать про совокупность и про систему? Совокупность, которая обозначается квадратной скобочкой, выполняется в случае, если выполняется хотя бы одно, любое из ее уравнений. Чтобы выполнялась система, необходимо, чтобы выполнялись все условия, которые в нее включены.

Представим, что система и совокупность — это две дамы.

Система будет дамой категоричной. Ни одно из ее слов или условий не должны быть пропущены, иначе она обидится и не будет с нами сотрудничать.

Назовем уравнение y = 3 Кристиной. Кристина очень любит вязаных жабок (x = 2) и плюшевых ленивцев (x = — 2). Предположим, что Кристина пошла в магазин, чтобы купить новую игрушку. Скорее всего, она купит именно те игрушки, которые ей нравятся, поэтому система

будет обозначать, что Кристина купила жабку, которую очень любит.

означает, что Кристина купила ленивца, которого также очень любит.

Разумеется, она может купить и жабку, и ленивца. Но что, если в магазине не будет одной из этих игрушек или у Кристины не хватит денег? Она купит только одну из них. А как показать это на языке математики? Совокупностью из двух систем:

Эта совокупность будет выполняться, даже если Кристина купит только жабку или только ленивца.

Так можно преобразовать любую систему или совокупность. Немного усложним в систему из двух совокупностей:

Переведем с языка математики. Нам было нужно, чтобы одновременно выполнялось А или В и С или D, то есть хотя бы по одному условию из каждой совокупности. Нам была необходима ситуация (А или В) и (С или D).

Следовательно, если выполняется условие А, то обязательно должно выполняться и условие С или D. Образуются две системы: “А и С” или “A и D”. Если выполняется условие В, то обязательно должно выполняться условие C или D, получаются две системы: “В и С” или “В и D”.

Для выполнения самой первой системы нужно выполнение хотя бы одной из получившихся четырех систем. Тем самым мы получаем совокупность из четырех систем: (А и С) или (А и D) или (В и С) или (В и D).

Решение систем уравнений на примере

Рассмотрим на примере, как можно решить систему уравнений. Для этого запасемся терпением, подготовим наши блокноты и ручки и начнем погружение в мир аналитики.

Пример 1. Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения.

Решение.

Шаг 1. Проанализируем второе уравнение системы и попробуем преобразовать его. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

Вынесем общие множители за скобку:

Если произведение двух множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Следовательно, решением этого уравнения будет совокупность

Шаг 2. Получаем систему из уравнения и совокупности. Преобразуем ее рассмотренным ранее способом.

Шаг 3. Вспомним, что сейчас мы аналитики и попробуем определить, в каких случаях у совокупности будет четыре решения.

Представим, что у нас есть две двухрублевые монеты. Как сделать из них четыре монеты? Разменять каждую двухрублевую монету на две однорублевые.

Шаг 4. Нам необходимо, чтобы совокупности каждая система имела ровно два решения.

Шаг 5. В каких случаях у квадратного уравнения будет два решения? Если коэффициент перед x2 не будет равен 0. В уравнении

Получаем, что a ≠ 0.

Проверим. Для этого подставим значение a = 0 в совокупность:

Из первого уравнения системы получаем, что

Тогда решением первой системы будет точка

Во второй системе решений не будет, поскольку при x = 4 не выполняется равенство 1 = — 2 * 8. Всего будет одно решение, что не подходит к условию.

Шаг 6. А что будет, если уравнения x = — y и x = 4 совпадут? У нас получится совокупность из двух совершенно одинаковых систем. Их решения совпадут, то есть их будет не 4, а 2.

Таким образом, мы получаем новое условие:

— y ≠ 4 => y ≠ -4 при x = 4. То есть точка (4; -4) не может быть решением.

Найдем, чему равен параметр в этом случае, для этого подставим значения x и y в первое уравнение:

Шаг 7. Теперь рассмотрим отдельно каждую из двух систем и найдем, при каких значениях параметра а они будут иметь по два решения.

В первое уравнение первой системы подставим x = — y, получаем:

Мы получили обычное квадратное уравнение. Оно будет иметь два решения, если его дискриминант будет строго больше 0:

Решая неравенство «Методом интервалов», получаем, что

Шаг 8. Аналогично решаем вторую систему.

Подставим х = 4 в первое уравнение системы:

Чтобы у этого уравнения было два решения, его дискриминант должен быть строго больше 0.

Решаем неравенство методом интервалов и получаем, что a

Шаг 9. В этот момент нам, как аналитикам, необходимо задуматься: а как объединить эти решения? Брать все получившиеся значения а или только те, которые удовлетворяют каждому из интервалов?

Представим, что нам нужно организовать праздник, на который придут два друга. Мы точно знаем, что один из них пьет только апельсиновый сок, а второй только апельсиновый или яблочный соки. Какой сок мы купим, чтобы все были довольны? Апельсиновый.

Точно также и здесь: чтобы обе системы были “довольны” и имели по два решения, нужно, чтобы все значения параметра а удовлетворяли условиям каждой из систем. Поэтому нам необходимо найти пересечение этих решений.

Шаг 10. Заметим, что

Шаг 11. Не забудем, что

Эту точку также нужно выколоть из ответа.

Ответ:

Выдохнем и вытрем испарину со лба: параметр решен. Если исключить достаточно трудоемкие вычисления, то остается только немного порассуждать.

Параметр как равноправная переменная

В рассмотренных ранее случаях параметр был темной лошадкой: он почти постоянно был на фоне, появлялся только под конец, чтобы внести свой вклад и показать свои способности, то есть значения. Но что, если вывести параметр на первый план?

Рассматривая функции, мы привыкли, что у — значение функции, которое зависит от переменной х. Однако в некоторых задачах с параметром от переменной х может зависеть и сам параметр.

В этом случае в борьбе между “у” и “а” выигрывает параметр и занимает место у. То есть параметр будет вести себя точно так же, как обычная функция, а изменение значения х будет менять и значение параметра.

Разумеется, можно построить и график такой функции, просто ось ординат будет подписана как “а”, а не “у”.

А может ли быть наоборот? Да. Параметрическую плоскость хОа можно использовать в двух случаях:

• параметр а — зависимая переменная, х — независимая;
• х — зависимая переменная, параметр а — независимая.

Как определить, какой из случаев использовать в конкретном примере? Нужно посмотреть, каким способом удобнее выразить одну переменную через другую. Например, в уравнении x 2 + 5x — a = 0 намного удобнее выразить значение параметра a = x 2 + 5x, чем пытаться вывести значение х. В этом случае мы получим параболу.

Когда можно прибегнуть к такому методу решения параметров? Обычно его используют, если в уравнении, неравенстве или их системах есть только две переменные, одна из которых является параметром.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение на промежутке [-3;1].

Решение. Если посмотреть на второе неравенство системы, то заметно, что удобнее выразить параметр через переменную х. Поэтому при решении параметр будет зависимой переменной, а х — независимой.

Шаг 1. Разберем первое неравенство системы и раскроем модули четырьмя способами. Подробнее про модули можно узнать в статье «Модуль». Также в дальнейшем будем использовать «Графический способ решения параметров».

Рассмотрим, как все условия будут выглядеть на графике.

— плоскость, которая включает все значения х, больше 0.

включают все точки, которые лежат выше линии а = 0.

включает все, что лежит ниже прямой 7 — x.

То есть каждый раз мы как бы разрезаем плоскость по одной из линий и отбрасываем все, что не удовлетворяет условию.

В отличие от графиков обычных уравнений, неравенства задают не линию, а часть плоскости. То есть его решению будут удовлетворять все точки, которые попадут в нужную часть плоскости.

Наложим все три условия друг на друга и найдем место их пересечения.

Треугольник, в котором они пересекаются, и будет задаваться условием

Мы как бы трижды отрезали все ненужное, и в результате из всей плоскости у нас остался лишь маленький треугольник.

