Как быстро находить корни квадратного уравнения

Метод выделения полного квадрата. Вывод формулы корней полного квадратного уравнения.

Итак, традиционно корни многочлена находят, разложив его на множители. Разложение на множители очень помогает в поиске корней, так как, если произведение равно нулю, то один из множителей равен 0. При разложении на множители помогает вынесение общего множителя за скобку (пожалуй, это первое, что следует делать при разложении на множители). Далее обычно происходит группировка (если нет общего множителя, или этого не достаточно). Это по аналогии можно назвать методом группировки: одночлены разделяются по группам, имеющим общий множитель. Далее в идеале появляется общий множитель у всего выражения, который можно вынести и продолжить разложение. Потом, используя формулы сокращённого умножения, можно закончить разложение.

Однако, есть ещё один приём, заслуживающий отдельного внимания, основанный на формулах квадрата суммы и разности. Метод выделения полного квадрата. Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Если найти что-то, отдалённо напоминающее квадрат суммы или разности, но без какой-то необходимой части, то её можно прибавить, а затем отнять, тем самым не меняя конечного значения выражения. Далее, свернув квадрат суммы/разности, обычно нужно применить ещё какую-то формулу (например, разности квадратов) или совершить какую-то последовательность действий, и многочлен разложится на множители.

Пример разложения на множители методом выделения полного квадрата: y 4 + 4 ⁢ x 4 = y 2 2 + 2 2 ⁢ x 2 2 + 2 × 2 ⁢ x 2 ⁢ y 2 — 2 × 2 ⁢ x 2 ⁢ y 2 = y 2 + 2 ⁢ x 2 2 — 4 ⁢ x 2 ⁢ y 2 = y 2 + 2 ⁢ x 2 — 2 ⁢ x ⁢ y ⁢ y 2 + 2 ⁢ x 2 + 2 ⁢ x ⁢ y
Метод выделения полного квадрата имеет много применений, связанных с квадратными уравнениями. Его можно применить к квадратному трёхчлену (общему виду квадратного уравнения). a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = a ⁢ x 2 + b a × x + c a = a ⁢ x 2 + b ⁢ 2 a ⁢ 2 ⁢ x + c a = a ⁢ x 2 + 2 ⁢ b 2 ⁢ a + c a ; метод выделения полного квадрата : a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = a ⁢ x 2 + 2 ⁢ b 2 ⁢ a + b 2 4 ⁢ a 2 — b 2 4 ⁢ a 2 + c a = a ⁢ x + b 2 ⁢ a 2 — b 2 4 ⁢ a 2 + c a = a ⁢ x + b 2 ⁢ a 2 — b 2 — 4 ⁢ a ⁢ c 4 ⁢ a
Великолепная иллюстрация к методу выделения полного квадрата из Wikimedia Commons О свойствах и некоторых полезных следствиях получившегося представления можно прочитать здесь. Это ещё одна удобная форма представления квадратичной функции.

Также метод выделения полного квадрата позволяет именно решать квадратные уравнения. Для этого есть хорошо определённый и вполне известный алгоритм (написан для a x ²+b x +c = 0).

1. Разделить каждую часть на a — старший коэффициент (при квадрате).
2. Вычесть из обеих частей свободный член c/a.
3. Добавить с обеих сторон квадрат половины среднего коэффициента b/a (при x).
4. Свернуть левую часть и упростить правую (если нужно).
5. Произвести два линейных уравнения, приравнивая квадратный корень левой части к положительному и отрицательному квадратному корню правой.
6. Решить получившуюся систему.

У многих квадратных уравнений есть более красивые и простые решения.

Пример нестандартного, но более интуитивного и быстрого решения:
x 2 + 14 ⁢ x + 45 = 0 x 2 + 14 ⁢ x + 45 + 4 — 4 = 0 x 2 + 14 ⁢ x + 49 — 4 = 0 x + 7 2 — 4 = 0 x + 7 2 — 2 2 = 0 x + 7 — 2 ⁢ x + 7 + 2 = 0 x + 5 ⁢ x + 9 = 0 x + 5 = 0 x + 9 = 0 x = — 5 x = — 9 Ответ: x ∈ -5 -9 .
Пример решения уравнения с использованием алгоритма: 4 ⁢ x 2 + 20 ⁢ x — 24 = 0 | × 1 4 x 2 + 5 ⁢ x — 6 = 0 | — — 6 x 2 + 5 ⁢ x = 6 | + 2.5 2 x 2 + 5 ⁢ x + 6.25 = 12.25 x + 2.5 2 = 12.25 x + 2.5 = 3.5 x + 2.5 = — 3.5 x = 1 x = — 6 Ответ: x ∈ 1 — 6 .

Формула корней полного квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений с разложением на множители — это достаточно хороший способ решения. Однако, он далеко не единственный. Корни квадратного уравнения также можно вычислять по формуле (используя их зависимость от дискриминанта и коэффициентов — подробнее о дискриминанте и зависимости), но данная формула также выводится, используя описанный выше метод выделения полного квадрата (хотя, как и везде, точное следование заданному алгоритму необязательно, и есть другие (возможно более удобные) пути выведения формулы).

Начнём, как водится, с записи квадратного уравнения общего вида: a x ²+b x +c = 0. А затем, можно проделать над уравнением ряд действий, основанных на алгоритме.

a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 | × 1 a x 2 + b a ⁢ x + с a = 0 x + b 2 ⁢ a 2 = b 2 4 ⁢ a 2 — c a x + b 2 ⁢ a 2 = b 2 — 4 ⁢ a ⁢ c 4 ⁢ a 2
Выражение b² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения (подробнее о дискриминанте можно прочитать по ссылке выше). Его можно обозначать D.
Получается. x + b 2 ⁢ a = D ⁡ 4 ⁢ a 2 x + b 2 ⁢ a = — D ⁡ 4 ⁢ a 2 Используя свойство квадратного корня из дроби, получаем конечную формулу корней квадратного уравнения. x 1 = — b + D ⁡ 2 ⁢ a x 2 = — b — D ⁡ 2 ⁢ a Это называется основной формулой корней квадратного уравнения. Далее следовало бы обсудить как по дискриминанту определить вид корней и т.д., но это тоже описано по ссылке выше.

Соответственно при решении квадратных уравнений по формуле целесообразно поступать по данному алгоритму.

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4 ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

1. x 2 − 8 x + 12 = 0;
2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
3. x 2 − 6 x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2 x − 3 = 0;
2. 15 − 2 x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9 x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (− c / a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (− c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

1. x 2 − 7 x = 0;
2. 5 x 2 + 30 = 0;
3. 4 x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x ₁ = 0; x ₂ = −(−7)/1 = 7.

5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x ₁ = 3/2 = 1,5; x ₂ = −1,5.

, часть 1

О квадратных уравнениях в правильном порядке

Как вам преподавали квадратные уравнения в школе? Это был 7-8 класс, примерно. Вероятнее всего, вам рассказали что есть формулы корней через дискриминант, что направление ветвей зависит от старшего коэффициента. Через пару занятий дали теорему Виета. Счастливчикам еще рассказали про метод переброски. И на этом решили отпустить.

Вы довольны такой базой? Вам не рассказали ни геометрический смысл, ни как это получить.

Спустя некоторое время обдумывания сей несправедливости, я решил написать эту статью и тем самым закрыть гештальт о фрагментарности знаний.

Вы не найдете здесь ничего нового по факту, но, возможно, это даст посмотреть на такое простое понятие с другой стороны.

Начнем с конца

Когда я перечислял темы, касающиеся квадратных уравнений, я делал это примерно в том же порядке, в котором изучают их в школе. Но такой порядок не оправдан с точки зрения обучения, и вот почему:

Дискриминант дается просто как данность (за редким исключением, когда показывают вывод этих формул через приведение к полному квадрату)

Мощнейшая по своей сути теорема Виета дается в конце и только как эвристический способ решения

Гораздо проще начать с теоремы Виета.

Рассмотрим квадратный трехчлен

В силу основной теоремы алгебры (примем её как данность, так как её действительно тяжело доказать), мы знаем, что у этого уравнения должно быть два корня. Допустим, что это некоторые числа . Тогда можно переписать изначальное уравнение как выражение его корней:

Оба эти уравнения эквиваленты, так как они оба зануляются в (первое по определению , второе по построению).

Раскрывая скобки, мы получим следующее:

Откуда приравняв соответствующие коэффициенты с имеющимися, получим знаменитую систему:

Мы только что доказали теорему Виета на случай квадратного трехчлена. Это потрясающий результат: мы начинаем получать некоторую информацию о корнях, которые, как мы предположили, существуют. И этот результат мы будем использовать далее.

Геометрия параболы

Вершина

Здесь можно было бы рассказать весь первый курс алгебры университета: о фокусах, директрисах, о конических сечениях, первой и второй производной…

Но раз мы ограничились школьной программой (7-8 класс, если быть точным), то и рассуждения у нас будут простые.

Самая, на мой субъективный взгляд, интересная точка параболы – это её вершина. Она уникальным образом задает положение параболе и дает понимание о том, как устроены корни.

Но формулу для нее мы не знаем, до первых понятий о производной нам еще 3 года в среднем. Будем выкручиваться.

Парабола – симметричная фигура. До того момента, как мы сдвинули ее относительно оси , ось служит для нее осью симметрии. Когда же мы начинаем ее сдвигать, становится видно, что она продолжает быть симметричной, но уже относительно оси, проходящей через вершину.

Парабола, вершина и ось симметрии

Тогда от вершины в обе стороны до корней равные расстояния, а это значит, что вершина параболы лежит ровно между корнями. Тогда координата вершины это среднее между ее корнями

Пока что мы не знаем наши корни. Но благодаря теореме Виета мы знаем, чему равна сумма корней!

Потрясающий результат, который нам пригодится далее.

Ещё немного про корни

Мы знаем, что корни, графически, это те точки, в которых кривая пересекает ось . Очень полезное знание, учитывая, что смотря на параболу, исключительно визуально, мы понимаем что у нас может быть 3 случая:

Корней нет, при этом

Либо значение в вершине больше нуля и старший коэффициент больше нуля

Либо значение в вершине меньше нуля и старший коэффициент меньше нуля

Корень один, но кратности 2 (не забываем основную теорему алгебры), и значение в вершине равно нулю

Второй случай тривиален, до третьего мы еще дойдем. Интересно математически взглянуть на первый. Найдем значение квадратного трехчлена в вершине:

И теперь все же рассмотрим первый случай: парабола висит над осью ветвями вверх.

Первый случай

Домножим первое неравенство на . Учитывая, что , знак неравенства сменится на противоположный:

Это условие, при котором корней нет.

Рассмотрим вкратце противоположный случай: парабола висит под осью ветвями вниз.

Второй случай

Какая-то магия. Получается, что это условие инвариантно относительно положения параболы. Но тем оно лучше.

На данном этапе прошу заметить, что это только условие отсутствия действительных корней. Да, это похоже на дискриминант, но давайте представим, что вы этого не знаете.

Понятие дискриминанта

Мы уже многое поняли о корнях: в какой они связи с коэффициентами, когда они не существуют, каким образом они лежат относительно вершины. Все это безумно полезно, но это все до сих пор не способ найти значения алгебраически.

Давайте будем отталкиваться от того, что мы уже знаем: от вершины. Если бы мы каким-то образом знали расстояние между корнями, то могли бы однозначно найти и сами корни.

Таки что мешает нам это сделать? Но как настоящие математики, давайте находить квадрат расстояния между корнями. Не теряя общности, будем считать, что – больший корень. Тогда

Пока что выглядит не очень, но на что-то это очень сильно похоже. Не видите? Давайте выделим полный квадрат, но по сумме, а не по разности: добавим , но чтобы все осталось в точности так же, это же и вычтем.

Все еще не видите? Воспользуемся снова теоремой Виета:

Мы получили квадрат расстояния между корнями с учетом растяжения коэффициентом .

Так мы теперь можем найти корни! Вершина параболы да половину расстояния между корнями в обе стороны:

Или, немного преобразовав

Квадрат расстояния между корнями квадратного трехчлена и есть дискриминант.

В общем случае, дискриминант — более сложное понятие, связанное с кратными корнями. Но для квадратного уравнения в 7 классе этого достаточно.

Теперь, если рассуждать о дискриминанте как о расстоянии, становится логично и понятно, почему если он равен нулю, то корень всего один; а если отрицательный, то действительных корней вообще нет.

Заключение

Заметьте, что единственное, что мы предположили, что корня два и они существуют. Единственное, что приняли на веру, это основную теорему алгебры. До всего остального мы дошли исключительно умозрительными заключениями и простейшей алгеброй.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Кайрат, Еркебулан Ермекулы. Оптимальные способы решения квадратных уравнений / Еркебулан Ермекулы Кайрат. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 10.1 (144.1). — С. 39-42. — URL: https://moluch.ru/archive/144/40411/ (дата обращения: 10.09.2023).

Проблема: Решение квадратных уравнений нерациональным способом. Изучив данную тему в 8 классе, учащиеся в старших классах забывают и порой не видят неполные квадратные уравнения и решают их как полные квадратные уравнения, а на это тратится гораздо больше времени. А это потеря времени существенна при сдаче экзамена по математике в форме ЕНТ.

Цель: Изучить различные способы решения квадратных уравнений и отобрать среди них самые оптимальные и быстрые способы решения квадратных уравнений.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Еще в Древнем Вавилоне около 2000 лет до н. э. умели решать квадратные уравнения. Необходимость решать их возникла, когда нужно было решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков. Правила решения вавилонян по существу совпадают с современными, только их решения даны в виде рецептов, без указания способов их нахождения.

В Древней Индии, в 7-ом веке индийский ученый Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax 2 + bx = c, a >0; в этом уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Его правило совпадает с настоящим правилом решения квадратных уравнений. Уже в то время в Древней Индии решали задачи, приводимые к составлению квадратных уравнений, где использовали метод выделения полного квадрата.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 + bx = c, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Всем известная теорема Виета была сформулирована впервые в 1591 г., однако он не признавал отрицательных чисел и при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны. Однако символика Виета была далека от современного вида. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Определение. Квадратным называется уравнение вида: ax 2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа.

Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения.

1. Решение с помощью формул корней квадратного уравнения. Таким способом можно решать любые квадратные уравнения.

2. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде:

3. Решение с помощью теоремы Виета, с ее помощью решаются квадратные уравнения с целыми корнями (а = 1), эти корни без труда находятся подбором.

В настоящее время можно привести еще несколько способов решения квадратных уравнений:

4. Способ разложения левой части на множители.

Например: Решим уравнение:

Левую часть уравнения разложим на множители:

.

Таким образом уравнение запишется так:

. Произведение двух множителей равно нулю тогда только тогда, когда один из множителей равен нулю, т. е. или , отсюда x= -10 , или x = 2.

Например: Решить уравнение:

.

x₁=1, или x+3=-4, x₂=-7.

6. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B(x₁;0) и D(x₂;0), где x₁ и x₂ – корни уравнения , и проходит через точки A(0;1) и C(0;c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD= OA • OC, откуда OC= OB • OD/OA= x₁x₂/ 1= c/a

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD

1) Построим точки (центр окружности) и A(0;1);

3) Абсцисс точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

7. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Этот старый и забытый способ решения квадратных уравнений.

Номограмма для решения уравнения z 2 +pz+q=0. Эта номограмма позволяет не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам.

8. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль-Хорезми.

Решим уравнение х 2 +6х-16=0

Выражения х 2 +6х+9 и 16+9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение х 2 +6х-16+9-9=0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что х+3=±5, или х₁=2, х₂=-8

9. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета становится уже практически неприменимым, если уравнение имеет дробные корни. Для преодоления озникшей трудности используется следующий прием: «перебросить» коэффициент а в свободный член (умножить свободный член на а). После этого найти корни нового уравнения и разделить их на а.

Таким образом: х 2 + 13х + 3 · 12 = 0; Теперь свободный член равен 36, по теореме Виета сумма двух корней должна быть равна (-13). Эти числа (-4) и (-9). Тогда разделив их на 12, получим, что корни исходного уравнения:

10. Способ использования свойств коэффициентов.

Пусть дано квадратное уравнение ax2 +bx +c =0 .

а) Если а+ b+с = 0 (то есть сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то

Например. Решить уравнение 345 х2 – 137х -208 =0. Т. к. 345-137-208=0, то

б) Если a — b+c=0 или b=a+c , то

Например. Решим уравнение: 11 х 2 +27х +16 = 0, так как, 11+16 =27, то

При решении показательных, логарифмических, тригонометрических, иррациональтных, биквадратных и др. уравнений используются квадратные уравнения. Многие текстовые задачи решаются составлением квадратных уравнений. Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Способов решения их очень немало. Приведенные же способы решения квадратных уравнений специального вида позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при тестировании и сдаче экзаменов. Знание способов быстрого решения квадратных уравнений может пригодиться нам на притяжении всей жизни. Эти методы решения квадратных уравнений просты в применении и они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников.