Как найти последнюю цифру числа в степени

Какая последняя цифра числа 3^1976?

Как вы можете заметить последние цифры этих чисел повторяются каждые четыре степени.

Таким образом можно узнать последнюю цифру числа 3 в любой степени, не вычисляя число полностью.

Если номер степени делится на 4 без остатка, то последней цифрой будет 1.

Если номер степени делится на 4 с остатком 1, то последней цифрой будет 3.

Если номер степени делится на 4 с остатком 2, то последней цифрой будет 9.

Если номер степени делится на 4 с остатком 3, то последней цифрой будет 7.

Делим 1976 на 4, получаем 494 ровно, значит последней цифрой в этом числе будет 1.

Найдите последнюю цифру числа 9 со степенью 1861

Один из интересных математических вопросов заключается в поиске последней цифры числа, возведенного в степень. В этой статье мы рассмотрим задачу о поиске последней цифры числа 9, возведенного в степень 1861.

Математическое решение

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо разобраться с особенностями деления чисел на 10. Например, когда мы умножаем число на 10, его последняя цифра сдвигается влево, а при делении на 10 — вправо.

Возведение числа 9 в степень 1861 можно записать как произведение:

9 * 9 * 9 * . * 9 (1861 раз)

Зная, что последняя цифра числа 9 — 9, мы можем найти последнюю цифру произведения чисел. Теперь рассмотрим поведение последних цифр при умножении:

9 * 9 = 81 9 * 81 = 729 9 * 729 = 6561 9 * 6561 = 59049

Можно заметить, что последняя цифра каждого произведения циклически повторяется: 9, 1, 9, 1, 9, 1.

Таким образом, ответом на нашу задачу будет цифра 9. Число 9, возведенное в любую нечетную степень, всегда будет заканчиваться на 9.

Заключение

В данной статье мы исследовали задачу о нахождении последней цифры числа 9, возведенного в степень 1861. Мы выяснили, что последняя цифра этого числа всегда будет 9 при любой нечетной степени. Это интересное математическое свойство, которое можно использовать для решения подобных задач.

Нахождение последней цифры в записи степени натурального числа

После изучения темы “Степень с натуральным показателем” была предложена такая задача: найти последнюю цифру степеней:

Мы заметили, что в первом случае показатели степеней составные числа, а во втором случае показатели степеней простые числа. В обоих случаях есть основания четные и нечетные. Мы сначала попробовали представить степени в виде произведения степеней с тем же основанием и одинаковыми показателями, затем воспользовались со свойствами степеней с натуральными показателями

Содержимое разработки

Последняя цифра степени.

Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2 n , где n – натуральное число, с изменением показателя n. Для этого рассмотрим таблицу:

Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2 n для любого показателя n.

В самом деле, возьмем число 2 100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 2 4 , 2 8 , 2 12 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2 100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Возьмем к примеру, 2 22 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.

Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.

А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.

Закономерности возведения в степень:

Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.

При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.

Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).

Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.

Две последних цифры степени.

Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.