Бросается 5 монет какова вероятность того что три раза выпадет герб

Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб

Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится �� независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события �� постоянна и равна ��, а вероятность противоположного события равна �� = 1 − ��, то вероятность того, что при этом событие �� осуществляется ровно �� раз, вычисляется по формуле где ���� �� — число сочетаний из �� элементов по ��. Для данного случая Вероятность события �� – при броске пяти монет герб выпадет ровно три раза, равна: Ответ: ��(��) = 0,3125

Похожие готовые решения по высшей математике:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб? Решение обязательно

Потом считаешь когда все варианты закончатся: Сколько было попыток? И сколько строчек в которых выпало 3 герба. Делишь количество сколько выпало на коли-во всех вариантов=Вероятность в виде дроби.

Для решения этой задачи нам необходимо применить биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (бросков монеты), каждое из которых имеет два возможных исхода (герб или решка), и мы хотим определить вероятность определенного числа успехов (выпадения герба) в этих испытаниях.

Для вычисления вероятности успеха (вероятность выпадения герба) в одном испытании, нам необходимо знать, является ли монета справедливой или нет (имеет равные вероятности выпадения герба и решки). Предположим, что монета справедливая, и вероятность выпадения герба в одном броске равна 0.5.

Теперь у нас есть следующие параметры для применения биномиального распределения: n = 5 (количество испытаний, т.е. бросков монеты) k = 3 (число успехов, т.е. количество раз, когда выпадет герб) p = 0.5 (вероятность успеха в одном испытании, т.е. вероятность выпадения герба в одном броске)

Тогда вероятность того, что три раза выпадет герб, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 — p)^(n — k),

где C(n, k) — число сочетаний из n элементов по k, равное n! / (k! * (n — k)!).

Давайте вычислим вероятность:

P(X = 3) = C(5, 3) * 0.5^3 * (1 — 0.5)^(5 — 3) = (5! / (3! * 2!)) * 0.5^3 * 0.5^2 = (5 * 4 * 3 * 2 * 1 / (3 * 2 * 1 * 2 * 1)) * 0.125 * 0.25 = 10 * 0.125 * 0.25 = 0.3125.

Таким образом, вероятность того, что три раза выпадет герб при пяти бросках монеты, составляет 0.3125 или 31.25%.

Задачи B6 с монетами

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где искомая вероятность, число устраивающих нас событий, общее число возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

1. — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!

Метод перебора комбинаций

Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:

1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций —
2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем
3. Осталось найти вероятность:

К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 — 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O — орел, P — решка):

Итого варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

Таких вариантов оказалось Находим вероятность:

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, Осталось найти вероятность:

Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я — не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.

Специальная формула вероятности

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монету бросают Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно можно найти по формуле:

Где C_n k — число сочетаний которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться — и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи, всего бросков было Требуемое число орлов: Подставляем в формулу:

С тем же успехом можно считать число решек: Ответ будет таким же.

Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем числа Поскольку монету бросают 3 раза, А поскольку решек быть не должно, Осталось подставить числа в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C ₃ 0 = 1.

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда Имеем:

Теперь найдем вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p ₁ и p ₂. Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

1.13. Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона

И пусть производится не одно, а N повторных испытаний (или, что одно и то же, испытание повторяется N раз). Возникает естественный вопрос: какова вероятность того, что событие А В этих N повторных испытаниях появится K раз (целое число K можно задавать любым в пределах от 0 до N)? При этом не важно, в каком порядке событие А появится K раз в N испытаниях. Важно лишь общее число K Появлений этого события. Эту вероятность обозначают символом (- вероятность того, что в N испытаниях событие А Наступит K раз). И находится она по формуле Бернулли (Яков Бернулли – швейцарский математик 17-го века):

Доказательство. Если в N повторных испытаниях событие А появится K Раз, то соответственно оно не появится N—K раз. И тогда вероятность любой конкретной комбинации K появлений события А и N—K непоявлений этого события можно найти по формуле (4.15) произведения вероятностей независимых в совокупности событий. То есть она равна . Таких конкретных комбинаций будет, очевидно, столько, сколько существует сочетаний из N элементов (номеров испытаний) по K элементов в каждом сочетании. Эти сочетания образуются из K номеров тех испытаний, в которых будет появляться событие А. Каждому такому сочетанию K номеров будет соответствовать единственное сочетание тех N—K номеров испытания, в которых событие А не будет появляться. Так как всего таких сочетаний , и каждое из них несовместно с любым другим сочетанием, то по формуле (4.10) сложения вероятностей попарно несовместных событий искомая вероятность равна величине , взятой раз. В итоге и приходим к формуле Бернулли (6.2).

Пример 1. Монету подбрасывают пять раз подряд. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно три раза?

Решение. Будем считать испытанием однократное подбрасывание монеты. Тогда N=5 – число повторных испытаний. Далее, будем считать событием А в каждом испытании (при каждом бросании монеты) выпадение герба. Тогда

; ; N=5; K=3;

На основании формулы Бернулли получаем:

Формула Бернулли – точная формула. Однако при больших значениях N (большом числе испытаний) вычисления по ней становятся громоздкими из-за необходимости вычисления факториалов больших чисел и степеней с большими показателями. В процессе этих вычислений неизбежно придется производить округления, что приведет к погрешности при определении искомой вероятности . Причем к погрешности тем большей, чем больше будет значение N (числа испытаний). В связи с этим из формулы Бернулли выведены упрощенные приближенные формулы для , которые, кстати, тем точнее, чем больше число N.

Одна из этих приближенных формул – Локальная формула Лапласа:

Функция Называется функцией вероятностей (или функцией Гаусса). График функции имеет вид, изображенный на рис. 1.4.

Для значение функции Можно взять в таблице, содержащейся во многих пособиях по теории вероятностей. Приведем небольшой фрагмент этой таблицы: