2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?
Об ортогональной проекции вектора на вектор мы говорили ранее, и фактически было установлено следующее:
Чтобы найти ортогональную проекцию вектора на прямую, нужно найти его проекцию на любой направляющий вектор этой прямой.
…возможно, не всем понятен термин «ортогональная» – это такая проекция, при которой на вектор «падают лучи света» строго перпендикулярно по отношению к прямой (см. рис. ниже). Существует куча иных («косых») проекций, когда проецирование осуществляется под другими углами, но для данной книги этот материал не столь актуален.
Решим символическую задачку:
Задача 85
Найти проекцию вектора на прямую
Решение: найдём какой-нибудь направляющий вектор прямой, проще и быстрее взять стандартный вариант: .
Проекция вектора на прямую – есть его проекция на любой направляющий вектор этой прямой, по соответствующей формуле:
Ответ:
Напоминаю, что проекция – это длина «тени» вектора (красный цвет): 
Желающие могут взять любые точки прямой, найти направляющий вектор и убедиться в том, что проекция будет такой же, как вариант, со знАком «минус».
Ну вот и подошло к концу наше путешествие по основным задачам с «плоской» прямой, и никакого Кащея Бессмертного тут нет…. – Здесь есть я, с новыми знаниями и задачами J Потому что Бабу-Ягу никто не отменял =)
5.2. Ортогональное дополнение
Определение. Два множества F и G векторов евклидова пространства E называются ортогональными, если каждый вектор из F ортогонален каждому вектору из G.
Определение. Пусть F – подпространство E. Совокупность всех векторов подпространства E, ортогональных подпространству F, называется ортогональным дополнением подпространства F.
Всякое ортогональное дополнение является, в свою очередь, линейным подпространством.
Всякое произвольное евклидово пространство E разлагается в прямую сумму своего произвольного подпространства F и его ортогонального дополнения
1. Требуется найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы
Будем считать, что базис, относительно которого заданы векторы, ортонормированный. По определению, если , то . Далее, каждый вектор из должен быть ортогонален к . Для этого достаточно, чтобы . Расписывая скалярные произведения, получим три уравнения относительно координат вектора
Совокупность решений этой системы и образует ортогональное дополнение. За базис в можно принять любую фундаментальную систему решений. Например, вектор .
2. Линейное подпространство задано уравнениями
Требуется найти уравнения, которые задают ортогональное дополнение .
Пусть , . Тогда . Этому условию удовлетворяют два линейно независимых вектора и , которые образуют коэффициенты системы уравнений, задающей F. Далее, . Ранг системы равен 2. Значит и, так как , то . Поэтому найденные векторы можно принять за базис в , и есть линейная оболочка данных векторов. Далее задача решается так же как в примере из § 3. Дословно повторяя решение, получим следующую систему уравнений
которая и задает .
5.3. Проектирование вектора на подпространства
Пусть . Тогда всякий вектор можно представить в виде , где и . Вектор называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство L, а вектор называется ортогональной составляющей вектора .
Пусть и — расстояние между векторами , тогда
Таким образом, ортогональная проекция есть ближайший к вектору подпространства L. Часто используются следующие обозначения , .
Укажем в заключение как вычисляются координаты вектора . Пусть — базис в L. Так как , то . Поэтому
Отсюда имеем, что в случае ортонормированного базиса
1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы . Все векторы заданы координатами относительно ортонормированного базиса.
Нетрудно убедиться, что и что за базис можно принять векторы и . Нам будет удобно перейти к ортонормированному базису в L. Применяя процедуру ортогонализации к векторам и , получим ортонормированный базис в L:
Заметьте, что векторы и линейно выражаются через и и, значит, также принадлежат L. Имеем теперь
2. Требуется найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданной системой уравнений
Расстояние между точкой и множеством L определится следующим образом
Для вычисления расстояния удобно перейти к параметрическому уравнению плоскости. Имеем и поэтому всякий вектор представляется в виде
где — фиксированный радиус-вектор точки плоскости; и — базис направляющего линейного подпространства, которое задается соответствующей однородной системой. Решая уравнение, получим, например,
Векторы и принадлежат направляющему подпространству M плоскости L. Вектор . Так как , а , то
Правая часть этого неравенства и есть искомое расстояние. Осталось вычислить вектор и найти его норму. Проделав для этого аналогичные вычисления и вычислив длину вектора, получим, что .
3. Пусть — ортонормированная система векторов евклидова пространства En. Нужно доказать, что для любого вектора имеет место неравенство Бесселя
с равенством тогда и только тогда, когда , т.е. векторы образуют ортонормированный базис в En.
Так как — ортонормированная система, то ее всегда можно векторами достроить до ортонормированного базиса в En. Разложим вектор по этому базису. Имеем
С равенством тогда и только тогда, когда . Исключение составляют случаи, когда или когда принадлежит линейной оболочке векторов .
Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора
Искомое разложение имеет вид:
x=u+v, где u=p*a1+q*a2,
p и q — искомые коэффициенты,
вектор v ортогонален к a1 и a2.
Умножаем скалярно:
(x,a1)=p*(a1,a1)+q*(a1,a2)
(x,a2)=p*(a1,a2)+q*(a2,a2)
Решив эту систему, получим: p=2, q=-2.
Теперь v=x-u.
Если я правильно понял условие.. .
Не ограничивая общности предположим, что наша плоскость L проходит через (0,0,0):
Соответсвенно след. точки принадлежат плоскости
(0,0,0), (1, 2, 1), (0, 1, 0):
Составим уравнение плоскости
| x — x0 y — y0 z — z0|
|x1 — x0 y1 — y0 z1 — z0| = 0
|x2 — x0 y2 — y0 z2 — z0|
|x y z |
|1 2 1| = 0
|0 1 0|
x(-1) — y (0) + z(1) = 0
z — x = 0
Чтобы найти проекцию вектора на плоскость — нужно найти проекцию точки на плоскость:
(1 — x0, 2 — y0, 3 — z0)(1, 2,1) = 0
(1 — x0, 2 — y0, 3 — z0)(0,1,0) = 0
2 — y0 = 0
y0 = 2
1 — x0 + 3 — z0 = 0
x0 + z0 = 4
z0 — x0 = 0
= >
x0 = z0 = 2
(2, 2, 2) — (0,0,0) = (2,2,2) — проекция
Угол между векторами. Ортогональные проекции векторов
Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало, не превосходящий по величине числа .
Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора и и которого не превосходит , принимается за угол между векторами (если векторы противоположно направлены).
Ортогональные проекции векторов
Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу.
Ориентированная прямая с заданным масштабным отрезком называется осью.
Любой ненулевой вектор , принадлежащий прямой, называется направляющим вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора принимается за положительное, а направление противоположного вектора — за отрицательное. Кроме того, длину вектора — можно принять за величину масштабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масштабный отрезок.
Ортогональной проекцией вектора , называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора , будем обозначать .
Ортогональную проекцию вектора .
Ортогональную проекцию вектора а на плоскость (см. разд. 1.2.2 и рис. 1.14) будем обозначать .
Разность между вектором — ортогональная составляющая вектора ;
— — ортогональная составляющая вектора — ортогональная составляющая вектора .
На рис. 1.23 изображены ортогональные проекции вектора ) вдоль прямой (рис.1.23,а);
— на прямую ) вдоль плоскости (рис.1.23,б);
— на плоскость вдоль прямой (рис.1.23,в).
На рис. 1.23 изображены ортогональные составляющие вектора ): (рис.1.23,а);
— относительно плоскости (рис.1.23,в).
Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в разд. 1.5).
Теорема 1.2 (об ортогональных проекциях вектора).
1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые и , то любой вектор (рис. 1.24,а).
2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые и , пересекающиеся в одной точке, то любой вектор (рис. 1.24,6).
3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогональных проекций, т.е.
Первые два утверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника (рис. 1.24,а) или треугольников и (рис. 1.24,6)).
В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами.
На рис.1.24,а проекции вектора и . На рис. 1.24,6 вектор является проекцией вектора , содержащую прямые и : , а вектор является ортогональной составляющей вектора .
Алгебраическое значение длины проекции
Пусть – угол между ненулевым вектором , т.е. угол между ненулевыми векторами .
Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора , называется длина его ортогональной проекции , взятая с положительным знаком, если угол не превышает , и с отрицательным знаком, если угол больше , т.е.:
Например, для проекций, изображенных на рис. 1.25, , поскольку угол между векторами острый, a , так как угол между векторами тупой.
Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности:
1. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых;
2. — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения вектора на число равно произведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора
1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см. также рис.1.25), что , т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью.
Ортогональную проекцию вектора , можно представить в виде
Если — единичный вектор, то .
2. Равенство можно использовать как определение косинуса угла между ненулевыми векторами
3. Углом между ненулевым вектором между вектором на прямую может быть найдена по формуле
4. Углом между ненулевым вектором называется угол между вектором на плоскость . Величина угла может быть найдена по формуле
Пример 1.7. Основания и Решение. Пусть — высота трапеции, . По свойству равнобокой трапеции ; из равенства треугольников и
Обозначим через искомые алгебраические значения длин ортогональных проекций.Тогда из равенств