Аналогичным способом получаем еще три треугольника.

Объединив все графики, получим квадрат, ограниченный прямыми

Шаг 2. Рассмотрим второе неравенство системы и преобразуем его.

Это часть плоскости, ограниченная параболой

Построим ее, вершина параболы будет лежать в точках:

Поскольку знак неравенства строгий, то и сама парабола будет обозначаться пунктирной линией. То есть значения, лежащие на этой линии, не будут входить в нашу плоскость.

Шаг 3. Решением системы будет та часть плоскости, где парабола наложится на квадрат.

Шаг 4. По условию решения должны лежать в промежутке от -3 до 1. Построим еще одну плоскость.

Нам нужно найти значения параметра а, которые лежат в промежутке пересечения всех трех плоскостей. Как их найти? Посмотреть значения по вертикальной оси, то есть по оси параметра.

Нам нужны наименьшее, наибольшее значения и все, что лежит между ними. То есть

Шаг 5. Заметим, что точка А — точка пересечения прямой a = — x — 7 и параболы. Найдем точку их пересечения.

Поскольку точка А лежит в промежутке [-3;1], то x₂ не подходит. Прямая и парабола пересекаются в точке x = — 2.

Найдем, чему равно значение параметра в точке А.

Шаг 6. Точка В — это вершина квадрата. А значит, точка В имеет координаты (0;7).

Шаг 7. Мы нашли значение параметра

Это и будет ответ.

Ответ:

Мы можем расслабиться, выйти из образа аналитика, снять очки и отдохнуть. Главное, мы можем гордиться собой, ведь мы разобрали два новых принципа решения параметров.

Фактчек

• Аналитический способ решения параметров — использование алгебраических преобразований и рассуждений без привлечения графических интерпретаций.
• Для решения параметров аналитическим способом важно уметь преобразовывать уравнения, неравенства и их системы.
• При решении параметров аналитикой важно уметь анализировать функции, их поведение и свойства. Это позволит прийти к правильным выводам при решении и правильно найти значения параметра.
• Некоторые примеры с параметров выгоднее решать в плоскости хОа. В этой плоскости параметр будет либо зависимой, либо независимой переменной.

Проверь себя

Задание 1.

В каких случаях у совокупности есть решения?

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа.

Задание 2.

В каких случаях у системы есть решения?

1. Если выполняется хотя бы одно из ее условий.
2. Если выполняются все условия.
3. В любом случае, даже если ни одно из условий не будет выполнено.
4. Нет верного ответа.

Задание 3.

Дана система из совокупности и уравнения. Как ее можно преобразовать?

1. Все элементы можно записать отдельно.
2. Все элементы можно записать только в систему.
3. Можно получить совокупность двух систем.
4. Можно получить систему из двух совокупностей.

Задание 4.

Может ли параметр быть независимой переменной в функции?

1. Не может.
2. Может.
3. Параметр не может быть переменной в функции, это просто число.
4. Нет верных ответов.

Задание 5.

Какая часть плоскости задается неравенством x>0

1. Все, что лежит выше оси х, включая саму ось.
2. Все, что лежит выше оси х, исключая саму ось.
3. Все, что лежит правее оси х, включая саму ось.
4. Все, что лежит правее оси х, исключая саму ось.

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 2 5. — 4

Решение задач с формулировкой «хотя бы один»

Поговорим о задачах, в которых встречается фраза «хотя бы один». Наверняка вы встречали такие задачи в домашних и контрольных работах, а теперь узнаете, как их решать. Сначала я расскажу об общем правиле, а потом рассмотрим частный случай независимых событий и схемы Бернулли, выпишем формулы и примеры для каждого.

Общая методика и примеры

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза «хотя бы один» такая:

1. Выписать исходное событие $A$ = (Вероятность того, что . хотя бы . ).
2. Сформулировать противоположное событие $\bar$.
3. Найти вероятность события $P(\bar)$.
4. Найти искомую вероятность по формуле $P(A)=1-P(\bar)$.

А теперь разберем ее на примерах. Вперед!

Пример 1. В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?

Действуем прямо по пунктам.
1. Записываем событие, вероятность которого надо найти прямо из условия задачи:
$A$ =(Из 3 выбранных деталей хотя бы одна бракованная).

Для первого примера запишем решение подробно, далее будем уже сокращать (а полные инструкции и калькуляторы вы найдете по ссылке выше).

Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 3 детали из партии в 25+6=31 деталей в ящике. Так как порядок выбора несущественнен, применяем формулу для числа сочетаний из 31 объектов по 3: $n=C_<31>^3$.

Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Для этого нужно, чтобы все 3 выбранные детали были стандартные, их можно выбрать $m = C_<25>^3$ способами (так как стандартных деталей в ящике ровно 25).

4. Тогда искомая вероятность:

Ответ: 0.488.

Пример 2. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут: хотя бы две пики.

1. Записываем событие $A$ =(Из 6 выбранных карт будут хотя бы две пики).

Замечание. Тут я остановлюсь и сделаю небольшое замечание. Хотя в 90% случаях методика «перейти к противоположному событию» работает на отлично, существуют случаи, когда проще найти вероятность исходного события. В данном случае, если искать напрямую вероятность события $A$ потребуется сложить 5 вероятностей, а для события $\bar$ — всего 2 вероятности. А вот если бы задача была такая «из 6 карт хотя бы 5 — пиковые», ситуация стала бы обратной и тут проще решать исходную задачу. Если опять попытаться дать инструкцию, скажу так. В задачах, где видите «хотя бы один», смело переходите к противоположному событию. Если же речь о «хотя бы 2, хотя бы 4 и т.п.», тут надо прикинуть, что легче считать.

3. Возвращаемся к нашей задаче и находим вероятность события $\bar$ с помощью классического определения вероятности.

Общее число исходов (способов выбрать любые 6 карт из 36) равно $n=C_<36>^6$ (калькулятор сочетаний тут).

Найдем число благоприятствующих событию исходов. $m_0 = C_<27>^6$ — число способов выбрать все 6 карт непиковой масти (их в колоде 36-9=27), $m_1 = C_<9>^1\cdot C_<27>^5$ — число способов выбрать 1 карту пиковой масти (из 9) и еще 5 других мастей (из 27).

4. Тогда искомая вероятность:

Ответ: 0.475.

Пример 3. В урне 2 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Три шара вынимают наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.

1. Записываем событие $A$ =(Среди вынутых 3 шаров хотя бы два разного цвета). То есть, например, «2 красных шара и 1 белый», или «1 белый, 1 черный, 1 красный», или «2 черных, 1 красный» и так далее, вариантов многовато. Попробуем правило перехода к противоположному событию.

3. Общее число исходов (способов выбрать любые 3 шара из 2+3+5=10 шаров) равно $n=C_<10>^3=120$.

Найдем число благоприятствующих событию исходов. $m = C_<3>^3+C_<5>^3=1+10=11$ — число способов выбрать или 3 черных шара (из 3), или 3 красных шара (из 5).

4. Искомая вероятность:

Ответ: 0.908.

Частный случай. Независимые события

Идем дальше, и приходим к классу задач, где рассматривается несколько независимых событий (стрелки попадают, лампочки перегорают, машины заводятся, рабочие болеют с разной вероятностью каждый и т.п.) и нужно «найти вероятность наступления хотя бы одного события». В вариациях это может звучать так «найти вероятность, что хотя бы один стрелок из трех попадет в цель», «найти вероятность того, что хотя бы один автобус из двух вовремя приедет на вокзал», «найти вероятность, что хотя бы один элемент в устройстве из четырех элементов откажет за год» и т.д.

Если в примерах выше речь шла о применении формулы классической вероятности, здесь мы приходим к алгебре событий, используем формулы сложения и умножения вероятностей (небольшая теория тут).

Итак, рассматриваются несколько независимых событий $A_1, A_2. A_n$, вероятности наступления каждого известны и равны $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Тогда вероятность того, что в результате эксперимента произойдет хотя бы одно из событий, вычисляется по формуле

$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot . \cdot q_n. \quad(1) $$

Строго говоря, эта формула тоже получается применением основной методики «перейти к противоположному событию». Ведь действительно, пусть $A$=(Наступит хотя бы одно событие из $A_1, A_2. A_n$), тогда $\bar$ = (Ни одно из событий не произойдет), что значит:

Пример 4. Узел содержит две независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

Событие $A$ =(Узел отказал) = (Хотя бы одна из двух деталей отказала). Введем независимые события: $A_1$ = (Первая деталь отказала) и $A_2$ = (Вторая деталь отказала). По условию $p_1=P(A_1)=0,05$, $p_2=P(A_2)=0,08$, тогда $q_1=1-p_1=0,95$, $q_2=1-p_2=0,92$. Применим формулу (1) и получим:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0,95\cdot 0,92=0,126. $$

Ответ: 0,126.

Пример 5. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике, равна 0,8, во втором — 0,7, в третьем — 0,6. Найти вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике.

Действуем аналогично. Рассмотрим основное событие
$A$ =(Формула содержится хотя бы в одном справочнике). Введем независимые события:
$A_1$ = (Формула есть в первом справочнике),
$A_2$ = (Формула есть во втором справочнике),
$A_3$ = (Формула есть в третьем справочнике).

По условию $p_1=P(A_1)=0,8$, $p_2=P(A_2)=0,7$, $p_3=P(A_3)=0,6$, тогда $q_1=1-p_1=0,2$, $q_2=1-p_2=0,3$, $q_3=1-p_3=0,4$. Применим формулу (1) и получим:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,4=0,976. $$

Ответ: 0,976.

Пример 6. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвёртый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

Думаю, вы уже уловили принцип решения, вопрос только в количестве событий, но и оно не оказывает влияния на сложность решения (в отличие от общих задач на сложение и умножение вероятностей). Только будьте внимательны, вероятности указаны для «потребует внимания», а вот вопрос задачи «хотя бы один станок НЕ потребует внимания». Вводить события нужно такие же, как и основное (в данном случае, с НЕ), чтобы пользоваться общей формулой (1).

Получаем:
$A$ = (В течение смены хотя бы один станок НЕ потребует внимания мастера),
$A_i$ = ($i$-ый станок НЕ потребует внимания мастера), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0,7$, $p_2 = 0,4$, $p_3 = 0,6$, $p_4 = 0,75$.

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0,7)\cdot (1-0,4)\cdot (1-0,6)\cdot (1-0,75)=0,982. $$

Ответ: 0,982. Почти наверняка мастер будет отдыхать всю смену;)

Частный случай. Повторные испытания

Думаете, дальше будет сложнее? Напротив, случаи все более частные, решения и формулы все более простые.

Итак, у нас есть $n$ независимых событий (или повторений некоторого опыта), причем вероятности наступления этих событий (или наступления события в каждом из опытов) теперь одинаковы и равны $p$. Тогда формула (1) упрощается к виду :

$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot . \cdot q_n = 1-q^n. $$

Фактически мы сужаемся к классу задач, который носит название «повторные независимые испытания» или «схема Бернулли», когда проводится $n$ опытов, вероятность наступления события в каждом из которых равна $p$. Нужно найти вероятность, что событие появится хотя бы раз из $n$ повторений:

Подробнее о схеме Бернулли можно прочитать в онлайн-учебнике, а также посмотреть статьи-калькуляторы о решении различных подтипов задач (о выстрелах, лотерейных билетах и т.п.). Ниже же будут разобраны задачи только с «хотя бы один».

Пример 7. Пусть вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта.

Решения короче вы еще не видели.
Просто выписываем из условия: $n=3$, $p=0,9$, $q=1-p=0,1$.
Тогда вероятность того, что в течение гарантийного срока из 3 телевизоров хотя бы один не потребует ремонта, по формуле (2):

Ответ: 0,999.

Пример 8. Производится 5 независимых выстрелов по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы одно попадание.

Опять, начинаем с формализации задачи, выписывая известные величины. $n=5$ выстрелов, $p=0,8$ — вероятность попадания при одном выстреле, $q=1-p=0,2$.
И тогда вероятность того, что будет хотя бы одно попадание из пяти выстрелов равна: $$ P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968 $$

Ответ: 0,99968.

Думаю, с применением формулы (2) все более чем ясно (не забудьте почитать и о других задачах, решаемых в рамках схемы Бернулли, ссылки были выше). А ниже я приведу чуть более сложную задачу. Такие задачи встречаются пореже, но и их способ решения надо усвоить. Поехали!

Пример 9. Производится n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A появляется с вероятностью 0,7. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью 0,95 гарантировать хотя бы одно появление события A?

Имеем схему Бернулли, $n$ — количество опытов, $p=0,7$ — вероятность появления события А.

Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие А в $n$ опытах, равна по формуле (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0,7)^n=1-0,3^n $$ По условию эта вероятность должна быть не меньше 0,95, поэтому:

$$ 1-0,3^n \ge 0,95,\\ 0,3^n \le 0,05,\\ n \ge \log_ <0,3>0,05 = 2,49. $$

6. Линейных алгебраических уравнений

Все системы линейных уравнений подразделяются на несколько групп:

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной;

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной;

Система, имеющая единственное решение, называется определенной;

Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Поэтому прежде чем переходить к решению системы, мы должны определить, к какому виду относится система.

Таким образом, решить систему — это значит выяснить, совместна она или нет, и в случае совместности найти все ее решения (множество решений).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример № 1. Данная система

Имеет единственное решение (3/2; − 1/8) и, следовательно, она является совместной и определенной.

Пример № 2. Данная система, состоящая из одного уравнения

Является совместной, но неопределенной. Так как положив, например, x1 = c1, х2 = с2, где c1 и с2 − произвольные числа, из данного уравнения находим, что х3 = 4 − 2c1 + 3с2. Таким образом, множество решений данной системы бесконечно и имеет вид: <(с1; с2; 4−2с1 +3с2) | "с1, с2 ÎR>.

Пример № 3. Данная система

Является несовместной, так как не имеет решения.

В качестве критерия для определения совместности системы, нужно использовать теорему Кронекера-Капелли.

Теорема 1. Для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы (т. е. если , то система несовместна).

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю. Ранг матрицы будем обозначать r.

Необходимы также следующие теоремы:

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (т. е. ).

Теорема 3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно (т. е. ).

параметр — Когда уравнение имеет хотя бы одно решение?

Найти все значения параметра $%a$%, при каждом из которых уравнение $$\frac<1-2a\sqrt<1+x^2>+a(1+x^2)><1+x^2-2\sqrt<1+x^2>>=3$$ имеет хотя бы одно решение.

задан 7 Ноя ’14 18:20

1 ответ

Положим $%y=\sqrt<1+x^2>$% (это выражение слишком часто повторяется). Ясно, что $%y\ge1$%, и решать уравнение можно относительно $%y$% с учётом только что указанного неравенства. В знаменателе дроби находится $%y^2-2y$%, откуда $%y\ne2$%, и можно произвести домножение: $%ay^2-2ay+1=3y^2-6y$%. Понятно, что $%a\ne3$%, и получается квадратное уравнение $%(a-3)y^2-2(a-3)y+1=0$%. Удобно разделить на $%a-3$% и выделить полный квадрат: $%(y-1)^2=1-\frac1=\frac$%. Понятно, что число в правой части неотрицательно, и оно не равно единице. При таких условиях имеется решение $%y=1+\sqrt<\frac>\ge1$%, отличное от двойки. Следовательно, $%a\in(-\infty;3)\cup[4;+\infty)$%.